甘肃省西北师大附中2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年甘肃省西北师大附中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．下列说法中，正确的是( )
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．空集的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集

2．下列各式中，函数的个数是( )
①y=1；②y=x2；③y=1﹣x；④y=+．
A．4 B．3 C．2 D．1

3．下列四个图象中，是函数图象的是( )

A．（1） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）

4．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5}，则A∩∁UB等于( )
A．{2，5} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，4，6}

5．二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，则当x=1时，y的值为( )
A．﹣7 B．1 C．17 D．25

6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )
A．na（1﹣b%） B．a（1﹣nb%） C．a（1﹣b%）n D．a[1﹣（b%）n]

7．集合A={x|y=}，B={y|y=x2+2}，则A∩B等于( )
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[2，+∞）

8．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是( )
A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5

9．若，则f[f（﹣2）]=( )
A．2 B．3 C．4 D．5

10．函数y=|x﹣1|的图象为( )
A． B． C． D．

11．已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的图象是( )
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在横线上）
12．函数y=+的定义域是__________．

13．某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有__________人．

14．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是__________．

15．有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；
②函数y=在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是减函数；
③函数y=的单调区间是[﹣2，+∞）；
④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．
其中正确命题的序号是__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3＜x≤3}．
求：∁UA；A∩B；∁U（A∩B）；（∁UA）∩B．

17．函数f（x）=x+．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．

18．（1）已知+b=1，求的值．
（2）化简（）•（a＞0，b＞0）

19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=，设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

20．已知函数f（x）=x2+1，g（x）=4x+1，的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T，
①若A=[1，2]，求S∩T
②若A=[0，m]且S=T，求实数m的值
③若对于集合A的任意一个数x的值都有f（x）=g（x），求集合A．

21．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的值域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+a的定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

2015-2016学年甘肃省西北师大附中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．下列说法中，正确的是( )
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．空集的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
【考点】空集的定义、性质及运算．
【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．
【分析】空集是任何集合的子集、是任何一个非空集合的真子集、空集不含有任何元素、只有1个子集，由此可得结论．
【解答】解：A：空集是任何集合的子集，即A不正确；
B：空集是任何一个非空集合的真子集，故B不正确；
C：空集不含有任何元素，故C正确；
D：空集只有1个子集，即D不正确．
故选C．
【点评】本题考查空集的概念，考查子集、真子集，属于基础题．

2．下列各式中，函数的个数是( )
①y=1；②y=x2；③y=1﹣x；④y=+．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的定义方便继续判断即可．
【解答】解：根据函数的定义可知，①y=1；②y=x2；③y=1﹣x；都是函数，
对应④，要使函数有意义，则，
即，则x无解，∴④不是函数．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的判断，根据函数的定义是解决本题的关键，比较基础．

3．下列四个图象中，是函数图象的是( )

A．（1） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）
【考点】函数的图象．
【专题】图表型．
【分析】根据函数值的定义，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
【解答】解：根据函数的定义知：
在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，
体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，
对照选项，可知只有（2）不符合此条件．
故选B．
【点评】本题主要考查了函数的图象及函数的概念．函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．

4．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5}，则A∩∁UB等于( )
A．{2，5} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，4，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出集合B的补集，然后求解它们的交集即可．
【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5}，
所以∁UB={2，4，6，7}
所以A∩∁UB={2，4，6}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．

5．二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，则当x=1时，y的值为( )
A．﹣7 B．1 C．17 D．25
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据已知中二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，我们可以构造关于m的方程，解方程后，即可求出函数的解析式，代入x=1后，即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，
∴=﹣2
∴m=﹣16
则二次函数y=4x2+16x+5
当x=1时，y=25
故选D
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知及二次函数的性质求出m的值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．

