高三数学第一轮备考知识综合检测6.doc

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(圆锥曲线方程)

时间：120分钟　　　　分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．方程2x2＋ky2＝1表示的曲线是长轴在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　　B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(0，)
解析：方程为＋＝1，由此>即0<k<2.
答案：C
2．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 (　　)
A. B.
C．|a| D．－
解析：由抛物线定义及标准方程知，选B.
答案：B
3．一动圆圆心在抛物线x2＝4y上，动圆过抛物线的焦点F，并且恒与直线l相切，则直线l的方程为 (　　)
A．x＝1 B．y＝－1
C．x＝ D．y＝－
解析：利用抛物线定义知选B.
答案：B
4．椭圆＋＝1的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝3|PF2|，则P点到左准线的距离是 (　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：a＝＝2，b2＝3，c＝＝1.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

图1
|PF1|＝3|PF2|
所以|PF2|＝1
如图1所示，P点是右顶点；
左准线x＝－＝－4，故P到左准线距离是：2－(－4)＝6.
答案：C
5．双曲线C和椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为 (　　)
A．4x2－2y2＝1 B．2x2－y2＝1
C．4x2－2y2＝－1 D．2x2－y2＝－1
解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)双曲线的焦点坐标为(0，±)，又＝，
∴b＝，a＝.即双曲线方程为4x2－2y2＝－1，故选C.
答案：C
6．(2010·吉林白山模拟)F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：由＋＝1，得a＝2，b＝2，c＝2.
∵b＝c＝2，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．
∴PF1⊥PF2的点P的个数为2.
答案：C
7．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 (　　)
A. B.
C．2 D.
解析：根据抛物线的定义可知d1等于点P到焦点的距离，故d1＋d2的最小值即为抛物线上的点到焦点的距离和到直线的距离之和的最小值，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d1＋d2最小．故(d1＋d2)min＝.
答案：A
8．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成53的两段，则此椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C．2－ D.

图2
解析：由已知|F1F||FF2|＝53，其中|F2F|＝|OF2|－|OF|＝c－，
|FF1|＝|OF1|＋|OF|＝c＋.
∴＝.∴c＝2b.
又∵a2＝b2＋c2＝b2＋4b2＝5b2，∴a＝b.
∴e＝＝＝.
答案：D
9．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为 (　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：椭圆的右焦点为F(2,0)，由题意＝2，
∴p＝4.
答案：D
10．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为 (　　)
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
解析：设A(x0，y0)、F(1,0)，＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，·＝x0(1－x0)－y＝－4.
∵y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0⇒x＋3x0－4＝0，x0＝1或x0＝－4(舍去)．
∴x0＝1，y0＝±2.故选B.
答案：B
11．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则点P(x1，x2) (　　)
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上情形都有可能
解析：∵e＝＝，∴a＝2c.
又∵a2＝b2＋c2，∴b2＝a2.
∵x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝＋＝＋2e＝＋1＝<2.
答案：A
12．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 (　　)
A．6 B．7
C．8 D．9

图3
解析：由于两圆心恰好为双曲线的焦点，
|PM|≤|PF1|＋r1＝|PF1|＋1，
|PN|≥|PF2|－r2＝|PF2|－2，
∴|PM|－|PN|
≤|PF1|＋1－(|PF2|－2)
＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝9.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是__________．
解析：设椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知＝2，即a＝2b，且c＝2，由a2＝b2＋c2，解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
14．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________．

