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第2 7 卷第2 期2024年4月扬州大学学报（自然科学版）Journal of Yangzhou University(Natural Science Edition)Vol.27 No.2Apr.2024一类具有资源约束的SIS流行病模型的随机动力学李争意，冯涛*（扬州大学数学科学学院，江苏扬州2 2 50 0 2）摘要：为研究环境随机性对流行病传播动态的影响，利用随机微分方程组构建了一类具有资源约束的随机易感者-感染者-易感者（SIS)流行病动力学模型首先，通过构造Lyapunov函数，证明了随机流行病模型全局正解的存在性和唯一性；其次，采用数值模拟仿真分析了流行病在不同场景下的灭绝概率和灭绝时间研究结果表明，环境随机性的强度与流行病的灭绝概率呈正相关关系，与流行病的灭绝时间呈负相关关系。特别地，当感染者规模接近吸引盆地的边界时，流行病更容易发生灭绝。该理论框架可拓展到其他流行病模型的研究中。关键词：流行病模型；灭绝；环境随机性；资源约束中图分类号：0 2 9D0l:10.19411/j.1007-824x.2024.02.010文献标志码：A文章编号：10 0 7-8 2 4X(2024)02-0067-06传染病一直是人类社会的挑战古代医学知识匮乏和恶劣的卫生条件导致了黑死病、安东尼瘟疫等传染病的大流行，造成了巨大的人员和财富损失：虽然现代文明带来了医学和卫生方面的进步，许多传染病得到了有效控制但是，近年来爆发的H7N9、CO VI D-19 等新发传染病依然给全球公共卫生安全带来了严峻挑战因此，深入研究传染病的传播规律和防控策略仍然至关重要.动力学建模为深人探索流行病的传播和防控机制提供了新的视角通过动力学建模，可以将传染病的重要衡量指标和传播特性抽象为可量化的数学模型对这些模型进行理论分析和数值模拟，能够深刻揭示传染病传播的机制，为决策层提供重要的策略建议传染病的动力学建模研究可以追溯到17 6 0 年，Bernoulli首次将数学理论引人天花传播的研究19 2 6 年，Kermack和Mckendrick提出了著名的易感者-感染者-恢复者(SIR)模型。为了描述免疫逃逸性强的流行病（例如，脑炎性疾病和布鲁氏菌病等）的传播动态，Kermack和Mckendrick于19 32 年建立了著名的SIS模型，将传染病的动力学建模研究推向了新的高潮。在此基础上，涌现了一系列具有不同特征和传播动态的流行病动力学模型1-2 1。这些模型为研究人员提供了深人洞察传染病传播机制的重要工具，同时也为传染病的防控提供了关键的理论支持.当前流行病的动力学建模研究大多以确定性模型为主，却往往忽视了环境随机性的潜在影响.当群体规模较大时，环境随机性可能不会显著影响流行病的传播动态，因此确定性模型可以较为准确地描述传染病的传播趋势然而，当群体规模较小时，确定性模型可能无法完全捕捉流行病传播过程的复杂性，因为环境随机性可能导致出现不同于预期的传播模式3在这种情况下，基于随机模型的流行病动力学建模研究变得必要。目前，随机传染病的动力学建模研究已经取得了一些重要收稿日期：2 0 2 3-0 8-12.联系人，E-mail：t a o fe n g y z u.e d u.c n.基金项目：江苏省自然科学基金（2 2 KJB110006）；扬州大学大学生科创基金项目（XCX20230237）；江苏高校品牌专业建设工程资助项目（数学与应用数学，PPZY2015B109）。引文格式：李争意，冯涛。一类具有资源约束的SIS流行病模型的随机动力学J.扬州大学学报（自然科学版），2 0 2 4，2 7（2)：67-72,78.（2)68进展例如，Nguyen等人4提出了一个具有非线性传染率的随机SIRS传染病模型，利用Lyapunov指数方法得到了决定疾病持久和灭绝的阈值指标.Du和Nhu5 构建了一个具有一般发生率的随机SIR传染病模型，运用随机分析理论研究了传染病的随机持久性和灭绝性值得注意的是，上述研究主要关注传染病在较长时间尺度上的演化趋势和稳定状态，却忽视了传染病在较短尺度上的传播过程和变化本研究以Liu 等6 建立的确定性 SIS流行病模型为基础，构建一个新的研究框架，用于分析随机环境下传染病的瞬态动力学。1模型描述最近，Liu等6 研究了一类具有资源约束的 SIS流行病模型该模型可以描述为：其中S(t)，I(t)和R(t)分别表示t时刻易感染者、染病者和资源的密度，A表示人口的常数输人率，o表示染病者的有效接触率，表示人口的自然死亡率，表示染病者的恢复率，ml和m分别为易感者和染病者对资源的消耗率系数，力衡量了资源对染病者传染率的抑制能力由于是模型（1)的正不变集，故模型（1)可降维为：I(-1)-(+)1,dt1+pRdR4(dtm AR-(m2-m)IR.对模型（2)的全局动力学进行理论分析，Liu等确定了影响疾病传播的基本再生数6 ，揭示了模型（2)的两种分支情况：前向分支和后向分支在前向分支中，当资源约束下的基本再生数超过1时，疾病会持续传播；在后向分支中，会产生双稳态动力学，即疾病会灭绝或以高水平持续存在，具体情况取决于染病者个体的初始规模和资源的丰富程度.