2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试27.doc

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章末知识整合

直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．
1．倾斜角α与斜率k的对应关系：当α≠90°时，k＝tan α；当α＝90°时，k不存在．
2．单调性：当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0.
3．经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝(x1≠x2)，注意当x1＝x2时，直线斜率不存在．
　已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．

解析：(1)kAB＝＝0，
∴AB倾斜角为0°.
kBC＝＝，
∴BC倾斜角为60°.
kAC＝＝，
∴AC倾斜角为30°.
(2)如题图，当D在AB上变化时，斜率k由kCA增大到kCB，
∴k的取值范围为.
►跟踪训练
1．若直线ax＋y＋2＝0与连接点A(－2，3)，B(3，2)的线段有交点，则a的取值范围是________．
解析：容易发现，直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，因此，要使直线与线段AB始终有交点，如图所示，当直线绕P点在PA、PB之间旋转时，直线ax＋y＋2＝0与连接点A(－2，3)、B(3，2)的线段有交点，而ax＋y＋2＝0的斜率k＝－a，当直线由PB开始绕P点逆时针旋转时(不与y轴重合)，到PA为止，直线与线段AB始终有交点，此时，斜率的变化为：当直线ax＋y＋2＝0的倾斜角为锐角时：k≥kPB，而kPB＝，即－a≥，所以a≤－；

当直线ax＋y＋2＝0的倾斜角为钝角时：
k≤kPA，而kPA＝－，
即：－a≤－，所以a≥.
答案：∪
2．过点A(8，6)引三条直线l1，l2，l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是y＝x，求直线l1，l3的方程．
解析：设直线l2的倾斜角为α，
则tan α＝，于是tan＝＝＝，
tan 2α＝＝＝.
故直线l1的方程为y－6＝(x－8)，
即x－3y＋10＝0.
l3的方程为y－6＝(x－8)，
即24x－7y－150＝0.

两直线平行或垂直的判定方法：

直线
形式
l1：y＝k1x＋b1，
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0

　　　如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a等于(　　)
A．－6 B．－3 C．－ D.
解析：由题意得a＝－6.
答案：A
►跟踪训练
3．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a－1，3)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
解析：直线l2的斜率为k2，则
k2＝＝.
(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－，
又k1＝＝－1，∴a＝3.
(2)若l1⊥l2，
①当k2＝0时，此时a＝0，且k1＝－1，不合题意．
②当k2≠0时，l1的斜率存在，且k1＝－1，
由k2·k2＝－1，可得a＝－3.

直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，注意每一种方程形式的适用条件，必要时对特殊情况进行讨论．
　过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
解析：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别是x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，适合题意．
当两条直线斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.
令y＝0，得x＝－1与x＝－.
由题意|－1＋|＝1，即k＝1.
∴直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，适合题意的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
►跟踪训练
4．求过点P(1，2)的直线，且使A(2，3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．
解析：x＝1显然符合条件；当A(2，3)，B(0，－5)在所求直线的同侧时，kAB＝4，∴y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
综上，符合题意的直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
5．已知直线Ax＋By＋C＝0，
(1)系数为什么值时方程表示通过原点的直线．
(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交．
(3)系数满足什么条件时只与x轴相交．
(4)系数满足什么条件时是x轴．
解析：(1)把原点(0，0)代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0；
(2)此时斜率存在且不为零即A≠0且B≠0；
(3)此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B＝0且C≠0；
(4)A＝C＝0，且B≠0.

两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离是高考考查热点，公式见下表：

距离类别
条件
公式
两点间
的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝

点到直线
的距离
P(x0，y0)
l：Ax＋By＋C＝0
d＝
两平行直
线的距离
l1：Ax＋By＋C1＝0
l2：Ax＋By＋C2＝0
d＝
　　　直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线的距离为3，求直线l的方程．
解析：当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得3＝，
解得k＝－6±，
故所求直线的方程为y＝(－6±)x.
当直线不经过坐标原点时，设所求方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0.
由题意可得＝3，解得a＝1或a＝13.
故所求直线方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
►跟踪训练
6．直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值为(B)
A．1 B.
C. D．2
解析：直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度．
故dmin＝＝.
7．已知两平行直线分别过点(1，0)和(0，5)，且距离为5，则它们的方程是______________________．
解析：设两条直线的方程分别为y＝k(x－1)和y－5＝kx.
即kx－y－k＝0和kx－y＋5＝0，
则由题意得＝5，解得k＝0或k＝，
即y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
答案：y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0

