考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 3 2 8基金项目:国家自然科学基金(1 2 0 6 1 0 3 3)第一作者:张子振(1 9 8 2),男,博士,教授,研究方向为动力系统的稳定性.通信作者:宋志强(1 9 6 7),男,硕士,教授,研究方向为系统动力学.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 3 3 3-0 8考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解张子振1,张怡雪1,张伟诗1,宋志强2(1.安徽财经大学 管理科学与工程学院,安徽 蚌埠 2 3 3 0 3 0;2.呼伦贝尔学院 工学院,内蒙古 呼伦贝尔 0 2 1 0 0 8)摘要:为了研究媒体报道和时滞对传染病的影响,提出了一类考虑媒体影响的时滞传染病模型.首先,以媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间为分岔参数,利用特征值法讨论了模型的局部渐近稳定性和H o p f分岔的存在性.其次,利用中心流形法研究了模型分岔周期解的稳定性.最后,通过数值模拟验证了所得结果的正确性.关键词:媒体影响;时滞;传染病模型;局部渐近稳定性;H o p f分岔;周期解中图分类号:O 1 7 5.1 2 文献标志码:AT h e b i f u r c a t i n g p e r i o d i c s o l u t i o n s o f a d e l a y e d e p i d e m i c m o d e l c o n s i d e r i n g m e d i a i n f l u e n c eZ HANG Z i z h e n1,Z HANG Y i x u e1,Z HANG W e i s h i1,S ONG Z h i q i a n g2(1.S c h o o l o f M a n a g e m e n t S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g,A n h u i U n i v e r s i t y o f F i n a n c e a n d E c o n o m i c s,B e n g b u 2 3 3 0 3 0,C h i n a;2.C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g,H u l u n b u i r U n i v e r s i t y,H u l u n b u i r 0 2 1 0 0 8,C h i n a)A b s t r a c t:I n o r d e r t o e x p l o r e t h e i m p a c t o f m e d i a c o v e r a g e a n d t i m e d e l a y o n i n f e c t i o u s d i s e a s e s,a d e l a y e d e p i d e m i c m o d e l c o n s i d e r i n g i n f l u e n c e o f m e d i a w a s p r o p o s e d.F i r s t l y,t h e l o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y a n d t h e e x h i b i t i o n o f H o p f b i f u r c a t i o n w e r e d i s c u s s e d b y u s i n g t h e e i g e n v a l u e m e t h o d a n d r e g a r d i n g t h e t i m e d e l a y o f t h e m e d i a c o v e r a g e o f i n f e c t i o u s d i s e a s e a s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r.S e c o n d l y,t h e s t a b i l i t y o f t h e b i f u r c a t i n g p e r i o d i c s o l u t i o n s w e r e s t u d i e d w i t h t h e a i d o f t h e c e n t r a l m a n i f o l d m e t h o d.F i n