2016届高考数学第二轮复习限时训练题37.doc

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限时规范训练十七
(建议用时45分钟)
1．(2016·郑州市高中模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．

(1)证明：PA∥平面BMQ；
(2)已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．
(1)证明：连接AC交BQ于N，连接MN，因为∠ADC＝90°，BC＝AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．
又M为PC的中点，即PM＝MC，则MN为△PAC的中位线，
故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，
所以PA∥平面BMQ.
(2)解：由(1)可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP­BMQ＝VA­BMQ＝VM­ABQ，
取CD的中点K，连接MK，所以MK∥PD，MK＝PD＝1，
又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD.
又BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，所以AQ＝1，BQ＝2，MQ＝，NQ＝1，
所以VP­BMQ＝VA­BMQ＝VM­ABQ＝··AQ·BQ·MK＝.S△BMQ＝，
则点P到平面BMQ的距离d＝＝.
2．(2016·南昌市高三模拟)
四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD＝1，∠BAD＝60°，E，F分别为AD，PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求三棱锥P­ABD的体积VP­ABD.
(1)证明：取PB的中点G，连接AG，FG，又F为PC的中点，
∴GF是△PBC的中位线，即GFBC，又四边形ABCD是平行四边形，E为AD中点，∴AEBC，GFAE，即四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AG，又AG⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)解：在平面PAB中，过P作PH⊥AB，垂足为H.
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH⊂平面PAB，PH⊥AB.
∴PH⊥平面ABCD，∴PH是三棱锥P­ABD的高．
∵在等边三角形PAB中，PA＝PB＝AB＝1，
∴PH＝.
∵在△ABD中，AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，
∴S△ABD＝×2×1×sin 60°＝，
∴VP­ABD＝S△ABD·PH＝××＝.
3．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.

(1)求证：平面AFC⊥平面CBF.
(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF？并说明理由．
证明：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，
∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
且BC∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF.
∵AF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.
(2)取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，
则MNCD，又AOCD，则MNAO，
∴四边形MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，
∴OM∥平面DAF.
4．(2015·山东德州市高三模拟)如图所示是几何体ABCEF及其三视图，正视图和侧视图是直角梯形，俯视图是直角三角形，G是线段BF的中点．

(1)求证：EG∥平面ABC；
(2)求几何体ABCEF的体积．

(1)证明：连接EG，取AB的中点D，连接GD，CD，
又GB＝GF，所以AF2GD.
由三视图可知AF2CE，
所以GDCE，
四边形GDCE是平行四边形，
所以CD∥EG.
因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以EG∥平面ABC.
(2)解：由三视图可知，AB＝BC＝AF＝2，CE＝1，

平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF＝AC，△ABC为等腰直角三角形，取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，所以BM⊥平面ACEF，BM＝.
所以几何体ABCEF的体积V几何体ABCEF＝V四棱锥B­ACEF＝
S梯形ACEF·BM＝×(AF＋CE)·AC·BM＝×(2＋1)×2×＝2.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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