误差实验指导书.doc

第1章 实验需知
1.1实验需知
准备
要做好实验，实验前的准备工作是必不可少的。这儿所说的“准备”涉及两个方面：一是对所做实验的原理的了解；另一方面是对实验方法与实验过程的了解。前一方面的准备可以使我们知道实验建立在什么样的基础上，后一方面的准备可以使我们知道实验是如何进行的。充足的准备，将使我们对问题不仅“知其然”，也“知其所以然”，达成理论上的提高。
认真操作
在应用仪器进行各种实验的过程中，要获得好的实验结果，必须按照相关仪器的操作程序，精心操作仪器才有也许。如一般核辐射仪器规定预热，对高压、放大倍数的调整有一定规定，如不按规定进行，要想获得可靠的数据是不也许的。
准确记录
记录仪器测量的原始数据时，应当在数据登记表的表头等合适位置记录下仪器型号、仪器编号、仪器设立条件、测量日期、测量地点、操作者、记录人等。以便一旦发现测量数据有问题时，可以依据上述记录作分析，判断问题的也许来源。
假如采用指针式电子仪器测量获得数据，操作者站在不同的位置时，由于视角因素，也许导致较大读数误差。为此，规定读数时，操作者一定要站在可以正面平视仪器指针的位置。使用指针式电子仪器，还应注意选择合适的量程，以使指示被测量量的指针位于全量程的1/3～2/3位置为好。
对于数字式仪表，则规定读准每一位数字，不能出现读数差错。
科学地对实验数据进行解决
获得实验数据后，除了保证不出现计算错误外，还应注意到，选择不同的数学解决方法，也许会获得不完全相同的结果。例如，对实验数据间是用一元一次线性关系解决，还是用一元二次关系解决？在取有效数字时如何拟定数字位数，都会影响数据的最终解决结果。因此，应当根据实验数据所遵循的客观规律，选择对的反映实验结果的数据解决方法对实验数据进行科学地解决。数据的运算与表达，应当遵循有效数字运算规则。
1.2 实验报告的基本编写方法与基本格式
实验报告编写提纲
对本课程的实验报告，应当涉及以下3大部分：预习部分、实验部分、实验后的数据解决与结果分析部分。所以，一般情况下，实验报告可以采用以下编写提纲：
实验名称
实验目的
实验原理
实验设备
实验环节
实验数据
数据解决
实验分析与思考题解答
结论与心得体会
实验报告的基本格式
实验报告的参考编写格式如下：

XXX实验报告
实验工作者：XXX； 学号：XXXXXXXXXX； 实验日期：XXXX.XX.XX
实验名称

实验目的

实验原理

实验设备

实验环节

实验数据

数据解决

实验分析与思考题解答

结论与心得体会
第5章 误差理论与数据解决实验
5.1 实验一 生产过程监控图的编制
实验目的
在选矿、冶炼、化工产品等众多的生产过程中，某些参数的稳定性，将会直接影响最终产品的质量和经济效益。例如，选矿矿石的入选品位，过高、或过低，都会影响有益金属的回收率，从而直接影响矿山的经济效益。运用极限误差理论建立的生产过程监控图，可以直观、及时地观测到生产过程中影响产品质量的关键参数的波动情况，从而可以及时获得调整参数值时间，保证生产产品的质量。此外，监控图也常用于监控仪器长期工作稳定性。因此，生产过程监控图是一种非常有用，又应用非常广泛的质量监控图件。
本实验通过对某化工厂正常生产过程中120次HgCl2浓度的测量数据，编制对生产过程中HgCl2浓度的监控图，以保证最终产品的质量。通过本实验，让同学们进一步理解极限误差的理论与意义，学会编制生产过程监控图的方法。
实验内容
表5.1.1 对HgCl2（g/L）浓度120次反复测量结果
1）根据极限误差理论，运用表5.1.1数据，编制在95％置信概率下，生产过程中HgCl2浓度的质量监控图。