a l l y,t h e c o r r e c t n e s s o f t h e o b t a i n e d r e s u l t s w e r e v e r i f i e d b y c o m p u t e r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s.K e y w o r d s:m e d i a i n f l u e n c e;d e l a y;e p i d e m i c m o d e l;l o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y;H o p f b i f u r c a t i o n;p e r i o d i c s o l u t i o n0 引言传染病是严重威胁人类健康和生命的一类疾病.研究显示,在传染病暴发期间,网络、电视等媒体对疾病的暴发情况进行客观准确的宣传报道,可以使公众准确了解疾病的传播情况和提高对传染病的防范意识,从而有助于控制疾病的传播1-2;因此,近年来考虑媒体影响的传染病模型受到学者们的关注.例如:李录苹等3提出了一类考虑媒体报道效应的S E I Q R传染病模型,并通过构造合适的李雅普诺夫延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 函数研究了无疾病平衡点的全局渐近稳定性.张雪妮等4研究了一类受媒体报道影响的离散传染病模型,并分析了无疾病平衡点和有疾病平衡点的稳定性.张钰倩等5和阳丽君等6考虑到媒体宣传的滞后性,分别研究了不同类型的时滞传染病模型,并针对其模型推导出了模型产生H o p f分岔的充分条件;但是,张钰倩等和阳丽君等并未对其模型的H o p f分岔的性质进行研究.刘中凯等7建立了一类同时考虑媒体影响和疫苗接种影响的传染病模型:dSn(t)dt=A-Sn(t)M(t)-0Sn(t)I(t)+0Sa(t)+r p I(t)+fV(t)-d Sn(t),dSa(t)dt=Sn(t)M(t)-1Sa(t)I(t)-0Sa(t)+r q I(t)-Sa(t)+V(t)-d Sa(t),dI(t)dt=0Sn(t)I(t)+1Sa(t)I(t)-r I(t)-a I(t)-d I(t),dV(t)dt=Sa(t)-V(t)-d V(t),dM(t)dt=I(t)-0M(t).(1)其中:Sn(t)、Sa(t)、I(t)和V(t)分别表示无意识易感者、有意识易感者、感染者和接种者在时刻t的数量,M(t)表示媒体在时刻t的报道信息量;A为无意识易感者的常数输入率;为无意识易感者向有意识易感者转化的比率;0为无意识易感者的感染率;0为有意识易感者向无意识易感者转化的比率;r为感染者的恢复率;p和q分别为感染者恢复后转化为无意识易感者的比率和感染者恢复后转化为有意识易感者的比率,p+q=1;为接种者失去免疫力的比率;f和分别为接种者失去免疫力后转化为无意识易感者的比率和接种者失去免疫力后转化为有意识易感者的比率,f+=1;为有意识易感者的接种率;a为感染者因疾病导致的死亡率;d为所有群体的自然死亡率;为媒体对疾病进行宣传的力度;0为媒体在宣传过程中的信息耗散率.在文献7中,刘中凯等研究了模型(1)的稳定性,并通过数值模拟分析了公众意识和疫苗接种率对疾病传播的影响,但其研究未考虑媒体宣传的滞后性.基于上述研究,本文研究如下时滞传染病模型:dSn(t)dt=A-Sn(t)M(t)-0Sn(t)I(t)+0Sa(t)+r p I(t)+fV(t)-d Sn(t),dSa(t)dt=Sn(t)M(t)-1Sa(t)I(t)-0Sa(t)+r q I(t)-Sa(t)+V(t)-d Sa(t),dI(t)dt=0Sn(t)I(t)+1Sa(t)I(t)-r I(t)-a I(t)-d I(t),dV(t)dt=Sa(t)-V(t)-d V(t),dM(t)dt=I(t-)-0M(t).(2)其中:表示媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间.1 局部稳定性和H o p f分岔的存在性根据刘中凯等7的研究,如果基本再生数R0=0Ad(r+d+a)1且r+d+a1Sa*,则模型(2)存在唯一有疾病平衡点D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*),其中Sn*=r+d+a-1Sa*0,Sa*=X1I*X2I*+X3,V*=Sa*+d,M*=I*0(X1=(+d)(r+d+a)+r q00,X2=(+d)(1+0),X3=00(0+d+)(+d)-).此时I*为如下方程(3)的正根:433 第4期张子振,等:考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解 2I2*+1I*+0=0.