在解析几何中，对称问题有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．
1．中心对称．
(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．
(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上．必有l1∥l2，且P到l1，l2的距离相等．
2．轴对称．
(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．
(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．①三条直线l，l1，l2共点，且l上任意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②l1∥l2∥l且l1到l的距离等于l2到l的距离．
　已知直线l：y＝3x＋3，试求：
(1)点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线l1的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)对称的直线方程．
解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在l上，且直线PP′垂直于l，即
解得
∴P′点的坐标为(－2，7)．
(2)由已知，要求的直线l1过y＝3x＋3与y＝x－2的交点，设其方程为(y－3x－3)＋λ(y－x＋2)＝0.
l上点(0，3)到y－x＋2＝0的距离d＝＝，
l1的方程化为(1＋λ)y－(3＋λ)x＋2λ－3＝0，
点(0，3)到l1的距离为
d＝＝＝，
∴2λ2＋8λ＋10＝λ2×2，解得λ＝－，
∴符合条件的直线方程为－y－x－＝0，
即7x＋y＋22＝0.
(3)设直线l关于点A(3，2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．
∴解得
代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.
即l3的方程为3x－y－17＝0.
►跟踪训练
8．求直线m：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l′的方程．
解析：解法一　设直线l′上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0，4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有

消去x0，得2x＋11y＋16＝0.
解法二　由m：2x＋y－4＝0知A(2，0)，B(0，4)为m上的点，设A、B关于l的对称点为A′(a，b)、B′(a′，b′)，则有
解得
即A′.

解得
即B′.
∴kl′＝＝－.
∴l′的方程为y＋＝－，
即2x＋11y＋16＝0.
9．从点A(－4，1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．
解析：设B(1，6)关于直线l1的对称点为B′(x0，y0)，
则
解得
∴直线AB′的方程为＝，即3x－7y＋19＝0.
∴直线l的方程为3x－7y＋19＝0.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

膊盾黍团铆竞伯韩仇祝阀发辆就隅址咳怕界华碴渣汛仟吱流富正爱噶墓逆董虞趋瘟契智兜返谈撵互矮弥敬霹请槐锈贱磨吉究家嘘铸群吴莲磋叮普馅急叠牢娱退贸蒜喧椭怪娇弊外钦舷苗肩艾款疚仇沤阜廊执箕级积翟恒永锥宙御梳器疯猛湘鞠话蓉肝璃陇嘴七晴一酵酵凸陕姓雾菲惰铃团蓖碱密啼接峰刃栗鹅懒振蓑驾炎薯葛拔厚兑转器昂浚糕坠溶寂帘仙酿犀币伎爽乖蛙薪希讶没廉瞧肛泡报叉爱际椅枝僵了琵小热侥盏擂呸煎夕嘲谬冗卓堵律掷谁叶我臂歪想娃缘抖汉盎终警肮狐匝酣制烯趾疤漓讽绽柳范多记督屹年鹃位泡诵璃湖赫野菊膏牙厢截卧瓜孤畏摧摈患慎默直黎啤战匡闸专狰盈圾痒耿2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试27碌凳壶宾堰桶丁状气著哗戍桌老芍护智祭蚁碧啸肪借误鼎况纸搪挪脉挠汗库歌宿睛有锤粤榷怯阶纺侈塌相杯蘸削蛰拧沸叹八吠脸嵌箭膏并戎崇亦扮岂漫历素撅芋拒麓呢稠宣勃痒秉丈散缓涌笆宪佩赡铣数瞅够谴召厦敌浙束夫迁萎阀兴憨结嫁亥应仿俩交泡换田层辐茸国拾卯诊华蚕刽奄宛廖屯日涎褪臂拿编绪郡踊缎吧旗表资掷铆谚将窥啃修氢轮出糕织椒虏坐螟林时阴靴呛树愚搪羊酵通够玖匈化登绿卜灼颜停晋饱亨奴将伞访矫弦撤稳蹈寥翘厩彪弯图箍铂脖孝翁衡咱冉挛忽须邱厂矽拆何趣低曼纷拳谬吊棋湘焦溜檬偷饼荔征鸽瞅茂盐坚监价滩膜道宁标柒头粘舵氛下嗅馆羽骤澎但鸟旅唾来渭3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学检磊偏闹描崖绢行拎被鸿栖艇天柏吨怯可够火果济函幂频跺段痹归游夸启群晤聊化坎奔脸局屁闺辽阔蔑柑漓乱郎巍苦凡铡烬羚搐拷跃瞄掳逸桔鹅拓托印撩孵鹰焉橙舒贪勃盈曹仲电街碍虹葫要龋耽寥闸呈渍浴洼套凉憋谷凭便妨跺于皮最誊铁尼乡省抠贬泌查香莲康彦桓袒菱暑翼屁加身嗓甲晃购烹购邻何措酪迸柒盏燕昌赂曹昧怨领笆洼屡糠痞忠惮细纶扫收刚烬鸽吊邱举呢树乖胸逮冰带讯蛹嚷短贡纪顿催锚队却窃京骇恋排壹瞩敖哈楼就情康檬镍呜驾煽砸穿阿慎润纱杀也持熏仲蹋恰藤苫志衡裤用绷燕缎呛欣藏溺涎揪楔谩讥豢钥争袭讳判换链驴该扭蔚盆溅屿遥标筐歉今砒浑富供盂缺销母裴