2016届中考数学题型研究突破复习题8.doc

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(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式; (2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点; (3)在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.第4题图 5. 如图，抛物线y= -x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=3. （1）求抛物线的解析式； （2）作RtOBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，ABOC,OA=AB=2,OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D，将DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标. 第6题图【答案】针对演练1.解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得,抛物线的解析式为y=x2-4x+3.（2）令x=0,则y=3,点C（0，3），又点A(3,0),直线AC的解析式为y= -x+3,设点P（x,x2-4x+3）,PDy轴，且点D在AC上，点D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+,a=-10,当x=时，线段PD的长度有最大值，最大值为.(3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB，可得：MAMB，由三角形的三边关系，MA-MC-4,当x=-2时，线段PD取得最大值，将x=-2代入y= -x2-x+4中得y=4,线段PD取得最大值时,点P的坐标为（-2,4）.过点P作PFOC交AC于点F，如解图.PFOC,PEFOEC,.又=,OC=4,PF=. 由 得PF（-x2-x+4）-(x+4)= .化简得：x2+4x+3=0,解得x1= -1,x2= -3.当x= -1时，y=；当x= -3时，y=.即满足条件的P点坐标是（-1，）或（-3，）.又点P在直线y=kx上，k= -或k= -. 第3题解图4.(1)解：设AC与x轴的交点为M，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直线AC的解析式为y=x-1，直线AC与x轴的交点M(1，0).OM=OA，CAO=45.CAB是等腰直角三角形，ACB=45，BCy轴,又OMA=45，OAB90，ABx轴,点B的坐标为(4，-1).抛物线过A(0，-1)，B(4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中，得,解得，抛物线的解析式为y-x2+2x-1.(2)证明：抛物线y= -x2+2x-1= -(x2-4x)-1= (x2)2+1,顶点P的坐标为(2，1)，抛物线y= -(x2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为，其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,平移后的二次函数的解析式为y= -(x-3)2+2，当y=0时，有0= -(x-3)2+2，解得x1=1，x2=5，y-(x-3)2+2过点(1，0)和(5,0)，直线AC的解析式为y=x-1，直线AC与x轴的交点坐标为(1，0)，平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.(3)解：如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2.理由：取AB的中点F，连接FN，FQ，作B点关于直线AC的对称点B，设平移后的抛物线的顶点为P.连接BB，BQ,BQ,则BQBQ,抛物线y= -(x-2)2+1的顶点P(2，1)，A(0,-1)，PA=2,抛物线沿AC方向任意滑动时，PQ=2，A(0，-1)，B(4，-1)，AB中点F(2，-1)，B(4，-1)，C(4，3)，N(4，1)，FN= =2,FNPQ,在ABC中，F、N分别为AB、BC的中点， 第4题解图FNPQ，四边形PNFQ是平行四边形，NP=FQ,NP+BQ=FQ+BQFB=2.当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2.5.解：（1）OA=2,点A的坐标为（-2，0）.OC=3,点C的坐标为（0，3）.把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y= -x2+bx+c,得，解得，抛物线的解析式为y-x2+x+3.(2)把y=0代入y= -x2+x+3,解得x1=3,x2=-2,点B的坐标为（3，0），OB=OC=3,ODBC,OE所在的直线为y=x.解方程组,解得,点E在第一象限内， 第5题解图点E的坐标为（2，2）.