6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )
A．na（1﹣b%） B．a（1﹣nb%） C．a（1﹣b%）n D．a[1﹣（b%）n]
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】应用题．
【分析】根据题意可知第一年后，第二年后以及以后的每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案．
【解答】解：依题意可知第一年后的价值为a（1﹣b%），第二年价值为a（1﹣b%）2，
依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项a（1﹣b%）公比为1﹣b%，
进而可知n年后这批设备的价值为a（1﹣b%）n故选C
【点评】本题主要考查等比数列的应用，解题的关键是利用已知条件求得数列的通项公式，属基础题．

7．集合A={x|y=}，B={y|y=x2+2}，则A∩B等于( )
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[2，+∞）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，集合A为函数y=的定义域，由根式的意义可得集合A，集合B为函数y=x2+2的值域，由二次函数的性质可得集合B，进而由交集的定义可得答案．
【解答】解：y=中，有x≥1，则集合A={x|x≥1}，
y=x2+2中，有y≥2，则有集合B={y|y≥2}
则A∩B={x|x≥2}=[2，+∞），
故选D．
【点评】本题考查集合的交集运算，关键是掌握集合的表示方法以及集合的意义．

8．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是( )
A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2
其对称轴为：x=1﹣a
∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．

9．若，则f[f（﹣2）]=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】在解答时，可以分层逐一求解．先求f（﹣2），再根据f（﹣2）的范围求解f[f（﹣2）]的值．从而获得答案．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴f（﹣2）=﹣（﹣2）=2；
又∵2＞0，
∴f[f（﹣2）]=f（2）=22=4
故选C．
【点评】本题考查的是分段函数求值问题．在解答中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识以及问题转化思想的应用．属于常规题型，值得同学们总结反思．

10．函数y=|x﹣1|的图象为( )
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于x﹣1的符号不能确定，故应分x≥1与x＜1两种情况求出函数的解析式，取特殊点验证函数图象．
【解答】解：当x≥1时，y=x﹣1，为递增的射线；
当x＜1时，y=﹣x+1，为递减的射线；
又f（1）=|1﹣1|=0，故函数的图象过（1，0）
只有A符合，
故选：A
【点评】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意分类讨论．

11．已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的图象是( )
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】先依据条件判断a＞0，且c＜0，联系二次函数的图象特征，开口方向、及与y轴的交点的位置，选出答案．
【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，得a＞0，且c＜0，∴f（0）=c＜0，
∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
故选 D．
【点评】本题考查二次函数的图象特征，由二次函数的二次项的系数符号确定开口方向，由c值确定图象与y轴的交点的位置．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在横线上）
12．函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组可得函数的定义域．
【解答】解：要使函数y=+的解析式有意义
自变量x须满足：
解得x≥﹣1，且x≠2
故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}
故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}
【点评】本题考查的知识点是函数的定义或及其求法，其中根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，是解答的关键．

13．某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有26人．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】由题意作出Venn图，从而求解人数．
【解答】解：作Venn图如右图，
x+y+z=55﹣4=51，
x+y=34，
y+z=43；
故y=（34+43）﹣51=26．
故答案为：26．

【点评】本题考查了集合的图形表示的应用，属于基础题．

14．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，
∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，
故由二次函数图象可知：
m的值最小为；
最大为3．
m的取值范围是：≤m≤3．
故答案[，3]

【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．

15．有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；
②函数y=在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是减函数；
③函数y=的单调区间是[﹣2，+∞）；
④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．
其中正确命题的序号是④．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
【分析】①根据二次函数的性质，可知函数y=2x2+x+1在[﹣4，+∝）单调增．
②y=在（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）上均为减函数．但在并集上并不一定是减函数．
③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x﹣x2≥0，
④通过函数的单调性，a+b＞0，可得出答案．
【解答】解：①∵函数y=2x2+x+1，对称轴为x=﹣，开口向上
∴函数在[﹣4，+∝）单调增
∴在（0，+∞）上是增函数，
∴①错；
②虽然（﹣∞，﹣1）、（﹣1，+∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，
∴②错；
③5+4x﹣x2≥0，
解得﹣1≤x≤5，由于[﹣2，+∞）不是上述区间的子区间，
∴③错；
④∵f（x）在R上是增函数，且a＞﹣b，
∴b＞﹣a，f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a），f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b），
因此④是正确的．
故答案：④
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断．属基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3＜x≤3}．
求：∁UA；A∩B；∁U（A∩B）；（∁UA）∩B．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据已知中，全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3＜x≤3}，先求出CUA；A∩B，然后结合集合的交集补集的定义即可得到答案．
【解答】解：（1）∵全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，
∴CUA={x|3≤x≤4或x≤﹣2}
（2）∵集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3＜x≤3}．
∴A∩B={x|﹣2＜x＜3}
（3）∵全集U={x|x≤4}，A∩B={x|﹣2＜x＜3}
∴CU（A∩B）={x|3≤x≤4或x≤﹣2}
（4）∵CUA={x|3≤x≤4或x≤﹣2}，B={x|﹣3＜x≤3}
∴（CUA）∩B={x|﹣3＜x≤﹣2或x=3}．
【点评】本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别求解，属于基础题．