(3)其中:0=(1-R0)d(r+d+a)0X3,1=(d+a)X3+d(+d)(0-1)+d 00(+d)X1+(1-R0)d(r+d+a)0X2,2=(d+a)X2.模型(2)在有疾病平衡点D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)处的雅克比矩阵为:J(D*)=k1 1k1 2k1 3k1 4k1 5k2 1k2 2k2 3k2 4k2 5k3 1k3 2k3 3000k4 20k4 4000e-0k5 5 .其中:k1 1=-M*-0I*-d,k1 2=0,k1 3=-0Sn*+r p,k1 4=f,k1 5=-Sn*,k2 1=M*,k2 2=-0-1I*-d,k2 3=-1Sa*+r p,k2 4=,k2 5=Sn*,k3 1=0I*,k3 2=1I*,k3 3=0Sn*+1Sa*-r-a-d,k4 2=,k4 4=-d,k5 5=-0.模型(2)在有疾病平衡点处D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)的特征方程为:5+44+33+22+1+0+(22+1+0)e-=0.(4)其中:0=-(k1 5(k2 2k3 1k4 4-k2 4k3 1k4 2-k2 1k3 2k4 4)+k2 5(k1 1k3 2k4 4-k1 2k3 1k4 4+k1 4k3 1k4 2),1=-(k1 5k2 1k3 2-k1 5k2 2k3 1-k1 5k3 1k4 4-k2 5k3 2k4 4-k1 1k2 5k3 2+k1 2k2 5k3 1),2=-(k1 5k3 1+k2k3 2),0=k4 4k5 5(k1 1k2 3k3 2+k1 2k2 1k3 3+k1 3k2 2k3 1-k1 1k2 2k3 3-k1 3k2 1k3 2-k1 2k2 3k3 1)+k4 2k5 5(k1 1k2 4k3 3+k1 4k2 3k3 1-k1 4k2 1k3 3-k1 3k2 4k3 1),1=k4 4(k1 1k2 2k3 3+k1 3k2 1k3 2+k1 2k2 3k3 1-k1 1k2 3k3 2-k1 2k2 1k3 3-k1 3k2 2k3 1)-k5 5k1 1k2 3k3 2+k1 2k2 1k3 3+k1 3k2 2k3 1-k1 1k2 2k3 3-k1 3k2 1k3 2-k1 2k2 3k3 1-k4 4(k1 1k2 2+k1 1k3 3+k2 2k3 3-k2 3k3 2-k1 2k2 1-k1 3k3 1)-k4 2k1 1k2 4k3 3-k1 4k2 1k3 3-k1 3k2 4k3 1+k1 4k2 3k3 1-k5 5(k1 4k2 1-k1 1k2 4-k3 3k2 4),2=k1 1k2 3k3 2+k1 2k2 1k3 3+k1 3k2 2k3 1-k1 1k2 2k3 3-k1 3k2 1k3 2-k1 2k2 3k3 1+k4 4(k1 2k2 1+k1 3k3 1+k2 3k3 2-k1 1k2 2-k1 1k3 3-k2 2k3 3)-k5 5k1 1k2 2+k1 1k3 3+k2 2k3 3-k2 3k3 2-k1 2k2 1-k1 3k3 1+k4 4(k1 1+k2 2+k3 3)-k1 4k2 1k4 2+k2 4k4 2(k1 1+k3 3+k5 5),3=k1 1(k2 2+k3 3)+k4 4(k1 1+k2 2+k3 3)+k5 5(k1 1+k2 2+k3 3+k4 4)+k2 2k3 3-k1 2k2 1-k1 3k3 1-k2 3k3 2-k2 4k4 2,4=-(k1 1+k2 2+k3 3+k4 4+k5 5).由上述特征方程可知,当=0时,方程(4)变为:5+44+33+22+1+0=0.(5)其中:0=0+0,1=1+1,2=2+2,3=3,4=4.根据R o u g h-H u r w i z定理可知,如果有40,342,234+04124+22,2014+1234+023124+122+0234+20,则方程(5)的根均有负实部,且此时模型(2)是局部渐近稳定的.当0时,令=i(0)为方程(4)的根,则有:1s i n()+(0-22)c o s()=22-44-0,1c o s()+(22-0)s i n()=33-5-1.(6)由式(6)可得:1 0+48+36+24+12+0=0.(7)533延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 其中:0=20-20,1=21-2 02-21+2 02,2=22+2 04-2 13-22,3=23-2 24+2 1,4=24-2 3.令2=,则方程(7)变为:5+44+33+22+1+0=0.(8)如果给定模型(2)的系数,则利用M a t l a b软件可计算得出方程(8)的根.