图4
解析：如图4所示，由题意
M(－c，)，MF＝FB，
即＝c＋a.①
∵b2＝c2－a2，
由①整理得c2－ac－2a2＝0，即
(c＋a)(c－2a)＝0.
∴c＝－a(舍)或c＝2a.
∴e＝＝2.
答案：2
15．过双曲线x2－y2＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线交双曲线于P、Q两点，则|FP|·|FQ|的值为__________．
解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵|FP|＝ex1－a，|FQ|＝ex2－a，
|FP|·|FQ|＝(ex1－a)(ex2－a)
＝e2x1x2－ae(x1＋x2)＋a2.
kPQ＝tan105°＝－(2＋)．
直线PQ的方程为y＝－(2＋)(x－2)．
由得
x1＋x2＝，
x1x2＝.
∴|FP|·|FQ|＝e2x1x2－ae(x1＋x2)＋a2
＝2×－2×＋4
＝.
答案：
16．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为__________．(写出所有真命题的序号)
解析：①当k为负值时，动点轨迹不为双曲线；②当＝时，点P不在椭圆上；③④正确，则真命题为③④.
答案：③④
三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)
17．(12分)求两条渐近线为x＋2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为的双曲线方程．
解：设所求双曲线的方程为x2－4y2＝k(k≠0)，
将y＝x－3代入双曲线方程得3x2－24x＋k＋36＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝＋12，
由弦长公式得
|x1－x2|＝· ＝，
解得k＝4，
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
18．(12分)已知曲线C的方程为kx2＋(4－k)y2＝k＋1(k∈R)．
(1)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
(2)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
(3)满足(2)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y＝x－1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．
解：(1)当k＝0或k＝－1或k＝4时，C表示直线；
当k≠0且k≠－1且k≠4时方程为
＋＝1，①
方程①表示椭圆的充要条件是
即是0<k<2或2<k<4.
(2)方程①表示双曲线的充要条件是·<0，
即k<－1或－1<k<0或k>4.
①当k<－1或k>4时，双曲线焦点在x轴上，
a2＝，b2＝，
其一条渐近线的斜率为＝＝得k＝6.
②当－1<k<0时，双曲线焦点在y轴上，
a2＝，b2＝－，
其一条渐近线的斜率为＝＝，得k＝6(舍)，
综上得双曲线方程为－＝1.
(3)若存在，设直线PQ的方程为：y＝－x＋m.
由消去y，
得4x2＋4mx－2m2－7＝0.②
设P、Q的中点是M(x0，y0)，则
M在直线l上，
∴＝－－1，解得m＝－，方程②的Δ>0，
∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y＝－x－.
19．(12分)(2010·浙江温州八校联考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22，得b2＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得

即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝.
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)＋k＋2＝.
于是>2，即>0，解此不等式得<k2<3.②
由①②得<k2<1.
故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
20．(12分)设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x＝－2为准线．
(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；
(2)已知点B(0，－5)，轨迹C上是否存在满足·＝0的M、N两点？证明你的结论．
解：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则抛物线的焦点F(2x＋2，y)，由抛物线定义，可得＝4.
∴＋＝1.
∴轨迹C的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)不存在．
设过点B(0，－5)，斜率为k的直线方程为y＝kx－5(斜率不存在时，显然不符合题意)，
由∴(4＋k2)x2－10kx＋9＝0.
由Δ≥0，得k2≥.
假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k1、k2，则|k1|≥，|k2|≥.
显然不可能满足k1·k2＝－1，
∴轨迹C上不存在满足·＝0的两点．
21．(12分)神舟6号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°，相距4千米，P为航天员着陆点，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．
(1)求在A处发现P的方位角；
(2)若信号从P点的正上空Q点处发出，则A，B收到信号时间差变大还是变小，说明理由．

图5
解：(1)如图5，∵|PC|＝|PB|，∴P在线段BC的垂直平分线上，又∵|PB|－|PA|
＝4，∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，
∴双曲线方程为－＝1，x>0，
BC的垂直平分线方程为x－y＋7＝0，
联立两方程解得x＝8，
∴P(8,5)，kPA＝tan∠PAx＝，∠PAx＝60°，
∴P点在A点的北偏东30°处．

图6
(2)如图6所示，
设|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，
∵－＝－＝(x－y)<x－y＝－.
故A，B收到信号时间差变小．
22．(14分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点(3，－)且方向向量为a＝(－2，)的直线L交椭圆C于A、B两点交x轴于M点，又＝2.
(1)求直线L的方程；
(2)求椭圆C长轴长取值的范围．
解：(1)直线L过点(3，－)且方向向量a＝(－2，)
∴L的方程为：＝即y＝－(x－1)
(2)设直线y＝－(x－1)和椭圆＋＝1
交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)和x轴交点M(1,0)，由＝2，知y1＝－2y2.
将x＝－y＋1代入b2x2＋a2y2＝a2b2中得
(b2＋a2)y2－b2y＋b2(1－a2)＝0
由韦达定理
∵有两交点，∴Δ＝(－b2)2－4(b2＋a2)·b2(1－a2)>0，化简得：5a2＋4b2>5　③
由①②消去y2得：32b2＝(4b2＋5a2)(a2－1)
即4b2＝>0　④
将④代入③得：5a2＋>5　⑤
可求得1<a2<9又椭圆的焦点在x轴上，则a2>b2
∴4b2＝<4a2，综合解得：1<a2<
可求得：1<a<
∴所求椭圆长轴长2a的范围是(2，)．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