2）依据所编制的监控图，分析判断表5.1.2所列各天的生产过程是否正常。
表5.1.2某化工产XXXX年6月1日至11日生产过程中HgCl2（g/L）浓度监测值
日期
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
HgCl2
(g/L)
上午
0.85
0.83
0.72
0.65
0.64
0.88
0.92
0.94
0.98
0.99
0.86
下午
0.86
0.83
0.78
0.72
0.72
0.86
0.89
0.90
0.99
0.98
0.85
3）在前述工作基础上，编写实验报告。
基本原理
一般情况下，很多工程测量与生产过程的参数值都是服从正态分布的随机变量，例如运用正常电子仪器在相同条件下对同一物理量反复测量所获得的数据；化工生产过程中正常的浓度、温度值等等。因此，我们可以依据服从正态分布的随机变量所具有特性，来实现对这些测量值、或生产过程中的参数值“是否正常”的判断。这就是我们建立监控图的基本思想。从这个意义上说，已经建立的监控图实际是一把尺子，我们可以用它来度量每一个测量数据或生产参数是否正常。
根据正态分布的理论，正常的测量值、或生产过程中的参数值落入平均值加减一倍、两倍、三倍均方误差区间的理论概率值应当分别等于68.26％、95.44％和99.73％。当我们仅进行有限几次测量或检测时，获取数据假如是正常的，超过平均值加减三倍均方误差区间的也许性几乎为0。因此，一旦当检测数据超过平均值加减三倍均方误差区间，我们就可以鉴定，其为不正常数据，预示着生产过程或测量仪器出了问题，需要进行调整，从而实现监控的目的。
仪器设备
安装有EXCEL软件的计算机1台。
实验环节
（1）依据表5.1.1所示测量数据，记录平均值、标准差，并将记录结果用表5.1.3方式记录；
表5.1.3 数据登记表
记录量
数据个数
平均值
标准差
备注

（2）参考例图5.1.1，按平均值加减一倍、两倍、三倍均方误差编制质量监控图。
图5.1.1 质量监控图例图
监测数据
监测时间

（3）将表5.1.2监测数据标绘在所编制的监控图上。
（4）分析6.1－6.11时间段中生产过程是否正常。
（5）根据实验结果，编写实验报告。

思考题
1、质量监控图实质上是运用什么理论构建的？这种图件的重要作用是什么？
2、服从正态分布的随机变量具有什么特点？根据一批测量数据如何判断其是否服从正态分布？
3、一批测量数据落入其平均值加减一倍、两倍、三倍均方差区间的几率与理论值相同吗？为什么？
4、为什么监测数据超过平均值加减三倍均方差时必须调整生产流程工艺或测量仪器？

5.2 实验二 标准物质研制中离群值的剔除
实验目的
当测量数据中包含粗大误差时，该测量数据是不可以作为正常数据参与记录与解决的。因此，对一批测量数据解决的第一步，一定是对其是否具有粗大误差做出判断。一般情况下，我们通常将具有粗大误差的数据称为“离群数据”。
本实验采用我国在研制玄武岩标准物质时，由国内外16个实验室提供的Th元素分析数据，采用两种以上粗大误差判别方法进行判断，剔除具有粗大误差的离群数据，以提供最终可以用于Th元素定值的正常数据。通过本实验，加深同学们对粗大误差判别方法的理解与应用。
实验内容
1）采用3σ法与格罗布斯准则，分别对表5.2.1中测量数据进行判别，剔除具有粗大误差的离群数据。
2）对两种方法剔除数据的结果进行分析比较。
3）剔除完具有粗大误差的离群数据后，计算Th元素的定值，并采用A类评估法，拟定在95％置信概率下定值数据的不拟定度。
4）在前述工作基础上编写实验报告。
基本原理
1）3σ法判断粗大误差的原理
根据正态分布的理论，我们可以知道，正常测量数据大于平均数加减3σ的概率是很小的，当测量次数足够大时，这个概率仅为0.3％。换言之，落入平均数加减3σ之外区域的数据具有粗大误差的概率为99.7％。所以，当测量数据落入平均数加减3σ之外区域时，我们可以认定其具有粗大误差。
2）格罗布斯准则判断粗大误差的原理
逻辑上我们知道，对一列测量数据，最有也许具有粗大误差的数据是该列数据中的极值（极大值或者极小值），而鉴定这些极值数据是否具有粗大误差的依据仍然是基于它们是不是落在某个置信概率拟定的g0倍均方差的区间内。在格罗布斯准则中，这个g0值由格罗布斯临界值表（2.4.2）给出。测量次数不同，g0值不同；置信概率不同，g0值也不同。
仪器设备
安装有EXCELL软件的计算机1台。
实验环节
1）对欲解决的数据进行了解和分析。
本实验中欲解决的数据是一组玄武岩标准物质定值数据。玄武岩标准物质是一种地质标准物质。所谓标准物质，应当在两个方面具有典型性与标准性：即在岩性的物质组分上具有典型性与代表性；在物质组分的定值上具有标准性与权威性。因此，地质标准将是我们开展同类地质样品分析的参照标准。所以，参与标准物质定值的所有数据，必须进行严格记录解决，其第一步，就是要剔除离群数据。
表5.2.1是我国研制国家一级玄武岩标准物质时，参与标准物质含量定值的国内外16个实验室对同一份样品各自给出的Th元素的19个分析结果。
表5.2.1 国内外19个实验室提供的玄武岩样品中的Th元素含量 (单位：10-6)
实验室编号
No1
No2
No3
No4
No4
No5
No6
No8
No9
No11
分析值，％
8.04
7.55
12.6
8.3
8.8
4.99
7.1
8.03
13.8
7.6
实验室编号
No12
No13
No14
No14
No15
No16
No16
No17
No19