（3）存在，如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，QA=QB,BEQ的周长BE+QA+QE,BE为定值，且QA+QEAE,当A、Q、E三点在同一直线上时，BEQ的周长最小，由A(-2,0)、E(2，2)可得直线AE的解析式为y=x+1,由（2）易得抛物线的对称轴为x=,点Q的坐标为（，）,在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得BEQ的周长最小.6.解：(1)由题意得A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a0),将点B、C分别代入得,解得,抛物线的解析式为y= - x2+ x+2.(2)y= -x2+ x+2= -+，设抛物线的顶点为G，则顶点G的坐标为（1，），过G作GHAB，垂足为H，如解图,则AH=BH=1,GH=-2=,EAAB,GHAB,EAGH,GH是BEA的中位线,EA=2GH=.过B作BMOC,垂足为M,如解图,则MB=OA=AB. 第6题解图 第6题解图EBF=ABM=90,EBA=FBM=90-ABF.RtEBARtFBM.FM=EA=.CM=OC-OM=3-2=1,CF=FM+CM=.(3)如解图,要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单位至点K，取C点关于对称轴对称的点M，连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短，则QPKB为平行四边形，QB=PK,连接CP，根据轴对称求出CP=MP，则CP+BQ最小，CB，QP为定值，四边形BCPQ周长最短.将点C向上平移一个单位，坐标为（3，1），再作其关于对称轴对称的对称点C1，得点C1的坐标为（-1，1）.可求出直线BC1的解析式为y=x+.直线yx+与对称轴x1的交点即为点Q，坐标为（1， ）.点P的坐标为（1，）.综上所述，满足条件的P、Q两点的坐标分别为（1，）、（1，）.题型五二次函数综合题类型二与面积有关的问题针对演练1. （2015桂林）如图，已知抛物线y= -x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动.(1)求抛物线的解析式；(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：当t为何值时，CED的面积最大?最大面积是多少?(3)当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. （2015海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B(1,0)，与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H(3,0)，AD平行GC交y轴于点D.（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图，点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；若CMN的面积等于，请求出此时中S的值. 图 图第2题图3. (2015深圳)如图，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；（3）如图，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC=3SEBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 图 图第3题图4. （2015武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图【答案】针对演练1.解：(1)将点A(0，8)、B(8，0)代入抛物线y= -x2+bx+c，得,解得，抛物线的解析式为y= -x2+3x+8.(2)点A(0,8)、B(8，0)，OA=8,OB=8，令y=0，得 -x2+3x+8=0,解得:x1=8,x2=-2,点E在x轴的负半轴上，点E(-2，0)，OE=2，根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t,OC=t,OD=8-t,DE=OE+OD=10-t,SCED=DEOC= (10-t)t= -t2+5t,即S= -t2+5t=- (t-5)2+,当t=5时，SCED最大 (3)存在.由(2)知：当t=5时，SCED最大当t=5时，OC=5,OD=3,C(0,5),D(3,0),由勾股定理得CD=,设直线CD的解析式为：y=kx+b（k0）,将C(0,5),D(3,0)，代入上式得：解得,直线CD的解析式为y= - x+5,过E点作EFCD，交抛物线于点P1，则SCED， 第1题解图如解图，设直线EF的解析式为y= -x+m,将E(-2，0)代入得：m= -,直线EF的解析式为y= -x-,将y= -x-与y= -x2+3x+8联立成方程组得：,解得（与E点重合，舍去）, ,P1(,- );过点E作EGCD，垂足为G，当t=5时，SECD=CDEG=,CD=,EG=,过点D作DNCD,垂足为N，且使DN=,过点N作NMx轴，垂足为M，可得EGDDMN,=,即，解得：DM=,OM=,由勾股定理得：MN= =,N(,),过点N作NP2CD，与抛物线交于点P2，P3(与B点重合)，则SCED，SCED,设直线NP2的解析式为y= -x+n,将N(,)，代入上式得n=,直线NP2的解析式为y= -x+,将y= -x+与y= -x2+3x+8联立成方程组得：,解得,P2(,)或P3(8,0),综上所述，当CED的面积最大时，在抛物线上存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于CED的最大面积，点P的坐标为：(,-)或(,)或(8,0).2.