带复合函数的分式优化问题的最优性条件.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1875-1881 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134176 文章引用文章引用:田超松,肖程凤.带复合函数的分式优化问题的最优性条件J.应用数学进展,2024,13(4):1875-1881.DOI:10.12677/aam.2024.134176 带复合函数的分式优化问题的最优性条件带复合函数的分式优化问题的最优性条件 田超松田超松*，肖程凤肖程凤 吉首大学师范学院，湖南 吉首 收稿日期：2024年3月28日；录用日期：2024年4月23日；发布日期：2024年4月30日 摘摘 要要 本文通过本文通过利用次微分性质引入新的约束规范条件，在这些约束条件下建立了带复合函数的分式优化问题利用次微分性质引入新的约束规范条件，在这些约束条件下建立了带复合函数的分式优化问题的最优性条件的最优性条件。关键词关键词 最优性条件，分式优化问题，约束规范条件最优性条件，分式优化问题，约束规范条件 Optimality Conditions of the Fractional Optimization Problem with Composite Function Chaosong Tian*,Chengfeng Xiao College of Normal,Jishou University,Jishou Hunan Received:Mar.28th,2024;accepted:Apr.23rd,2024;published:Apr.30th,2024 Abstract This paper introduces some new constraint qualification conditions by using property of subdiffe-rentials.Under those constraint conditions,optimality conditions of approximate solutions for the fractional optimization problems with composite functions are given.Keywords Optimality Condition,Fractional Optimization Problem,Constraint Qualification Conditions *通讯作者。田超松，肖程凤 DOI:10.12677/aam.2024.134176 1876 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 分式优化问题广泛应用在实际生活中的金融领域、工程设计领域、计算机图像处理等诸多领域。通过应用分式优化理论和方法，可以找到更加有效的解决方案，提高实际问题的求解效率和质量，这对推动科技进步和社会发展具有重要意义。为此，产业部门和科研机构对分式优化问题的研究引起了高度重视。诸多学者先利用 Dinkelbach 的方法，将分式优化问题转化为非分式约束优化问题，再利用上图类条件、次微分性质、闭性条件等对此进行研究，对分式优化问题的最优性条件进行刻画(参看文献1 2 3 4 5)。与此同时，目标函数为复合函数的问题相较于一般约束问题，展现出更高的普遍性。例如，优化问题中的凸优化问题、多目标分式规划问题、极大极小问题以及鲁棒优化问题等，均可视为复合优化的特例。这些问题因其复合性而在求解过程中具有更高的挑战性，引起学者们的极大兴趣，利用上图类条件、Frchet 次微分性质等对此进行诸多研究，得到了复合优化问题的KKT类最优性条件、-最优解等(参看文献6 7)。在函数不一定连续，集合不一定闭的情形下，将分式优化问题分为 DC 和凸优化两类讨论，学者利用上图类闭性条件、次微分性质等对 DC 类分式优化进行研究，得到了最优性条件，局部和全局最优解(参看文献8 9)；受此启发，本文将研究带复合函数的分式优化问题的 KKT 类最优性条件。2.预备知识预备知识 设,X Y Z是实局部凸ausffHdor拓扑向量空间，用*,XYZ分别表示他们的共轭空间，分别赋予弱*拓扑(),XX和(),YY。用,xx表示泛函xX在点xX的值，即(),xxxx=。设K和S分别是 Y 和 Z 的闭凸锥，Y 和 Z 分别是K和S所定义的序空间。