传染病流行期间存在着多种类型的环境随机性。例如，政府机构可能会颁布旅行限制和口罩使用等临时政策7，空气湿度和温度等气候因素也会随时间波动8 这些因素都直接或间接地影响疾病的传播。在数学上，这些因素通常可以用布朗运动进行描述借鉴之前的建模方法9，假设环境随机性主要影响疾病的有效接触率，即其中B(t)是强度为的标准布朗运动.本文假设B(t)定义在具有滤子(F,)的完备概率空间（2,F,P)上，其中滤子(F,)o满足一般条件。基于上述讨论，得到如下具有资源约束的随机SIS传染病模型：(3)-m AR-(m m)I d.dR:L下面首先验证模型（3)在生物学上是合理的，然后探讨环境随机性与疾病灭绝概率和灭绝时间扬州大学学报（自然科学版）dsoISdtI+pR-S+y,dIoISR一(+)I,dt1+pRdR(dtC=(S,I)IS,I0,S+I=4)dIoo+B(t),R(-1)-(+)dt+dI1+pR一第2 7 卷(1)R-(m2-mi)IR,miol,(-1)d B(t),1+pR第2 期之间的关系。2环境随机性对流行病动力学的影响2.1全局正解的存在性和唯一性定理1对于任意给定的初始值(I(0),R(0)ER，模型（3)在t0上以概率1存在唯一正解(I(t),R(t)ER.证明由于模型（3)满足局部Lipschitz条件，故在tEO,t)上存在局部唯一正解，其中t。是爆炸时刻如果可以证明t=十oo，那么模型（3)显然存在全局唯一正解。定义充分大的正数n。满足nolI(0),R(0)no对于任意整数nno，定义停时：t,=inf(tE0,t.):min(I(t),R(t)n-I或 max(I(t),R(t)n).不失一般性，定义 inf=0则t，个，n00.由于tg:=limn=t,t，故当=co时，模型(3)存在全局唯一正解。下面使用反证法进行证明假设t，则存在常数N和E（0,1)，使得P(te.故可以找到整数nin。满足(4)定义Lyapunov函数R+MI+S其中M=max2P对Lyapunov函数V应用伊藤公式，可得dV=LVdi+I+Ro(4-1)其中 LV=(I-1)一（十）1+pR2(1+pR)2)川+(1-)4m1AR-(ma-m)IR11)(+y)+m2 一mibRo(+m)4+pR在区间O，T n N上对方程（5)两侧进行积分，可得EVEI(t,N),R(t,N)JV(I(O),R(0)+CN.令Q,=(t,N)，V n n 1.由公式（4)可知，P(n)e.对于任意的wEQn，I(t n w)和R(tn，)中至少有一个等于n或n-1因此，可得VI(tn,w),R(tn,w)I(n-1-ln n)(n-1-1+ln n).由方程(5）、（6)，可得V(I(0),R(0)+CNE10,()V(I(tn,),R(tn,w)Je(n-1-ln n)A(n-1-1+ln n),其中1表示Q，的示性函数令n8，可得因此,t=80.李争意等：一类具有资源约束的SIS流行病模型的随机动力学P(toe,Vnino:Sm2m11.)(I-1)dB(t),(1+M)o1+pR1o+Mo21+pR1+pR(1+M)4+18V(I(0),R(0)+CN80.69d.(5)oI+M1+pR从+)(M+1+R+1+pR2(1+pR)2A2+y+(a+m)A:=C8.)一(+(6)702.2流行病的灭绝概率和灭绝时间Liu等6 指出，模型（2)可能呈现双稳态现象，即疾病可能持续存在或者灭绝，这取决于感染者的初始规模以及资源的初始丰度.图1给出了基于模型（2)的时间序列图和吸引域的仿真结果，其中灰色和黑色区域分别表示无病平衡点E。和内部平衡点E的吸引域。一个引人关注的问题是，环境随机性如何影响双稳态现象？为了解答这一问题，针对随机模型（3），从灭绝概率和灭绝时间两个角度进行了数值模拟所有数值模拟均在MATLABR2021a平台上完成，模型参数及来源见表1.(a)80603402000参数A1(0)R(0)m1m2力遵循Higham的数值算法13，首先将随机模型（3)近似为以下离散系统：+1=+(t)z+g()s /+/(s-1)(g(b u+/ig()-g(),其中时间步长充分小，=1,2 服从高斯分布N(0,1)，=（()，()），=（,)R，且向量函数f，g：R R 的表达式为：1+p2f()=Amia2-(m2-mi)ai2图2 为R(0)=10时不同染病个体初始密度条件下的时间序列图仿真结果。图中虚线和实线分别对应于确定性模型(2)和随机模型(3)的仿真结果.由图2(a)可知，环境随机性的介人可以导致与确定性情景中相反的结果。具体来说，如果在确定性情景下疾病将持续存在，那么环境随机性介人扬州大学学报（自然科学版）(b)2015E,(Stable)E.