分析值，％
7.95
56.9
8.1
8.8
7.7
9.37
7.1
8.04
8.11

2）对表5.2.1数据进行记录计算，并将记录结果记录在表5.2.2中。
表5.2.2 数据登记表
记录元素
数据个数
平均值
标准差
备注
Th
19
10.99368
11.27962

3）运用3σ法判断，剔除具有粗大误差的分析数据。将被剔除数据的有关资料填入表5.2.3。
表5.2.3 采用3 σ法剔除数据资料表
被剔除数据
平均值
标准差

备注
56.9
10.99368
11.27962
44.83255

4）运用格罗布斯准则，根据表2.4.2 格罗布斯准则临界表，采用95％置信概率，剔除具有粗大误差的离群分析数据。将被剔除数据的有关资料填入表5.2.4。
表5.2.4 采用格罗布斯准则剔除数据资料表
被剔除数据
平均值
标准差
g0
备注

5）对比表5.2.3与表5.2.5检查结果。（思考：假如两个表结果不一致，应当采信哪个表的结果？为什么？）
6）运用剔除粗大误差后的数据，给该玄武岩标准物质中的Th元素定值（所有合格数据的算术平均值），并给出其在95％置信概率下的不拟定度。
7）根据实验结果，编写实验报告。

思考题
1、为什么测量数据在拟定定值前都要进行是否具有粗大误差的检查？
2、剔除离群数据的常用检查方法有哪些？
3、在采用不同方法检查同一批数据得到不同结果时，应以哪种方法判断的结果为准？为什么？

5.3 实验三 测量数据的一致性检查
实验目的
系统误差是影响测量结果准确度的重要因素，因此，在对测量结果进行解决中，检查测量数据列内、测量数据列间是否具有系统误差将是一项十分重要的工作。
本实验采用一批（含三个系列的）玄武岩标准物质研制中的分析数据，进行列数据内与列数据间是否具有系统误差的检查。通过本实验，加深同学们对系统误差特性的了解，掌握检查组内系统误差的残余误差观测法，与检查多组测量数据间是否具有系统误差的F检查法。
实验内容
在玄武岩标准物质研制中，技术上要保证几吨岩石的物质组分分布要完全均匀，即任意抽取的一份样品的物质组分，与其它样品的物质组分从记录学的角度看是完全一致的。为此，需要进行抽样设计，然后根据抽样结果检查研制的样品是否均匀。为此，需进行以下一些工作：
1、 按表5.3.1所示三层套合方式抽取均匀性检查样品；

