高一数学下册暑假知识点梳理检测题5.doc

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第5讲 函数模型及其应用
★知识梳理
1．我们学习过的基本初等函数主要有：一次函数、二次函数、正（反）比例函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等，我们要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题。
2．用基本初等函数解决非基本函数问题的途径：
（1）化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题；
（2）图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的，如果搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数的问题。
3．函数的性质主要：周期性、有界性、单调性、奇偶性等，灵活运用这些性质，可以解决方程、不等式方面的不少问题。
4．在解决某些应用问题时，通常要用到一些函数模型，它们主要是：一次函数模型、
二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数模型等。
★重、难点突破
重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。
难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。
重难点：1．常见函数模型的理解
（1）直线模型，即一次函数模型，其增长特点是直线上升（的系数），通过图象可很直观地认识它。
（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称之为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。
（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随中的取值变化而定，常见的有二次函数模型。
（5）“对勾” 函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
2．构建函数模型的基本步骤
（1）审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择数学模型；
（2）建模：将文字语言、图形（或者数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义
★热点考点题型探析
考点1 一次函数、二次函数模型的应用
[例1] （汕头金山中学09届模考）某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·时），年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）.
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕
[解题思路]先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式，然后再列出不等式求解
[解析] （1）设下调后的电价为x元／（千瓦·时），依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝（＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.
（2）依题意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75.
答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.
[名师指引] 函数应用问题是高考的热点，解函数应用问题的基本步骤：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.
第二步：引进数学符号，建立数学模型.
一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.
[新题导练]
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
A．45.606；B．45.6；C．45.56；D．45.51
[解析] B；设甲地销售辆，则乙地销售辆，从而总利润为

显然，当时，取得最大值
2．某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且生产量每增加一单位产品,成本增加10万元,又知总收入R是单位产量Q的函数:R（Q）=40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元。
[解析] ；总利润

故当时，总利润L（Q）取得最大值万元
3 （2008·华附）某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台. 现销售
给A地10台，B地8台。已知从甲地到A地、B地的运费分别是400元和800元，从乙地到A地、
B地的运费分别是300元和500元.
①设从乙地运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；
②若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
③求出总运费最低的方案和最低运费.
[解析]①由甲、乙两地调运至A、B两地的机器数和费用如下表：

调出地
甲地
乙地
调至地
A地
B地
A地
B地
台数
10－x
12－（10－x）
x
6－x
每台费用
400
800
300
500
运费合计
400（10－x）
800[12－（10－x）]
300x
500(6－x)
即。
②由，得，从而x可取0，1，2。
③由一次函数的性质，可知当x＝0时，运费最低，运费最低为8600元。
考点2 指数函数、对数函数模型的应用
[例2] 小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：
项目
1年期
2年期
3年期
5年期
年利率
1.98%
2.25%
2.52%
2.79%

利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．
[解题思路] 小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．
为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．
首先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？
因为，
所以，
[解析] 根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，，，，．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：
（1）比较与的大小关系：
因为，
，
所以，<．所以，只需考虑上述八种情况中的：，，．
（2）比较和的大小．
，
，
所以，<．所以，只需比较，，．
因为：，
，．
所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．
[名师指引] 本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程；另外要注意：
在区间上，函数，和都是增函数，但它们的增长速度不同。随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，表现为指数爆炸；而的增长速度越来越慢；的图像逐渐表现为与轴平行，的图像逐渐表现为与轴平行。因此总会存在一个，当时，有。
[新题导练]
4．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、
y之间的函数关系式为______________.
[解析] y=0.9576；设镭每年的衰变率为，则，依题意得
，所以，，从而得
即
5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2008年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2009年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2013年该地区农民人均收入介于
A．4200元4400元 B．4400元4600元
C．4600元4800元 D．4800元5000元
[解析] B；自2009年起5年内，该地区农民收入应为
，故应选B
6．（2009·南海）某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为______.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）
[解析]14.9%；设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.
两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.
∴lg（1+x）==0.0602. ∴1+x=100.0602.
又∵lg11.49=1.0602， ∴11.49=101.0602=10·100.0602. ∴100.0602=1.149.
因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.]
考点3 分段函数模型
[例3] （韶关一中09届月考）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
[解题思路]根据题意及“工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本”建立函数模型进行求解
[解析]：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
（II）当时，
当时，
当时，
所以
（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

当时，；
当时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元。
[名师指引]求解数学应用题必须突破三关：
（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．
（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．
（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．
[新题导练]
7．通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题
所用的时间. 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保
持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用表示学生
掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以用公式：

