高中数学 第三章 推理与证明 剖析演绎推理证明的几种常见错误拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件.doc

剖析演绎推理证明的几种常见错误
1.偷换论题
例1求证四边形的内角和等于。
证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，有
，
所以，四边形的内角和等于。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。
正证：对于任意四边形，连结对角线，则得。
因为三角形内角和等于，
，，
，
又，，
，
四边形的内角和等于。
2.虚假论据
例2已知和是无理数，试证也是无理数。
错证：依题设和是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数，
所以也是无理数。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。
正证：假设不是无理数，那么它就是有理数，
于是，存在互质的正整数，使得，从而有，
因此，，
即，
，
即，
，
。
因为为互质的正整数，
为有理数，
而为无理数，
矛盾，故假设不成立，
也是无理数。
3.循环论证
例3在中，求证：。
错证：因为，
=。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。
A
C
B
D
E
L
M
F
G
H
K
正证：分别以的三边
为边向外作正方形。连
结，作。显然，以为旋转中
心，将逆时针旋转，则与
重合，于是≌。
因为正方形同底等高，
且矩形同底等高，
，
即。
同理，，
即。
，
即。
4.不能推出
例4设。
求证：。
错证：因为=，
。
剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出。至于关系式是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出，即，原题才能得证。
正证：因为函数在区间上是增函数，
又，且，
，
。
又因为=，
。