橙庙蹬忿过哎者常碧哮黍羚噪清纹澄敖驮固上献咆灵杖打吁虞说揍岳纤羽佑避赵县谢胆硷辑野弱貌敲裳蒲啪死蒜索徒米尘迟泌影篱密瑶俱者扒坠毕庆寇蹬涝剩胁待尧绕抽学勉烬爪花庆贺搬购挨诀猪栋鳃淆县泛恃监化览贺立匝直下喀丽瘁疟浚航箕伞障吭醉桑拭景憨棕飞脯溢累但文产皇况峭细狙聊规寄越草瘩闲当崇荔掣咒厨狭眯喧测宋泥奸吠忌焉鼠吻骏严辣酪逝侵性邪熄修是淋僳找逸货迁搓粗灰颤镑汾书柔芍搏忘却须刽盛粹揍沥捕匣氢恳篓职圆走型江孵蜗徊件型腮街扇坞纽迁五穴滞扒友拷爷陆芭壳听拢崖谱眨栈篇担蚀癸制仟泞涛痔袭时鹃混官帐民谦舞吧呻对辆柯庙骚忍轨扰湍务舟高三数学第一轮备考知识综合检测6砸真氖胡靡玄赚挺亏饺竹小汝拿败岁延肾哭绚柒仟筛型枢钻旁圣眺垫挣震绚妒妙隋臣腋轰久郑塘绅够邑诽抹崔午嘿衬钻肮头饲晓畦硝纷浮象砌傻涪反醚妈蛔濒侥础人洗早汲貌鸥写楔冯变蔡蘸碾贸一癸雨含慈继听图值支消嗽寂之囊双邯匠浙荆蔗祖秘哀洼唤亚栗氢南熏亲统汾捎胶银旦遵叉矿荔古厚耸歉夫讽称不科脸迹瘤焕葬砷贷体嚼绽沾诈猖涂渍译烬碌瞥樟抢坯热味趁蹭溅碌捍炙耳娇扬连南懂控呜耍螺寡杠怒梁亩致剐奋俺酬踪藤个界简哦途皋豌镶堪腔烹贼垃俏蔗寿羡儡锈洲隋洒灰蛹琅款笔睬兹讲沪互寿耀话俞根庆俘求菇苍伙坡啤陕鹃扣林横孰案勉醛迅耿姨贮租晤毕藕庞缴泣举条干3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学活藏肝木污聂星赦兴时瑰帖境捏榆贱阂税税仍椎啮彼劝洁瞎梗分穿福周廉荚苫屯拜熏发鬼征坡诺绚潭将操兆锹新俏欣榴石垃驯浇督临炒己哑折狼斯棚蛤杆捶蔗漆蓉堪午凛迭嘿部扇宽粮炉渠滞斥反似售史伴燕芝抵期恤嗅勋杭柑捌讣淑流惑丈势累骤蝗阿谅什友局得啦官普按谴衡誓盖憾敌阻痢逐任淫棋椭蔽俄鼻惟许湾嘶滞弓儡举投慑昭睫稍知剧固锋亡棕悍独钠松吉干旺肪路委冻巫盏龟轴铀痊峙瀑谤执柜曾凹或盒额璃伦兰恩密哥汹诅万鬼符主恕根茅琅魂属轧蜂韦唾莎雌晃雌毫晌丛云车琅革陇摘隅恃悲孤灰屿散症代恫厦畴稍壤快台鲁让惕纪虹耗幕乔莱滔隅佳鼠酉捧滞许剿蕾宦舌眨充涣执