因此,本文假设方程(8)存在1个正实根0,使得方程(4)存在纯虚根i0=i0.于是根据方程(6)可知,对于0有0=10a r c c o sU1(0)U2(0),其中U1(0)=(24-1)60+(13-04-22)40+(20+02-11)20-00,U2(0)=2240+(21-2 02)20+20.由此再根据方程(4)可得:dd -1=54+4 43+3 32+2 2+1(22+1+0)e-+2 2+1(22+1+0)-,R edd -1=0=H(0)2240+(21-2 02)20+20.其中:H()=5+44+33+22+1+0,且0=20.所以,如果H(0)0,则R edd -1=00.故由上述结果和分岔存在性定理可得如下定理1成立:定理1对于模型(2),当0,0)时,有疾病平衡点D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)是局部渐近稳定的;当=0时,模型(2)产生H o p f分岔,并在有疾病平衡点D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)处产生分岔周期解.其中,0=10a r c c o sU1(0)U2(0).2 分岔周期解的稳定性令=0+l,lR,v1(t)=Sn(t)-Sn*,v2(t)=Sa(t)-Sa*,v3(t)=I(t)-I*,v4(t)=V(t)-V*,v5(t)=M(t)-M*,并对t作变换t(t/),由此模型(2)可以转换为:v(t)=Ylvt+U(l,vt).(9)其中:Yl()=(0+l)K1(0)+(0+l)K2(-1),U(l,)=(0+l)-1(0)5(0)-01(0)3(0)1(0)5(0)-12(0)3(0)01(0)3(0)+12(0)3(0)00 ,K1=k1 1k1 2k1 3k1 4k1 5k2 1k2 2k2 3k2 4k2 5k3 1k3 2k3 3000k4 20k4 400000k5 5 ,K2=0 0 00 00 0 00 00 0 00 00 0 00 00 00 0 .根据R i e s z表示定理可知,存在(s,l),且当s-1,0 时Yl()满足Yl()=0-1d(s,l)(s).为了将方程(9)转化为便于处理的算子方程形式,本文选取(s,l)=(0+l)(K1(s)+K2(s+1).对于C(-1,0,R5),本文定义A(l)=d(s)ds,-1s0,0-1d(s,l)(s),s=0;R(l)=0,-1s0,U(l,),s=0.于633 第4期张子振,等:考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解是模型(9)可以转换为下列算子方程形式:v(t)=A(l)vt+R(l)vt.(1 0)对于C1(0,1,(R5)*),本文定义A*(l)=d(x)dx,0 x1,0-1dT(x,0)(-x),x=0.同时定义(s)和(x)的双线性内积为:=(0)(0)-0s=-1s=0(-s)d(s)()d.(1 1)为了计算模型(2)在l=0处的中心流形系数,令Z(s)=(1,z2,z3,z4,z5)ei00s为A(0)对应于特征值+i00的特征向量,Z*(x)=B(1,z*2,z*3,z*4,z*5)ei00 x为A*(0)对应于特征值-i00的特征向量,则根据A(0)和A*(0)的定义对Z(s)和Z*(x)的分量进行计算可得:z2=(i0-k4 4)(i0-k5 5)(i0-k1 1)(i0-k3 3)-k1 3k3 1-k1 5k3 1(i0-k4 4)(i0-k4 4)(i0-k5 5)k1 3k3 2+k1 2(i0-k3 3)+k1 4k4 2(i0-k3 3)(i0-k5 5),z3=k3 1+k3 2z2i0-k3 3,z4=k4 2z2i0-k4 4,z5=e-i00z3i0-k5 5,z*2=-i0+k1 1+k3 1z*3k2 1,z*4=-k1 4+k2 4z*2i0+k4 4,z*5=-k1 5+k2 5z*2i0+k5 5,z*3=k2 1(i0+k3 3)(i0+k5 5)+k3 1k2 3(i0+k5 5)-k2 5ei00(i0+k1 1)k2 3(i0+k5 5)-k2 5ei00-k2 1k1 5ei00-k1 3(i0+k5 5).进而,利用方程(1 1)对B进行计算可得:B=(1+z2z*2+z3z*3+z4z*4+z5z*5+z3z*5e-i00)-1.根据上述计算,再利用文献8中的方法即可求得中心流形系数v2 0、v1 1、v0 2和v2 1的表达式,由此再进一步计算即可得模型(2)在=0处的分岔周期解的稳定性系数:G1(0)=i200v1 1v2 0-2v1 12-v0 223 +v2 12,Q1=-R eG1(0)R e(0),Q2=2 R eG1(0).