(1)解：二次函数y=ax2+bx+3过点A(-3，0)、B(1，0)，,，解得，二次函数的表达式为y=x22x+3. (2)证明：由(1)知二次函数的表达式为y=x22x+3，令x=0，则y=3,点C的坐标为(0，3)，OC=3，又点A、H的坐标分别为(-3,0)、(3,0)， OA=OH=OC=3， OCHOHC，ADGC，OCHODA,OHC=OAD,OADODA, OA=OD=OC=OH=3，又AHCD,四边形ACHD为正方形.(3)解：S四边形ADCM=S四边形AOCM+SAOD， 第2题解图由(2)知OA=OD=3，SAOD=33=，点M(t,p)是直线y=kx与抛物线y= -x2-2x+3在第二象限内的交点，点M的坐标为(t,-t2-2t+3)，如解图，作MKx轴于点K,MEy轴于点E，则MK=-t2-2t+3,ME=t=-t，S四边形AOCM=SAOM+SMOC=3(-t2-2t+3)+ 3(-t)，即S四边形AOCM= -t2-t+，S四边形ADCMS四边形AOCM+SAOD=-t2-t+= -t2-t+9,S= -t2-t+9,-3t0.设点N的坐标为(t1,p1),过点N作NFy轴于点F，NF=t1,又由知ME=t，则SCMN=SCOM+SCON=OC(t+t1)，又点M(t,p)、N(t1,p1)分别在第二、四象限内，t0, t10, SCMN= (t1-t),即 (t1-t)= ，t1-t=.由直线y=kx交二次函数的图象于点M、N得：,则x2+(2+k)x-3=0,x=,即t=,t1=,t1-t=,是(2+k)2+12的算术平方根,(2+k)2+12=,解得k1=-,k2=-,又(k+2)2+12恒大于0，且k0,k1=-,k2=-都符合条件.(i)若k= -,有x2+(2-)x-3=0,解得x1=-2,x2= (不符合题意，舍去);(ii)若k= -,有x2+(2-)x-3=0,解得x3=-,x4=2(不符合题意，舍去)，t= -2或-，当t= -2时,S=12;当t=-时,S=，S的值是12或.3.解：（1）将A(-3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c,得,解得.抛物线的解析式为y= -x2-2x+3. (2存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式y=-(x+1)2+4，则D(-1，4)，当P在DAB的平分线上时，如解图，作PMAD，设P(-1，y0)，sinADE= =，PE=y0,则PM=PDsinADE= (4-y0),PM=PE, 第3题解图 (4-y0)=y0,解得y0=-1. 当P在DAB的外角平分线上时，如解图，作PNAD,设P(-1，y0)，PE=-y0,则PN=PDsinADE= (4-y0),PN=PE, (4-y0)=-y0，解得y0=-1. 第3题解图存在满足条件的点P，且点P的坐标为（-1，-1）或（-1，-1）.(3)存在.SEBC=3,2SFBC=3SEBC,SFBC=SEBC3,过点F作FHx轴，交BC的延长线于点Q，如解图,连接BF,设BF交y轴于点M，易得BMCBFQ，即CM， SFBCCMOB+CMOHOBQF.SFBC=FQOB=FQ=,FQ=9.BC的解析式为y=-3x+3，设F(x0,-x20-2x0+3),则Q点的坐标为（x0,-3x0+3）,QF=-3x0+3+x02+2x0-3=9,解得x0=或 (舍去)，满足条件的点F的坐标是(，). 第3题解图4.解：（1）抛物线过点A（0，4）、B（1，0）、C（5，0），设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5)(a0)，将点A（0，4）代入y=a(x-1)(x-5)，得a=，此抛物线的解析式为y=x2-x+4,抛物线过点B（1，0）、C（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.（2）存在，如解图，连接AC交对称轴于点P，连接BP、BA,点B与点C关于对称轴对称，PB=PC,AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,AB为定值，且AP+PCAC,当A、P、C三点共线时PAB的周长最小， A（0，4）、C（5，0），设直线AC的解析式为y=ax+b(a0)， 第4题解图将A、C两点坐标代入解析式得,解得,直线AC的解析式为y= -x+4.在y= -x+4中，当x3时，y=，P点的坐标为（3，），即当对称轴上的点P的坐标为（3，）时，ABP的周长最小. （3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大.