对于 Y 和 Z 中的KS和，记:,:YZYYZZ=，其中YZ，分别表示 Y 和 Z 中的最大元。设Z是X的非空子集，记Z的凸锥包和闭包分别为coneZ和clZ。集合Z的对偶锥定义为：:,0,ZxXxzzZ=，示性函数为：()0,:,ZxZx=+其他 设:fXRR=+：是 真 函 数，定 义f的 有 效 定 义 域、共 轭 函 数 分 别 为：():,domfxXf x=+()():sup,:,fxxxf xxXxX=。当f是凸函数时，f在点xdomf的 次 微 分 定 义 为()():,(),f xxXf xxyxf yyX=+。特 别 地，由 定 义 有()(),ZZNxxxZ=。由文10的定理 2.3.1(ii)和定理 2.4.2(iii)知Young Frechet不等式和Young等式成立，即()()(),.f xf xxxxxXX+()(),().f xfxxxxf x+=设:h XR是真函数且满足domfdomh，对任意的adomfdomh，则()()()()f ah afha+(1)设:XR是一个实值函数，点0 xdom且满足()0 x+。由文11知，定义函数在Open AccessOpen Access田超松，肖程凤 DOI:10.12677/aam.2024.134176 1877 应用数学进展 0 x点的 Frchet 次微分为：()()()00000,:liminf0.xxxxxxxxxXxx=特别地，当是凸函数时，()()00:xx=即为凸分析中经典的次微分。由定义可知()()00 xx (2)0 x为的局部最优解()00 x (3)且 0 x为的整体最优解()00 x (4)特别地，当为凸函数时，对于()()000,xdomxx=。令:XR为另一实值函数，若和在0 x处有限，则由文献8中的定理 3.1 可得()()()()()000.uxxxu (5)引理引理 2.1.1 10令,:f h XR是真凸函数且满足domfdomh。若f或h在domfdomh上有连续点，则()()()(),.fhaf ah aadomfdomh+=+3.带复合函数的分式优化问题的最优性条件带复合函数的分式优化问题的最优性条件 设1:fYR是真凸 K-增函数，2:fXY是真 K-凸函数，:g XR是真凸函数。记()()()()12212,:,.ffxxdomfffx=+当其他 显然，12ff是真凸函数。在上述条件下，考虑下面带复合函数的分式优化问题()()()()()12inf.,ffxg xPstxC h xS 的最优性条件，利用 Dinkelbach 的方法，先将分式优化问题转化为下面的非分式的约束优化问题()()()()()12inf.,ffxg xPstxC h xS 其中.R 显然，问题P的目标函数跟的取值相关。当0时，问题P的目标函数12ffg为 DC函数；而当0时，易知12ffg为凸函数，问题P就是复合凸规划问题。令 A 表示系统(),xC h xS 的可行解集，即():,.AxC h xS=设,0Ax()()()12000:ffxg x=。没有特殊说明情形下，均假设()12Adom ffg，函数()0.g xxA，设(),.xRX为简便起见，记 田超松，肖程凤 DOI:10.12677/aam.2024.134176 1878 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()1212,0,CffxvgxShxxfxNxhxv=+()()()()()()()()()()()1222,dom0,.CffxSvghxxfxNxhxv=+由定义可知()()()21,.xxxRX,引理引理 3.1.1 8当0 xA时，0 x是问题()P的最优解当且仅当0 x是问题()0P的最优解。证 明 令()()()12000ffxg x=：，即()()()120000.ffxg x=0 x是 问 题()P的 最 优 解 等 价 于()()()()()()120120.ffxffxxAg xg x，由于()0g xxA，故上式等价于()()()120.ffxg x显然，上式等价于()()()()()()120120000.ffxg xffxg x=因此，0 x是问题()0P的最优解。3.1.0 0 的情形的情形 本节主要对问题()P的最优解的特征进行刻画。首先引进下列约束规范条件：定义定义 3.1.1()a设()xRX，若下列包含关系()()()121,Affgxx+(6)成立，则称系统12,:CffghS在(),x处满足()1FBCQ条件。