定理2当Q10(Q10(Q21,由此得模型(1 2)存在唯一有疾病平衡点D*(1.9 3 6 8,3.0 9 3 0,0.5 8 7 8,1 0.0 1 3 3,1.7 6 3 4),且0=0.9 0 5 7,0=1 3.0 4 7 1.为了验证模型(1 2)H o p f分岔的存在性,本文首先选取=1 2.0 6 7 50,0).此时,模型(1 2)的状态图和相图分别如图1和图2所示.由图1和图2可以看出,模型(1 2)是局部渐近稳定的.其次,选取=1 5.2 6 2 50.此时,模型(1 2)的状态图和相图分别如图3和图4所示.由图3和图4可以看出,此时模型(1 2)失去稳定性,并在有疾病平衡点D*(1.9 3 6 8,3.0 9 3 0,0.5 8 7 8,1 0.0 1 3 3,1.7 6 3 4)附近产生了H o p f分岔.图1=1 2.0 6 7 50,0)时模型(1 2)的状态图图2=1 2.0 6 7 50,0)时模型(1 2)的相图833 第4期张子振,等:考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解图3=1 5.2 6 2 50时模型(1 2)的状态图图4=1 5.2 6 2 50时模型(1 2)的相图4 结论本文研究表明:当媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间足够短时,模型(2)中的无意识易感者、有意识易感者、感染者和接种者的数量将趋于稳定;而当媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间超过时滞临界点0时,模型(2)中的无意识易感者、有意识易感者、感染者和接种者的数量将在有疾病平衡点处产生周期震荡.由此表明,媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间对模型(2)稳定性具有非常重要的影响.同时也说明,在疾病暴发前,若媒体在客观条件允许的前提下能及时地对疾病进行宣传报道,则有助于控制疾病的传播.本文在研究模型(2)的H o p f分岔时,仅研究了其局部H o p f分岔行为;因此,在今后的研究中我们将研究模型(2)是否存在全局H o p f分岔行为.933延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 参考文献:1 赖祥鑫,韦煜明,彭华勤.一类具有媒体报道影响和饱和发生率的S I R I传染病模型J.南宁师范大学学报(自然科学版),2 0 2 0,3 7(3):2 0-3 1.2 L I T J,X I AO Y N.C o m p l e x d y n a m i c s o f a n e p i d e m i c m o d e l w i t h s a t u r a t e d m e d i a c o v e r a g e a n d r e c o v e r yJ.N o n-l i n e a r D y n a m i c s,2 0 2 2,1 0 7(3):2 9 9 5-3 0 2 3.3 李录苹,孔丽丽.考虑媒体报道效应的S E I Q R传染病模型的研究J.山西大同大学学报(自然科学版),2 0 2 1,3 7(6):5 4-5 6.4 张雪妮,刘俊利.受媒体报道影响的离散传染病模型的分析J.哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2 0 2 2,3 8(3):3 3 2-3 3 8.5 张钰倩,张太雷,侯雯珊,等.一类具有媒体效应和追踪隔离的S I Q R时滞传染病模型J.浙江大学学报(理学版),2 0 2 2,4 9(2):1 5 9-1 6 9.6 阳丽君,班相函,王文龙.一类受媒体报道滞后性影响的传染病模型J.湖北民族大学学报(自然科学版),2 0 2 2,4 0(4):4 2 0-4 2 4.7 刘中凯,刘俊利,刘白茹.受媒体报道和疫苗接种影响的传染病模型分析J.哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2 0 2 2,3 8(4):4 4 2-4 4 9.8 U P A DHYAY R K,KUMA R I S.D i s c r e t e a n d d a t a p a c k e t d e l a y s a s d e t e r m i n a n t s o f s w i t c h i n g s t a b i l i t y i n w i r e l e s s s e n s o r n e t w o r k sJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g,2 0 1 9,7 2(8):5 1 3-5 3 6.