表5.3.1 Ba元素分析原始数据（单位：10-6）
大瓶号
1
小瓶号
1
2
3
4
Ｘijk
537
555
554
548
526
544
517
536
大瓶号
2
小瓶号
1
2
3
4
Ｘijk
510
603
504
602
603
642
504
598
大瓶号
3
小瓶号
1
2
3
4
Ｘijk
508
615
566
586
624
612
576
648
大瓶号
4
小瓶号
1
2
3
4
Ｘijk
612
567
608
630
558
576
600
536
大瓶号
5
小瓶号
1
2
3
4
Ｘijk
584
543
621
560
594
544
499
566
大瓶号
6
小瓶号
1
2
3
4
Ｘijk
516
573
511
609
535
497
524
629

2、 运用残余误差观测法检查每一层内样品间的均匀性；
3、 运用F检查法检查三层样品间的均匀性。
基本原理
一般情况下，对同一母体抽取的不同随机变量的样本，应当具有相同的数学盼望值与方差，换言之，要检查几个不同的随机变量样本是不是服从同一个母体，可以检查它们的算术平均值或方差是不是具有一致性。
F检查就是检查不同组（每组相称于一个随机样本）的方差之间是否具有一致性，从而判断各组数据之间是否具有一致性。
仪器设备
安装有EXCELL软件的计算机1台。
实验环节
（1）检查变量的设计与计算方法
将大瓶、小瓶、小瓶内各次分析值设计为三维变量，记为：

式中脚标ijk分别代表第i大瓶，第j小瓶的第k次分析结果。记

式中，分别代表所抽取的大瓶数、小瓶数、以及每个小瓶的分析次数，其值分别等于6、4、2。
则大瓶间方和为：
小瓶间方和为
小瓶内分析间方和为
总变量方和为
大瓶间均方为
小瓶间均方为
分析间均方为
总均方为
（2）F检查记录量的检查标准
假如大瓶与小瓶间无显著差异，则计算值：
应当小于理论值
同理，如小瓶间与小瓶内无显著差异，则计算值：
应当小于理论值
类同，大瓶与小瓶内无显著差异，则计算值：
应当小于理论值
当F1、F2、F3同时小于理论值，表白所检查的某元素（分析数据）可以通过均匀性检查。如F2、F3小于理论值，而F1大于理论值，则观测变差系数（CV）数值再作鉴定。当CV较小（小于5%）时，也认为所检查的某元素（分析数据）可以通过均匀性检查。此处，CV等于标准偏差S与分析数据平均值的比值（以%为单位）。
（3）根据实验结果，编写实验报告。

思考题
1、为什么说F检查是方差检查？
2、根据所学知识，你认为套合方差分析还可以应用于解决哪些实际问题？

5.4 实验四 测量数据的不拟定度评估
实验目的
通过本实验，掌握运用测量数据给出最终测量结果，并对最终测量结果的不拟定度进行评估的方法。
实验内容
运用实际分析数据，采用A类评估方法，拟定最终测量结果以及其在95%置信概率下的展伸不拟定度。
不拟定度评估方法概述
不拟定度有标准不拟定度与展伸不拟定度之分。标准不拟定度是以标准差作为不拟定度。展伸不拟定度则是在标准不拟定度基础上乘上反映置信概率区间的置信系数构成（详见第2章）。
评估不拟定度有两类评估方法：A类和B类评估方法。
A类评估是以测量数据为基础，通过记录计算来拟定标准差。可以用于标准差记录计算的公式有贝塞尔公式、别捷尔斯法公式、极差法、最大误差法等。其中，贝塞尔公式是业界最为推荐的计算公式。
B类评估则是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评估标准差，本实验不采用B类评估方法，故不多做讨论。
如在间接测量中，被测量Y的估计值y是由n个其他量的测得值x1，x2，…,xn的函数求得，即
由xi引起被测量y的标准不拟定度分量为
（2.6.3）
（2.6.4）
y的不拟定度应是所有不拟定度分量的合成，用合成标准不拟定度uc来表征，计算公式为
（2.6.5）
若xi、xj的不拟定度互相独立，即ρij =0，则合成标准不拟定度计算公式为
特别应当强调指出：为了对的给出测量结果的不拟定度，应全面分析影响测量结果的各种因素，列出测量结果的所有不拟定度来源，保证不漏掉，不反复，才干具有良好的不拟定度的评估质量。
仪器设备
安装有EXCELL软件的计算机1台。
实验环节
（1）了解欲解决的问题。
运用X荧光分析仪器测量某地质材料中的Cu元素含量18次，结果列于表5.4.1。
表5.4.1 某地质材料中Cu元素的X荧光测量结果
测量序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cu，%
1.52
1.51
1.52
1.53
1.52
1.50
1.53
1.52
1.53
测量序号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Cu，%
1.50
1.51
1.53
1.52
1.54
1.50
1.51
1.52
1.54
现需要拟定该材料中X荧光分析测定的Cu元素的含量值，并评估该含量值在95%置信概率下的展伸不拟定度。
现已知该X荧光仪器是运用化学分析提供的Cu元素含量完毕刻度的。刻度方程为：