()b若包含关系()()()121,Affgxx+(7)成立，则称系统12,:CffghS在(),x处满足()2FBCQ条件。注注 3.1.1(i)当2XfId=时，()1FBCQ条件和()2FBCQ条件分别转化为文5中的()FBCQ条件和()GBCQ条件。(ii)当2XfgId=时，()1FBCQ条件和()2FBCQ条件一致并转化为文12中的()fBCQ条件，即()()()()()(),0()().ACShxfxf xNxhx=+=+定义定义 3.1.2 若包含关系()()()122,Affgxx+成立，则称系统12,:CffghS在(),x处满足()BCQ条件。对任意的()0120.xdom ffgA文6引入以下约束规范条件，即()CBCQ条件：()()()()()()()()()()()12122,0.ACffxShxffxfxNxhx=+=+(8)命题命题 3.1.1 令()0120.xdom ffgA若系统12,:CffghS在()00,x处满足()CBCQ条件，则系统12,:CffghS在()00,x处满足()1FBCQ条件和()2FBCQ条件。证 明证 明 假设系统12,:CffghS在()00,x处 满足()CBCQ条件，则(8)式成立。若()()00gx=或()()1200Affgx+=，则(6)式 自 动 成 立。下 设()()00gx或田超松，肖程凤 DOI:10.12677/aam.2024.134176 1879 应用数学进展 ()()1200Affgx+。任取()()1200.Apffgx+注意到12Aff+和g 都是凸函数。故有(5)式有()()()()()00120.Avgxpffxv+再结合(8)式有()100,.px因此，则(6)式成立，即()1FBCQ条件成立。又由(2)式有()()()()12001200.AAffgxffgx+则有()()()1200100,Affgxx+即()2FBCQ条件成立。证毕。下面定理刻画了问题()P的局部最优性条件。定 理定 理 3.1.1 令()0120.xdom ffgA假 设 系 统12,:CffghS在()00,x处 满 足()1FBCQ条件，若0 x是问题()P的局部最优解，则对任意的()()00,vgx存在()()120ffx和S使得()()00hx=且()()()()()2000.CvfxNxhx+(9)证明证明 设0 x是问题()P的局部最优解，由引理 3.1.1 可知，0 x是问题()0P的局部最优解。故由(3)式有()()12000Affgx+。由于系统12,:CffghS在()00,x处满足()1FBCQ条件，因此()1000,x。从而对任意的()()00vgx，存在()()120ffx和S使得()()00hx=且(9)式成立。证毕。根据命题 3.1.1 和定理 3.1.1 可得以下结论。推 论推 论 3.1.1 设()0120.xdom ffgA假 设 系 统12,:CffghS在()00,x处 满 足()CBCQ条件，若0 x是问题()P的局部最优解，则对任意的()()00vgx，存在()()120ffx和S使得()()00hx=且(9)式成立。下面定理刻画了问题()P的全局最优性条件。定理定理 3.1.2 令()0120.xdom ffgA假设在()00,x处，系统12,:CffghS满足()2FBCQ条件，若0 x是问题()P的全局最优解当且仅当对任意的()()00,vgx存在()()120ffx和S使得()()00hx=且(9)式成立。证明证明 由引理 3.1.1 和(4)式可知，0 x是问题()P的全局最优解当且仅()()12000.Affgx+由于()2FBCQ条件成立，因此上式又等价于()1000,x。即对任意的()()00,vgx存在()()120ffx和S使得()()00hx=且(9)式成立。证毕。由命题 3.1.1 和定理 3.1.2 可的得下面定理。定理定理 3.1.3 令()0120.xdom ffgA若在()00,x处，系统12,:CffghS满足()CBCQ条件，则0 x是问题()P的全局最优解必满足：对任意的()()00vgx，存在()()120ffx和S使得()()00hx=且(9)式成立。3.2.0 0 的情形的情形 当00时，问题()0P的目标函数120ffg是凸函数，由于凸函数的局部最优解与整体最优解完全一致，因此本节只需考虑问题()P的全局最优性条件即可。为方便起见，记()()()()()()()()()()()()122,0CffxShxxfxgxNxhx=+,，其中00 xA，。