(上接第3 0 9页)证明 给定0,并根据群作用T的GH跟踪性选取*.若0*,则令S=T,由此可得dGH0(T,S)=0.因此存在等距映射j:YX,使得对于S的任意伪轨xg gG存在xX,使得d(Tg(x),j(xg)对于任意的gG均成立,故T具有等距跟踪性.定理2证毕.根据定理1与定理2的证明,可以得到以下几种跟踪性质间的关系:T具有伪轨跟踪性 T具有GH跟踪性T具有弱GH跟踪性 T具有等距跟踪性.参考文献:1 O S I P OV A V,T I KHOM I R OV S B.S h a d o w i n g f o r a c t i o n s o f s o m e f i n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p sJ.D y n a m i c a l S y s-t e m s,2 0 1 4,2 9(3):3 3 7-3 5 1.2 D ON G M H,J UNG W C,L E E K H.P o i n t w i s e c o n t i n u o u s s h a d o w i n g a n d s t a b i l i t y i n g r o u p a c t i o n sJ.J o u r n a l o f t h e C h u n g c h e o n g M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 9,3 2(4):5 0 9-5 2 4.3 KAWA GU CH I N.Q u a n t i t a t i v e s h a d o w a b l e p o i n t sJ.D y n a m i c a l S y s t e m s,2 0 1 7,3 2(4):5 0 4-5 1 8.4 O S I P OV A V,T I KHOM I R OV S B.S h a d o w i n g f o r a c t i o n s o f s o m e f i n i t e l y g e n e r a t e d g r o u p sJ.D y n a m i c a l S y s-t e m s,2 0 1 4,2 9(3):3 3 7-3 5 1.5 S H I N B.O n t h e s e t o f s h a d o w a b l e m e a s u r e sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 9,4 6 9(2):8 7 2-8 8 1.6 L E E K H,MOR A L E S C A.T o p o l o g i c a l s t a b i l i t y a n d p s e u d o-o r b i t t r a c i n g p r o p e r t y f o r e x p a n s i v e m e a s u r e sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 1 7,2 6 2(6):3 4 6 7-3 4 8 7.7 A R B I E T O A,R O J A S C A M.T o p o l o g i c a l s t a b i l i t y f r o m G r o m o v-H a u s d o r f f v i e w p o i n tJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s,2 0 1 7,3 7(7):3 5 3 1-3 5 4 4.8 D ON G M H,L E E K H,MOR A L E S C.G r o m o v-H a u s d o r f f s t a b i l i t y f o r g r o u p a c t i o n sJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s,2 0 2 1,4 1(3):1 3 4 7-1 3 5 7.9 L E E J H,MOR A L E S C.G r o m o v-H a u s d o r f f S t a b i l i t y o f D y n a m i c a l S y s t e m s a n d A p p l i c a t i o n s t o P D E sM.S w i t z-e r l a n d:S p r i n g e r N a t u r e S w i t z e r l a n d A G,2 0 2 2:7 9-8 5.043