式中ICu、Cu分别是X荧光仪器测量的Cu元素的特性X射线计数率与样品中Cu元素的含量；a、b则是刻度方程的刻度系数。
现运用化学分析对该地质样品进行分析，有6次分析结果，结果列于表5.4.2.。
表5.4.2 某地质材料中Cu元素的化学分析结果
测量序号
1
2
3
4
5
6
7
8
Cu，%
1.533
1.518
1.519
1.518
1.521
1.519
1.531
1.522

（2）拟定在X荧光分析Cu元素含量中所有的不拟定度分量，并列于表5.4.3中。
表5.4.3 X荧光分析Cu元素含量中所有不拟定度分量
不拟定度分量名
类型
自由度
不拟定度分量值

（3）拟定各分量与测量结果的传递关系和它们之间的相关系数。
（4）计算各标准不拟定度分量。
（5）合成标准不拟定度。
（6）计算在95%置信概率下的展伸不拟定度。
（7）计算分析数据的算术平均值，以该值作为测量结果。
（8）根据实验结果，编写实验报告。
思考题
1、 不拟定度有哪两类评估方法？两类不拟定度评估有哪些相同点与不同点？
2、 拟定不拟定度分量应注意哪些重要因素？
3、 标准不拟定度与展伸不拟定度有什么区别？从概率角度看，标准不拟定度与展伸不拟定度各代表了什么样的置信区间？

5.5 实验五 原始测量数据的图示设计与编制
实验目的
在进行很多科学实验时，我们往往并不知道实验参数间的准确函数关系。因此，我们经常会根据原始实验数据，直接标绘实验参数间的关系曲线，从中分析、总结实验参数间的函数关系或数理规律，并据此推测实验数据区外的一些结果。因此，对实验数据进行图示，是科学研究中最为常用的方法。
此外，用图展示实验结果，还具有特别简洁、直观的效果，所以有人用“一图胜千言”来说明图示法的优点。
鉴于图示法的重要性与优点，掌握根据原始实验数据直接标绘实验参数间关系曲线的方法，对科学研究来说，是十分重要的。
本实验通过对两组具有典型意义的实验数据的直接图示标绘，让同学们基本掌握对实验数据进行图示表达的方法。
实验内容
完毕下述两类实验数据进行图示的设计并最终完毕图件编制。
1) 反映对同一参数进行不同测量（分析）所获结果间数据对比的图件；
2）反映两个参数间关系的图件。
基本规定
对于所设计并最终编制完毕的图件，应当满足以下基本规定：
1）简洁、直观地显示实验数据，使读者容易获得总体数据的形象而全面的信息。
1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 8/6 9/6 10/6 11/6 12/6
I，cps
监测日期
图5.5.1 某台伽玛辐射仪长期稳定性监测图
2）便于对实验数据作初步检查，从图可以快速看出误差大的数据点和明显不对的、不合理的数据区域。如图5.5.1是某测量仪器的长期稳定性监测图，从中非常容易看出，在前8天，仪器工作是正常的，第9天起仪器读数明显偏高。据此，我们可以及时得到检修（调整）仪器的信息。
3）便于对实验数据作快速分析与对比，以便从中发现数据分布的基本规律、数据趋势、数据间的相关系等等要素。
4）可以运用大多数测量数据之间的自然平滑性特点，在已知区域内实现内插，或在区域外外推。例如图5.5.2是在其它因素固定条件下，依据某化工产品生产温度与结晶率间的实验数据编制的实验图，从中我们可以依据实验参数间的变化趋势，拟定出具有最佳产品结晶率所需的生产温度。
可以获得极大结晶率的温度
结晶率，%
温度，oC
图5.5.2 某化工产品生产温度与结晶率间的实验关系图
仪器设备
安装有EXCELL或GRAPHER软件的计算机1台。
实验环节
（1）运用表5.5.1数据设计并编制一种不同实验室间对同同样品的同一元素分析结果对比图。
表5.5.1 国内外14个实验室提供的玄武岩样品中的Co元素含量
实验室编号
No1
No2
No3
No3
No4
No4
No4
No4
No5
No6
分析值，10-6
40.8
38.7
39.8
45.6
37.8
38.9
41.3
46.0
41.9
43.8
实验室编号
No8
No9
No9
No11
No12
No13
No14
No14
No15
No16
分析值，10-6
38.9
27.6
30.8
38.5
40.0
40.2
41.3
48.6
39.5
49.5