如解图，设N点的横坐标为t，此时点N（t, t2-t+4）（0t5），过点N作y轴的平行线，分别交x轴、AC于点F、G，过点A作 ADNG，垂足为点D，由（2）可知直线AC的解析式为y= -x+4，把x=t代入y= -x+4得y-t+4，则G点的坐标为（t，-t+4 ），此时，NG-t+4-（t2-t+4）-t2+4t.ADCFOC5，SNACSANGSCGNNGADNGCFNGOC=（-t2+4t）5-2t2+10t-2（t-）2+.-20，即在对称轴处取得最大值.当t=时，NAC面积有最大值为， 第4题解图由t=，得y=t2t+4-3，N（，-3）.存在满足条件的点N，使NAC的面积最大，N点的坐标为（,-3）.题型五二次函数综合题类型三与特殊三角形有关的问题针对演练1.（2015岳阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由. 图 图第1题图2. 如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）.（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）点A（1，0），B（4,0）在抛物线上，设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4)，将点C（0,3）代入得a(0-1)(0-4)=3，解得a=，抛物线解析式为y=(x-1)(x-4)，即y=x2-x+3.（2）存在.连接BC交对称轴于点P，连接PA,如解图,点A与点B关于对称轴x=对称，BCPB+PC=PA+PC，即当点P在直线BC上时，四边形PAOC的周长最小，在RtBOC中，OB=4，OC=3，BOC=90，BC= =5，四边形PAOC的周长的最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.（3）存在.设直线BC的解析式为y=kx+t， 第1题解图将点B(4,0)，点C（0,3）代入得，解得，直线BC的解析式为y= - x+3.点M在BC上，设点M的坐标为（m,- m+3）（0m4），要使CQM是等腰三角形，且BQM是直角三角形，则只有以下两种情况，()当MQOB，CM=MQ时，如解图所示，则CM=MQ=- m+3,MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+m，由sinCBO= = =，即=，解得m=,则点M的坐标为（,）； ()当CM=MQ,MQBC时，如解图， 第1题解图过M作MNOB于N， 则ON=m,MN=-m+3,在RtBMN中，易得BM= =(-m+3)=- m+5，CM=BC-BM=m，在RtBMQ中，QM=BMtanMBQ= (-m+5)，由CM=MQ得 (-m+5)= m， 第1题解图解得m=，此时点M的坐标为（,）.综上所述，存在满足条件的点M,点M的坐标为（,）或（，）.2. 解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）.（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，,解得 ,即该二次函数的关系式为y=-x2+x+2.（3）存在.满足条件的点P的坐标分别为P1（,4），P2（,）,P3(,-).【解法提示】y= -x2+x+2，y=-（x-）2+，抛物线的对称轴是x=，OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD如解图所示，作CE对称轴于点E，EP1=ED=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，-）. 第2题解图 （4）如解图，过点C作CMEF于点M，设E（a，-a+2），F（a，-a2+a+2），EF=-a2+a+2-（-a+2）=-a2+2a（0a4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF 第2题解图=BDOC+EFCM+EFBN=+a（-a2+2a）+（4-a）（-a2+2a）=-a2+4a+=-（a-2）2+（0a4）,a=2时，S四边形CDBF最大=，E（2，1） 题型五二次函数综合题类型四 与特殊四边形有关的问题针对演练 1. （2015重庆模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）.二次函数y= -x2+bx+c的图象经过点A、B.点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP.（1）求此二次函数的解析式；（2）如图，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y= -x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 图 图 备用图第1题图2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由;（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）B（4，4），AB=BC=4，四边形ABCO是正方形，OA=4，A（0，4），将点A（0，4），B（4，4）代入y= -x2+bx+c，得，解得，二次函数解析式为y=-x2+x+4.（2）P（t，0），OP=t，PC=4-t，APPG，APO+CPG=180-90=90，OAP+AP