(Stable)E(Unstable)1020t图1基于模型(2)的仿真结果(a)疾病的时间序列图(b)不同稳态的吸引域Fig.1Numerical simulation of Model(2)(a)the time series plot of the disease(b)regions of attraction for different steady states表1随机SIS传染病模型（3）的估计参数Tab.1Estimated parameters value for the stochastic SIS epidemic model(3)易感者的常数输人率自然死亡率有效接触率染病者的恢复率染病者的初始密度资源的初始丰度资源供给率资源的基础消费率与疾病有关的资源消耗率资源对发病率的抑制系数环境随机性的强度(会-2 1)-(+1oac1第2 7 卷1053040描述502默认值200.20.161.50,100,201.10.11.11.10,0.26.11+pa2g()=04()参考文献Wang等10 Wang等C10Younsi 等1Iannelli 等12 Younsi 等1假定假定假定假定假定假定16810第2 期后，疾病可能会灭绝。相反地，如果在确定性情景下疾病将灭绝，那么当环境随机性介人后，疾病也可能持久存在，如图2(b)所示因此，环境随机性对传染病传播动态具有重要影响.80r(a)60F:40200Fig.2 Numerical simulations of the time series plot with R(0)=10,I(0)=7(a)and I(0)=5(b)图3给出了环境随机性强度与传染病灭绝概率、灭绝逃逸概率的关系。疾病灭绝和逃逸概率由10000次数值计算得到的疾病灭绝和逃逸频率近似代替由图3（a)可知，随着环境随机性的强度增加（cE（0,0.0 6)），疾病灭绝的概率增加当环境随机性的强度足够大时，无论染病者的初始密度如何，疾病灭绝将以概率1发生。此外，在环境随机性的强度保持不变时，疾病的灭绝概率与感染个体的初始密度呈负相关结合图1(b)可见，感染个体初始密度距离灭绝稳态的吸引盆地边界越远，疾病灭绝的概率就越低。从生物学角度来看，这与Percus14I的观点一致，即随机性可能导致低密度群体的灭绝由图3（b)可见，环境随机性的强度与疾病逃逸概率之间的关系是上凸的：随着环境随机性的强度增加，疾病持续存在的概率先增加，后降低。这意味着中间强度的环境随机性更有助于疾病摆脱确定性灭绝的状态（本文称之为灭绝逃逸）此外，当染病者的初始密度更接近吸引域边界时，灭绝逃逸更有可能发生。1.0r(a)-1(0)=60.8F-I(0)=70.60.40.20.00Fig.3 Relationship between the intensity of environmental stochasticity(E(0,0.06)and the extinction图4给出了随机性强度、初始感染规模对传染病灭绝时间的影响灭绝时间是10 0 0 0 次数值计算中随机模型(3)的解趋近于0 的时间平均值，结果表明，疾病灭绝时间与环境随机性强度呈负相关当环境随机性强度足够小时，感染者的初始规模越大，疾病灭绝时间越长，这与实际情况一致.值得注意的是，当环境随机性强度足够大时，感染者的初始密度对疾病灭绝时间的影响非常有限.4结论本文提出了一个新的随机传染病动力学模型，用于描述环境随机性对具有资源约束的SIS传染李争意等：一类具有资源约束的SIS流行病模型的随机动力学-=0G=0.0350100图2 R(0)=10条件下I(0)=7(a)和I(0)=5(b)的时间序列图仿真结果0.020.04图3环境随机性强度与模型(3)的灭绝概率(a)和灭绝逃逸概率(b)的关系probability(a)and escape probability(b)of Model(3)71100元(b)806040201502000.06-6=0G=0.03501000.3(b)0.20.10.0L01501(0)=2-I(0)=4 0.020.042000.0672病传播动态的影响首先，通过构造Lyapunov函数，验证了随机模型全局正解的存在唯一性随后，借助数值仿真方法，分析了环境随机性对疾病灭绝概率和灭绝时间的影响结果表明，环境随机性对疾病传播的影响是多方面的，取决于具体场景特别地，疾病灭绝概率与环境随机性强度呈正相关，而灭绝逃逸概率在中等环境随机性强度时达到峰值.疾病灭绝概率还依赖于染病者的初始规模：当染病者的初始密度远离吸引盆地边界时，疾病的灭绝概率较小.疾病灭绝时间随环境随机性强度增大而缩短.参考文献：1WANG Hao,WANG Kai,KIM Y J.Spatial segregation in reaction-diffusion epidemic models EJ.SIAM JAppl Math,2022,82(5):1680-1709.2BURIE J B,DUCROT A,GRIETTE Q.Asymptotic behavior of an epidemic model with infinitely many variantsJ.JMathBiol,2023,87:40.3NOBLE D.The role of stochasticity in biological communication processes JJ.Prog Biophy Mol 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Equ,2017,29:957-979.