17．函数f（x）=x+．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】证明题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义作出判断；
（2）直接用定义证明函数的单调性．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）任取x1，x2∈[，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）
=（x1﹣x2）+（﹣）
=（x1﹣x2）（），
因为≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0且x1x2＞2，
因此，f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[，+∞）内是增函数．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断和单调性的证明，考查了奇偶性的定义和单调性的定义，属于基础题．

18．（1）已知+b=1，求的值．
（2）化简（）•（a＞0，b＞0）
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可．
（2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可．
【解答】解：（1）+b=1，
====3．
（2）（）•
=
=
【点评】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．

19．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=，设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？
【考点】函数奇偶性的性质；二次函数的性质；分段函数的应用．
【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数为偶函数，可得f（x）=ax2+1，进而F（x）=，结合m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0，可得结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+1是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，
即b=0，
∴f（x）=ax2+1，
∴F（x）==，
∵m＞0，n＜0，m+n＞0，
则m＞﹣n＞0，
∴|m|＞|n|，
∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣（an2+1）=a（m2﹣n2）＞0，
即F（m）+F（n）能大于零．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的性质，分段函数的应用，难度中档．

20．已知函数f（x）=x2+1，g（x）=4x+1，的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T，
①若A=[1，2]，求S∩T
②若A=[0，m]且S=T，求实数m的值
③若对于集合A的任意一个数x的值都有f（x）=g（x），求集合A．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S∩T．
②根据条件A=[0，m]且S=T，建立条件关系即可求实数m的值．
③根据条件f（x）=g（x）建立条件关系即可求集合A．
【解答】解：（1）若A=[1，2]，
则函数f（x）=x2+1的值域是S=[2，5]，
g（x）=4x+1的值域T=[5，9]，
∴S∩T={5}．
（2）若A=[0，m]，则S=[1，m2+1]，T=[1，4m+1]，
由S=T得m2+1=4m+1，解得m=4或m=0（舍去）．
（3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）=g（x），
即x2+1=4x+1，
∴x2=4x，
解得x=4或x=0，
∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．
【点评】本题主要考查了二次函数、一次函数的性质，集合相等，集合的表示方法．考查对知识的准确理解与掌握．

21．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的值域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+a的定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可得，f（x）=（x﹣1）2，根据定义域为[0，3]，f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，求得函数的值域．
（2）由条件可得二次函数的对称轴为x=a，分当a≥1时、当0≤a＜1时、当﹣1≤a＜0时三种情况，根据定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]，分别利用二次函数的性质求得a的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+a，a=1，∴f（x）=（x﹣1）2，
∵x∈[0，3]，∴f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，
∴最小值为f（1）=0，而 f（0）=1 f（3）=4，
∴函数的值域为[0，4]．
（2）当a≥1时，由于f（x）在[﹣1，1]上是减函数，可得，故有 （舍去）．
当0≤a＜1时，由，即 （舍去）．
当﹣1≤a＜0时，由，即 ，求得a=﹣1．
当a＜﹣1时，由，求得 ，解得a=﹣1（舍去）．
综上所述：a=﹣1．
【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的定义域和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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