高三数学能力提升达标检测51.doc

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技能演练
基 础 强 化
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝a:b:c.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析　①②③不正确，④⑤正确．
答案　B
2．在△ABC中，已知a:b:c＝4:3:5，则＝________.
解析　设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得
＝＝1.
答案　1
3．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，则a等于(　　)
A. B.
C.＋1 D．3－
解析　由正弦定理，得sinC＝＝＝，又b>c，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝，得a＝.
答案　B
4．在△ABC中，已知3b＝2asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析　利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝，A＝，或，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．
答案　B
5．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析　∵a＝2bsinA，
∴sinA＝2sinBsinA.
∵sinA≠0，∴sinB＝，
又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.
答案　D
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
由＝，得c＝＝＝2.
答案　2
7．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝_____ ___.
解析　∵tanA＝，∴sinA＝ .
在△ABC中，＝，
∴AB＝·sinC＝×＝.
答案　
8．在△ABC中，若A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.
解析　由A＋B＋C＝180°及A:B:C＝1:2:3，知A＝180°×＝30°，B＝180°×＝60°，C＝180°×＝90°.
∴a:b:c＝sin30°:sin60°:sin90°＝::1＝1::2.
答案　1::2
能 力 提 升
9．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.

(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解　(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得
＝，
故AE＝＝＝－.
10．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求的取值范围．
解　∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝.
如果A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝.
∴＝＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA
＝sin.
∵a≠b，C＝，∴A∈，且A≠，
∴∈(1，)．
品 味 高 考
11．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.
解析　由A＋B＋C＝180°，A＋C＝2B，
得B＝60°.
由正弦定理＝，
得sinA＝＝×＝.
答案　
12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，求B.
解　由cos(A－C)＋cosB＝及B＝π－(A＋C)，得
cos(A－C)－cos(A＋C)＝，
cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝，
sinAsinC＝.
又由b2＝ac及正弦定理，得sin2B＝sinAsinC，
故sin2B＝，sinB＝，或sinB＝－(舍去)，
于是B＝，或B＝.又由b2＝ac，知b≤a，或b≤c，∴B＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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