扬州大学学报（自然科学版）第2 7 卷Free boundary problems with nonlocal diffusion and reaction termsZHANG Yu,ZHOU Ling*(College of Mathematical Science,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)Abstract:In this paper,the author studies a free boundary problem with nonlocal diffusion and re-action terms,proves the existence and uniqueness of the solution,and uses iterative method tostudy the asymptotic behavior of the solution.In particular,when diffusion occurs,it is proved thatthe system has a unique positive solution and is globally asymptotically stable in the sense of com-pact expansion,indicating that two populations can eventually coexist under weak competition.Keywords:Nonlocal diffusion;Nonlocal reaction;Free boundaries（责任编辑金朝阳）(上接第 7 2 页）Stochastic dynamics of an SIS epidemic model with resource constraintsLI Zhengyi,FENG Tao*(College of Mathematical Science,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)Abstract:To investigate the influence of environmental stochasticity on the dynamics of epidemicspread,a stochastic susceptible-infectious-susceptible(SIS)epidemiological model with resourceconstraints is constructed by using stochastic differential equations.Firstly,the existence anduniqueness of the global positive solutions of the stochastic epidemic model are proven by construc-ting Lyapunov function.Utilizing numerical simulation methods,the probability and duration ofepidemic extinction are analyzed under various scenarios.The results show that the intensity ofenvironmental stochasticity is positively correlated with the extinction probability of epidemic,andnegatively correlated with the extinction time of epidemic.Specifically,when the scale of infectivesapproaches the boundary of an attractor basin,epidemic extinction is more likely to occur.Thetheoretical framework proposed in this study can be extended to the study of other epidemic models.Keywords:epidemic model;extinction;environmental stochasticity;resource constraints（责任编辑金朝阳）