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？
（2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
[解析]（1）当时，=，故其递增，最大值为，显然在上，递减，，因此开讲后10分钟达到最强的接受状态，并维持6分钟.
（2）当时，令，得；
当时，令，得；因此学生达到55的接受能力的时间为，教师来不及在学生达到最佳接受状态时就结束讲授
考点4 函数模型的综合应用
[例4] （高州中学09届月考）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米路程,
按交通法规限制 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油升, 司机的工资是每小时14元.
[解题思路]根据题意建立与的函数关系，然后再求的最小值
（Ⅰ）求这次行车总费用关于的表达式；
（Ⅱ）当为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值（精确到小数点后两位，）．
（Ⅰ）设行车所用时间为
∴
所以，这次行车总费用关于的表达式是：

（或：）
（Ⅱ），
当且仅当时，上述不等式中等号成立
答：当约为56.88km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为82.16元.
[名师指引] 求解数学应用题的一般步骤为：读题建模求解反馈
用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下：

[例题5]（揭阳二中学09届模拟）某宾馆有相同标准的床位100米，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；②　该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用表示床价，用表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）
（1）把表示成的函数，并求出其定义域；
（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
[解析]（1）依题意有，且
　　因为，
　　由
　　由得
　　所以函数为　　，
　　定义域为
　 （2）当时，取得最大值425元，
当时，，仅当时，取最大值，
　　但取得最大值833元，
　　比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多。
[新题导练]
8 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，
为了安全两辆货车最小间距不得小于千米，那么物资运到B市的时间关于火车速度
的函数关系式应为
[解析] ；根据题意，总行程为，故物资运到B市
的时间关于火车速度的函数关系式为，即
9．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：

[解析] 从1950年到2000年的土地沙化总面积为一条折线，说明这一段的土地沙化总面积不是匀速增长的．但相应于这条折线的每一段线段，都代表其对应年份的土地沙化总面积匀速增长，即这一段的年平均土地沙化面积为定值．因此，分三段计算，不难得出结论，如右图．
[备选例题2]（汕头金山中学09年模拟）某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）。
（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2008的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：（1）由题意可知，当，

每件产品的销售价格为（元），

（2），
（万元）时，
（万元）。
所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元。
★抢分频道
基础巩固训练：
1.（汕头金中09届月考）一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为
v千米/时，则两车的距离不能小于千米.运完这批物资至少需要（ ）
A.10小时；B.11小时；C.12小时；D.13小时
[解析] C；显然11辆汽车之间的距离之和为千米，所以若车速为v千米/时，11
辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，需要时间为，而
，当且仅当，即时取“=”
2．（广东北江中学09届12月月考试）甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以
后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到
08年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，
则有（ ）
A. 甲的产值<乙的产值；B. 甲的产值=乙的产值；C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定
[解析] C；设两间工厂08年元月份的月产值为，甲厂每月增加的产值为，乙厂每个月
比前一个月增加产值的百分比为，则依题意得，故

从而甲、乙两间工厂在08年6月份的月产值的差为
，故应选C
3．（广东实验中学09届月考）计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是 元.
[解:析]300元；根据题意，计算机的价格大约每3年的下降率为，故9年后的价格大约是

4．(2008广东文)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、
每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用
为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
[解析]设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则

, 令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
故为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
5．（金山中学09届高三上期中考）某公司生产的品牌服装年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，,其中是年产量（单位：千件）
（1）写出利润W与年产量的函数解析式
（2）年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？
[解析]⑴W=R(x)-10-1.9x=
（2）当时，。令
当时，当时，；
故x=9处w有唯一极大值也是最大值；
当时，w是减函数，所以年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大。
综合提高训练：
6．（东莞高级中学09届月考、电白一中09届月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。
０.１２５
１

０

０
１
０.５
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解析]（1）设，

所以 ，
即
（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为()万元
依题意得：
令
则
所以当，即万元时，收益最大，万元
7．（广州六校09届联考）某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入x万元, 可获得纯利润万元 (已扣除投资, 下同). 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资, 其中在前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路. 公路5年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的5年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在外地销售的投资收益为: 每投入x万元, 可获纯利润万元. 问仅从这10年的累积利润看, 该规划方案是否可行?
[解:析]在实施规划前, 由题设(万元), 知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W1=100×10=1000（万元）.
实施规划后的前5年中, 由题设知, 每年投入30万元时, 有最大利润(万元). 前5年的利润和为(万元).
设在公路通车的后5年中, 每年用x万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x）万元于外地区的销售投资, .
当x=30时，W2|max=4950（万元）.从而10年的总利润为（万元）
, 该规划方案有极大实施价值.
8．(09执信中学) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；写出图二表示的种植成
本与时间的函数关系式Q=；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

[解析] （1）；
从2月1日起的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)=
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)
即h(t)=
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2＋100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得
h(t)=－(t－350)2＋100
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
9．（恩城中学09届月考）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元）。为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中。记第个月的利润率为，例如。
（1）求； （2）求第个月的当月利润率；
（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率。
[解析]（1）依题意得

（2）当时，
当时，

也符合上式。故当时，
当时，

所以第个月的当月利润率为
（3）当时，是减函数，此时的最大值为
当时，
当且仅当，即时，有最大值。
又， 当时有最大值。
即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为。

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