（2）根据编制的数据图，做适当分析与讨论（如：是不是有明显具有粗大误差的分析数据？哪些实验室分析结果质量比较高？等等）。
（3）运用表5.5.2数据设计并编制一种实验关系趋势图。
表5.5.2 X荧光取样中，采用不同源探距时的相对测量误差
源探距，mm
8
10
12
16
18
20
22
24
26
相对误差，％
21
13
10
11
14
16
18
19
19.8

（4）根据实验关系的趋势，找出误差极值点相相应的源探距填入表5.5.3中，并分析讨论极值点源探距的意义。
表5.5.3 X荧光取样中，具有极小相对测量误差的源探距
实验参数
实验结果
备 注
源探距，mm

相对误差，％

（5）在前述工作基础上，编写实验报告。
思考题
1、 直接运用原始数据编制实验图件时应当注意哪些重要因素？
2、 原始数据图件可以提供哪些信息，解决哪些重要问题？

5.6 实验六 组合测量的最小二乘法解决
实验目的
根据随机误差的理论，当独立测量次数增多后，通过最小二乘解决，可以减小随机误差的影响，提高测量结果的精确度。组合测量则是增长独立测量次数的基本测量方法。根据误差理论，我们可以理解，采用组合测量的最小二乘解决，是可以在一定限度上改善由于仪器测量精度不够好引起的测量精度问题的。因此，在实际的工程测量实践工作中，掌握这种方法具有重要的实际意义。
本实验通过对一组物理量采用组合测量方法来获取测量结果，以达成进一步理解组合测量方法的原理、掌握组合测量的基本思想，学会组合测量数据的解决方法。
实验内容
运用普通万用电表，通过直接测量3个电阻的各种组合电阻值，然后对所获得的各种组合电阻值数据进行最小二乘解决，从而求出待测定的三个电阻的最佳估计值，并给出所拟定电阻值的精度估计。
实验原理
由于每次测量获得的估计值都不可避免的具有随机误差，根据随机误差的理论，为了减少随机误差影响，只有增长独立测量次数。获取更多测量方程的方法，就是组合测量方法。
从联立方程有唯一拟定解的条件可知，为了拟定n个未知参数，只需要列出n个联立方程即可。采用组合测量方法后，我们获取的测量方程数往往将超过未知数个数，直接运用这些测量方程时，将无法获得唯一解。
运用最小二乘原理，运用构造函数----估计值与测量值间残差平方和----分别对各直接测定参数求一阶偏导数并令其求导结果为零，可以获得只具有与未定参数数目同样多的n个联立方程组，这组方程的解显然是唯一的。
由于是在满足估计值与测量值间残差平方和为最小的条件下求解出的参数值，因此，这些参数值理论上将是是具有最小误差的无偏估计值。
仪器设备
1）不同阻值的电阻3只；
2）万用电表2只（1只为三位半普通数字万用表，用于采集组合测量数据；1只为四位半高精度数字万用表，用于对组合测量数据进行对比分析）；
3）安装有EXCELL软件的计算机1台。
实验环节
1）将3只电阻编号为R1、R2、R3；
2）按照表5.6.1所列组合，运用普通电表测量电阻的组合阻值；
表5.6.1 电阻的组合测量原始数据
测量对象
R1
R2
R3
R1+R2
R2+R3
R1+R2+R3
数值（Ω）

