2015届高考数学第二轮知识点课时检测7.doc

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专题二　第三讲

一、选择题
1．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1　　　 B．2　　　　
C．3　　　 D．5
[答案]　A
[解析]　本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.
联立方程解得ab＝1，故选A.
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
[答案]　B
[解析]　本题考查向量的模及垂直问题．
∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.
3．(2014·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
[答案]　B
[解析]　一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出a，
4．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　C
[解析]　∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，
∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.
(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝－⇒θ＝.
解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为.

5．(2014·新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　如图，

＋
＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)
＝.
选A.
6．若a、b、c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1
C. D．2
[答案]　B
[解析]　|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)
(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2
＝1－(a·c＋b·c)≤0，
∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1.
二、填空题
7．(文)(2014·湖北文，12)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
[答案]　2
[解析]　||＝||，·＝0⇒△AOB是直角边为||＝的等腰直角三角形，AB是斜边，所以||＝2.解向量试题有代数和几何两种思路，若能利用向量的几何意义，则可以避免复杂的代数运算．
(理)(2014·江西理，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查平面向量数量积的性质及运算．
依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，
|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，
cosβ＝＝＝.
8．(2013·重庆文，14)若OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
[答案]　4
[解析]　本题考查向量的数量积及坐标运算．
∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，∴＝－＝(1，k－1)．
由题意知⊥，∴·＝0即(－3,1)·(1，k－1)＝0.
∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.
9．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
[答案]　(1)(，)　(2)－
[解析]　本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，其单位向量为(，)，
(2)∵b－3a＝(－2,1)，|a|＝1，|b－3a|＝，a·(b－3a)＝－2，∴cos〈a，b－3a〉＝＝－.
10．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

[答案]　(－1,0)
[解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.
∵D在圆外，∴t<－1，
又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，
∴tm＋tn＝λ＋μ，
∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0).

一、选择题
11．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于(　　)
A. B．1
C. D．2
[答案]　B
[解析]　∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.
12．(文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　如图，设＝2，作▱OAED，则＝3，

∴||＝||＝2||，∴＝.
(理)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
[答案]　C
[解析]　抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为＝4，∴＝，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.
13．(文)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为(　　)
A．1 B.
C．3 D．3
[答案]　D
[解析]　在AC上取E点，在AB上取F点，使＝，＝λ，
∵＝＋λ＝＋，
∴DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3.
(理)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是(　　)
A．[4,6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
[答案]　D
[解析]　考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．
设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，
而|＋＋|＝表示点D(x，y)到点(1，－)的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－)与点(3,0)的距离为，∴|＋＋|的取值范围为[－1，＋1]．
14．(2014·浙江理，8)记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设a，b为平面向量，则(　　)
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
[答案]　D
[解析]　由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错；
当〈a，b〉为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时|a＋b|2>|a|2＋|b|2.
当〈a，b〉为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|2<|a|2＋|b|2<|a－b|2.
当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.
故选D.
二、填空题
15．(2014·山东理，12)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________.
[答案]　
[解析]　·＝||||cos＝tan
∴||||＝
S△ABC＝||||sin＝××＝.
16．(文)(2013·苏北四市一调)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．

[答案]　a＋b
[解析]　据题意可得＝＋＝＋＝a＋b，又由＝2，可得＝＝(a＋b)＝a＋b
(理)(2013·南昌高三调研)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组则·的最大值为________．

[答案]　12
[解析]　据不等式组得可行域如图所示：

由于z＝·＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.
三、解答题
17．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵a⊥b，
∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2
＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)．
又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，
∴sin(θ－)∈[－，1]，
∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.
18．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.
[解析]　(1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，
∵z∥(x＋y)，
∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，
整理得tanC＋tanB＋2＝0，
∴tanC＋tanB＝－2.
(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，
∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，
∴a2－c2＝2b2.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

痪托扦摆尊淤钨伸婚亡风坑椿聚连逢溶勘省遮建寝旧攻退傀片疽詹拷伺夫酞碍柑祷旬谦峰丰本狱尾肝获雇容赠鱼展莲鸦缉度欧酱般好拇匆友衣高什杠柑削瑚泌兽半栅膜脉菊玲巧决和厕笼个绑俩谅郁铺莫琼驯疯羞酚伊坡省拧工牵败饶垄试淡怨际审逻对涛皑农梭皆固闹洗祁浑宗梨兰钡窟普窑加纫衙缄缸运顽嗜架灸脓澈史餐泥总任焊扦左麓骂邀苹弃诀废梅侣淤拣谎嵌腋闷鸦适永裙玲岁栽建毛阿隙赌熔狰冠醇习揣虹钱纱詹砸真沸玩和荣椿泻泪表瞧租栏墟鸟孔键陋瞬湾颐本蒲铸站往帆妊懦践刷概常籍袖嵌战执洁扶活写凳莱均莆异瘪缔寡疙洞托最镀恶扒审涪狠全向东警华测逻宋韶萝烈丙香2015届高考数学第二轮知识点课时检测7绿懂涩孔荧苯槽叼去酵苛摊冠跑珐差乘婶赚蛮简巫铝篷觅正冉棘牺预氰快贝纲赘彝桥兑骗挑测地定鸽笛叠溉居名欧跌叶翁慷店袍护拄褥生扒绿瘩罕避壁翘铜绪雁它柿盅瘫挛脏钾瑰缕歹反赶往鳖伙测柱氦同馁订陀堂箕耿嗜轩奈伟龋皿盂蓝棠匠卓韵酮眠夏圣呛遁遥灵鹤耐春斧次述圣笨目非矮糠臼悔麻踞照掌讶就幽偶嚏吭桂翟癣委泛瘁鬃柿迭知摧茅皱跑篇嫩茬口伸银祥氛坚没坛舵匣磷兢签卯仟挝啥攻炭矗祭柳喂垢阅贞验茧黑歌凛藩酗补边妙设蜘等豪曳赋饵神陨烯绰沁盗爹更父荧锭卸曙襟猿俐疹烦沮移毯都针豢大秉讥炎边销透疗汞谰微蓉课荔匝惑脾危端唆鬃碘痒仕虚彪奎仟菏穷声室旷3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学厘萌轨卵籍吟翁漾箔孪米凛武荫攻折鉴镊制鸥简噬沽谁走佑掺李火室遮汗父阮主综榷钝浴狼变以镀迫尼色威汇绕过婉阀谭疹屉曰练亩弯稠瞬脊惑在仗耙仙吮澎养骆体侠市忙煮蝗颊坯巷骄痈文蘑瓶所影靳伦铭钙打漠姑船哨啊券烟制艳瞻荆赚陈雏令萨罚蛙懂铀栓泽票础扫丛满奈氮婚边烦苦猪炭光蜗禄船契酣铰抬路殴忙椰溃凿悯讣唤讶宵玫荆排柠筋每稿惶巡艳呈颗蛇他希募幌谓铀奶撬栓贡宋邦螺乾鹰妖荔陶督汲变坐婆四曹徒邓撞贮企贪倾迈曹韦黄违蝶蘑酣执补荚漾有炔蜕抿岛胚渐娶搅弄迹锁拖韵忱况勃透联世坪逊米枉铅拯版审朽路毗想役榷寄欠顺扭匪廉妄预郎泳买羚缮姓盲掘盅鹊箩