引理引理 3.2.1 10设:g X 是真凸函数，:domXZ是真K 凸函数，:fZ 为真凸函数且在()domK+上是K 增函数。若存在点()10domdomxgf+使得函数f在()0 x处连续，则对任意的()1domdomxgf+，有()()()()()ffgxgx+=+。田超松，肖程凤 DOI:10.12677/aam.2024.134176 1880 应用数学进展 故由引理 3.2.1 作以下定义。定义定义 3.2.1 若()()()12,Affgxx+(10)成立，则称系统12,:CffghS在(),x处满足()BCQ条件。注注 3.2.1(i)当0=时，()BCQ条件转化为文6中的()CBCQ条件，即(8)式成立。(ii)当2XfId=时，()BCQ条件分别转化为文5中的()SBCQ条件。(iii)当2XfgId=时，()BCQ条件一致并转化为文11中的()fBCQ条件。命题命题 3.2.1 设()0120.xdom ffgA若系统12,:CffghS在()00,x处满足()BCQ条件当且仅当()()()120000,Affgxx+(11)证明证明 设()0120.xdom ffgA欲证系统满足()BCQ条件与(11)式等价只需证()()()001200,Axffgx+(12)由文(6，引理 3.1)可得()()()()()()()()()()()12200120,0,CAffxShxfxNxhxffx=+两边同时加上()()00g,x ()()()()()()()()()()()()()()()()1200200000,012000,CffxShxAxfxgxNxhxffxgx=+=+，从而由(1)式可得(12)式成立。证毕。命题命题 3.2.2 设()0120.xdom ffgA假设在0 x处系统12,:CffghS满足()CBCQ条件。若g在()120dom ffgA上有连续点，则系统12,:CffghS在()00,x处满足()BCQ条件。证明证明 假设 g 在()120dom ffgA上有连续点，由于()12Aff+和 g 都是凸函数，故结合引理2.1.1 有()()()()()()120012000.AAffgxffxgx+=+由()CBCQ条件可知(11)式成立。从而由命题 3.2.1 可知()BCQ条件成立。证毕。定理定理 3.2.1 设()0120.xdom ffgA假设在0 x处，系统12,:CffghS满足()BCQ条件，则0 x是问题()P的最优解必满足存在()()120ffx和S使得()()00hx=且()()()()()()()2000000CfxgxNxhx+(13)证明证明 由引理 3.1.1 和(4)式可知，0 x是问题()P的最优解必满足()()12000.Affgx+(14)由于()BCQ条件成立，(14)式等价于()000,x，即存在()()120ffx和S使得()()00hx=且(13)式成立。由此可知结论成立。根据命题 3.2.2 和定理 3.2.1 可得以下结论。推 论推 论3.2.1 若g在()120dom ffgA上 存 在 连 续 点，如 果 在()00,x处，系 统12,:CffghS满足()CBCQ条件，那么0 x是问题()P的最优解当且仅当存在()()120ffx和田超松，肖程凤 DOI:10.12677/aam.2024.134176 1881 应用数学进展 S使得()()00hx=且(13)式成立。4.总结总结 本文主要研究了带复合函数的分式优化问题的最优性条件。在函数不一定是下半连续，集合不一定是闭集的情形下，利用次微分性质，通过寻找新的约束规范性条件，等价刻画了带复合函数的分式优化问题的最优性条件，推广了一般分式优化问题和复合凸优化的相关结果。在现实中很多问题的条件并不是确定的，因此，后续作者将在约束条件不确定和目标函数与约束条件都不确定的条件下，研究带复合函数的分式优化问题的最优性条件。基金项目基金项目 国家自然科学基金项目(11861033)。参考文献参考文献 1 Dinkelbach,W.(1967)On Nonlinear Fractional Programming.Management Science,13,492-498.https:/doi.org/10.1287/mnsc.13.7.492 2 Becror,C.R.,Chandras,S.and 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