3）运用EXCELL软件的数据记录功能，以及Matlab软件，通过最小二乘法求出R1、R2、R3的最佳估计值，并填入表5.6.2中；
4）运用高精度万用表分别测量R1、R2、R3，并与前面普通电表直接测量的R1、R2、R3，以及运用组合测量求出的R1、R2、R3的估计值进行对比分析
表5.6.2 电阻的组合测量最小二乘值对比
测量方法
R1（Ω）
R2（Ω）
R3（Ω）
普通电表

组合测量

高精度电表

5）根据实验结果编写实验报告
思考题
1、 把普通万用表测得的三个电阻的值，通过最小二乘解决后其精度提高了吗？
2、 组合测量的最小二乘解决有什么实际意义？
3、组合测量的最小二乘解决适合于解决哪些实际的工程测量问题？

5.7 实验七 线性回归分析
实验目的
在科学实验中，我们经常需要对被测量参数间的关系进行拟合，以便找出它们之间也许存在的内在联系。回归分析，就是寻找被测量参数间关系的最有力的数学工具。
本实验的目的是通过对科学实验中所获取测量数据的解决，进一步理解回归分析的基本原理，掌握运用计算机进行线性回归分析的方法。
实验内容
1.运用数字万用电表，测量一组已知阻值的精密金属膜电阻，记录下所提供的每一标准电阻的阻值与实际测量获得的测量阻值；
2.运用一元回归分析建立标准阻值与测量阻值间的线性回归方程；
3.对建立的回归方程进行显著性检查，并据此评价所用万用表对电阻测量的误差；
4.在前述工作的基础上编写实验报告。
基本原理
对于两个具有线性关系的物理量之间，采用一元一次回归分析所建立的两者间的关系方程式具有最小的误差。这是由于回归分析是建立在使测量值与估计值间的残差平方和为最小的原理下拟定的关系方程。
其数学原理与回归分析过程如下：
若有函数关系

式中，y为需要拟定的测量值；x为直接测量值。
对n个已知y值的标准样品，分别测量其x值，并设

现在使残余误差的条件下求解出线性方程系数a、b，显然可以保证运用x求测量值y时，y具有误差为最小的结果。要保证，在数学上采用了对函数f求小极值的方法，即将f分别对a、b求导，并令求导的结果等于零，可得一二元一次联立方程组，求解该联立方程组，即可求出a、b系数。这一过程就是所谓运用最小二乘原理拟定回归方程的过程。
采用Excel软件，可以方便地完毕回归系数的拟定和回归方程曲线的标绘。
仪器设备
1）不同阻值的电阻一批；
2）三位半（或四位半）普通数字万用表一台；
3）安装有EXCELL软件的计算机1台。
实验环节
（1）逐个测量每个电阻阻值，并填入表5.7.1中；
表5.7.1 电阻阻值实测表
R，标称值

R，测量值

（2）设电阻的标称值为y参数，测量值为x参数；
（3）对x，y间进行一元一次线性回归，拟定回归系数，并运用EXCELL软件编制回归分析方程拟合曲线图（如图5.7.1所示）；
（4）对建立的回归方程进行显著性检查；
（5）运用所建立的回归方程，反算所测量的每一电阻的阻值，并计算相对误差；
（6）拟定当R测量值（由上课教师现场给定）等于某值时，回归预测值的95％预测区间；
（7）在完毕前述工作的基础上编写实验报告。
图5.7.1 回归曲线
表5.7.2 依据回归方程拟定的电阻阻值（Ω）表
R，标称值

R，计算值

相对误差%

思考题
1、一个一元一次方程只有两个待定系数，理论上运用两个实验数据对就可以建立该方程，在实际工作中为什么要使用远多于两个实验数据对，并运用回归分析来建立该方程？
2、采用回归分析建立回归方程时，实验数据对数多一些好？还是少一些好？为什么？
3、实际工作中如何评价所建立回归方程的好坏？