2017届高考理科数学第一轮课时复习习题15.doc

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课时作业(三十五)　数列的综合应用

1．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn。
解析：(1)证明：∵bn＝log2an，
∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，
∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q。
(2)设数列{bn}的公差为d，∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2。
∵a1 >1，∴b1＝log2a1>0。
∵b1b3b5＝0，∴b5＝0。
∴解得
∴Sn＝4n＋×(－1)＝。

2．(2016·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an－n(n∈N*)。
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列。
(2)令bn＝log3(a1＋1)＋log3(a2＋1)＋…＋log3(an＋1)，对任意n∈N*，是否存在正整数m，使＋＋…＋≥恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
解析：(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，解得a1＝2，
当n≥2时，由Sn＝an－n得Sn－1＝an－1－n＋1。
两式相减得，Sn－Sn－1＝an－an－1－1，
即an＝3an－1＋2(n≥2)，
则an＋1＝3(an－1＋1)。
又a1＋1＝2＋1＝3，故数列{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列。
(2)由(1)知an＋1＝3×3n－1＝3n。
所以bn＝log3(a1＋1)＋log3(a2＋1)＋…＋log3(an＋1)＝1＋2＋…＋n＝，
所以＝＝2，
则＋＋…＋
＝2
＝2
由＋＋…＋≥对任意n∈N*恒成立，得
2≥，即m≤8对任意n∈N*恒成立，
因为1－≥1－＝，所以m≤4。
又因为m∈N*，所以m＝1,2,3,4。
3．(2015·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1。
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式。
解析：(1)∵当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，
∴当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4×＋5×＝8×＋1，
解得：a4＝。
(2)因为n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，
所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)。
因为＝＝＝＝，
所以数列是以a2－a1＝1为首项，公比为的等比数列。
(3)由(2)得an＋1－an＝1·n－1＝n－1，
两边同乘以2n＋1，可得2n＋1an＋1－2nan＝4，
所以{2nan}是以2a1＝2为首项，公差为4的等差数列。
所以2nan＝2＋(n－1)·4＝4n－2，所以an＝＝。
4．(2015·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)。
(1)证明：1≤≤2(n∈N*)；
(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明≤≤(n∈N*)。
解析：(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤。
由an＝(1－an－1)an－1得an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0。
由0<an≤得＝＝∈[1,2]，即1≤≤2。
(2)由题意得a＝an－an＋1，
所以Sn＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)＝a1－an＋1。
由－＝和1≤≤2得1≤－≤2，所以n≤－≤2n，
因此≤an＋1≤(n∈N*)。
再结合Sn＝a1－an＋1可得≤≤(n∈N*)。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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