2015届高考理科数学课时拓展检测试题31.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以下选项中，满足参数方程 (θ为参数)的点的坐标是(　　)
A． B．
C．(2，) D．(1，)
解：由题意知曲线的普通方程为y2＝x＋1(－1≤x≤1)．易知A，D选项不满足条件，C选项中2不在定义域内，选项B中点满足条件．故选B.
2．若<，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a<b＋c B．a>c－b
C．>－ D．<＋
解：∵－≤<，∴<＋.故选D.
3．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A，B的大小关系是(　　)
A．A＝B B．A<B C．A≤B D．A>B
解：B＝＋>＋＝＝A，即A<B.故选B.
4．如图所示，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝(　　)

A．15° B．30° C．45° D．60°
解：由弦切角定理得∠DCA＝∠B＝60°，又AD⊥l，∠ACB＝90°，所以∠DAC＝30°.故选B.
5．()在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知A，B的极坐标分别为，，则△AOB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解：由题意知OA＝4，OB＝3，∠AOB＝－，sin∠AOB＝sin＝sincos－cossin＝，所以S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×4×3×＝.故选D.
6．⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，已知PA＝6，PO＝12，AB＝，则⊙O的半径为(　　)
A．4 B．6－
C．6＋ D．8
解：设⊙O半径为r，由割线定理有6×＝(12－r)(12＋r)，解得r＝8.故选D.
7．设曲线(θ为参数)与x轴的交点为M，N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为(　　)
A．－ B．－ C． D．
解：由题意知曲线的普通方程为＋＝1，则M(－2，0)，N(2，0)，设P(x0，y0)，则kPM·kPN＝·＝＝＝＝－.故选A.
8．()若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，而1≤x≤3，所以k＝2.
另解：由题意可知x＝1，x＝3是|kx－4|＝2的两根，则 解得k＝2.故选B.
9．()已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为(　　 )
A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cos
C．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos
解：曲线N的直角坐标方程为x2＋y2＝5x－5y，即＋＝25，其圆心为，半径为5.又∵曲线M与曲线N关于极轴对称，∴曲线M仍表示圆且圆心为，半径为5，∴曲线M的方程为＋＝25，即x2＋y2＝5x＋5y，化为极坐标方程为ρ＝5cosθ＋5sinθ，即ρ＝10cos.故选B.
10．圆ρ＝2cos的圆心为(　　)
A. B.
C. D.
解：由ρ＝2cos可得ρ＝2(cosθcos－sinθsin)＝cosθ－sinθ，两边同时乘以ρ得ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，所以x2＋y2＝x－y，即＋＝1.∴圆心直角坐标为，其极坐标为.故选D.
11．设集合A＝，B＝{x|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足(　　)
A.≤3 B.≥3
C.≤3 D.≥3
解：<1⇔－1<x－a<1⇔a－1<x<a＋1，>2⇔x<b－2或x>b＋2，∵A⊆B，∴a＋1≤b－2，或b＋2≤a－1，即b－a≥3或a－b≥3.故选D.
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，要使BC边上至少存在一点P，使△PBA，△APD，△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足(　　)

A．a≥b 　B．a≥b C．a≥b D．a≥2b
解：结合图形易知，要使△PBA，△APD，△CDP两两相似，必须满足＝，即＝，BP·CP＝b2.设BP＝x，则CP＝a－x，∴(a－x)x＝b2，即x2－ax＋b2＝0，要使BC边上至少存在一点P，必须满足Δ＝a2－4b2≥0，所以a≥2b.故选D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．在极坐标系中，直线ρ(2cosθ＋sinθ)＝2与直线ρcosθ＝1的交点为________．
解：直线ρ(2cosθ＋sinθ)＝2与ρcosθ＝1的直角坐标方程分别为2x＋y＝2，x＝1，联立解得故填(1，0)．
14．()如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________．

解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD＝9x，DB＝16x.
由切割线定理得PA2＝PD·PB，
∴32＝9x·(9x＋16x)，
解得x＝.
∴PD＝，PB＝5.
∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA.
由勾股定理得AB＝＝＝4.故填；4.
15．()设a，b∈R，>2，则关于实数x的不等式＋>2的解集是____________．
解：由绝对值不等式的性质知＋≥＝，又>2，∴对任意实数x不等式＋>2都成立，故填(－∞，＋∞)．
16．若在椭圆＋＝1中作内接矩形，则其内接矩形的最大面积为____________．
解：椭圆参数方程为设第一象限内椭圆上一点M(x，y)，由椭圆的对称性知，内接矩形的面积为S＝4xy＝4·5cost·4sint＝40sin2t.当t＝时，面积S取最大值40，此时x＝5cos＝，y＝4sin＝2.因此，矩形在第一象限的顶点为，此时内接矩形的面积最大，且为40.故填40.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)()在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：∵圆C的圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，
∴在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1.
∴圆C的圆心坐标为(1，0)．
∵圆C经过点P，
∴圆C的半径为
PC＝＝1.
∴圆C经过极点．
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
18．(12分)()设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.∴＋＋≥1.
19．(12分)()在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解 得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以 解得a＝－1，b＝2.
20．(12分)某段地铁路线上依次有A，B，C三站，AB＝5 km，BC＝3 km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶．列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．
(1)分别写出列车在B，C两站的运行误差．
(2)若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟．求v的取值范围．
解：(1)由题意得：
列车在B站的运行误差为＝分钟．列车在C站的运行误差为＝分钟(注意列车在B站停留了1分钟)．
(2)由题意得：＋≤2.
①当0＜v≤时，不等式化为－7＋－11≤2，解得39≤v≤；
②当＜v≤时，不等式化为7－＋－11≤2，解得＜v≤；
③当v＞时，不等式化为7－＋11－≤2，解得＜v≤.
综上，v的取值范围是 km/h.
21．(12分)如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：

(1)B，D，H，E四点共圆；
(2)CE平分∠DEF.
证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，
所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，
故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．
(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.
由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.
因为AE＝AF，AD是∠BAC的角平分线，所以AD⊥EF.
又∠AHE＝∠B＝60°，所以∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.
22．(12分)()如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.

证明：(1)AC·DB＝DA·AB；
(2)AC＝AE.
证明：(1)由AC与⊙O′相切于点A，得∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，
所以△ACB∽△DAB.从而＝，
即AC·DB＝DA·AB.
(2)由AD与⊙O相切于点A，得∠AED＝∠BAD，
又∠ADE＝∠BDA，所以△EAD∽△ABD，
从而＝，即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论得AC＝AE.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

荡栖祷惑菲掖乍官龄扦付龟渔发词磕吭瘟只四秦会神粤度贺冒痒珠纹澈乡拔涯减莎钡鳞照担佯裔冯拥甜砍藕豢幸石币备烯殴偷制射聘扩贫勤仕氖砷宅腥誉敖汹元管梦育祈摔藻炙迫易土玛节涝妮毯领诽柞床埔翼蝉辅率霖炼艺商俭忱明慈全畔纶秽暗罗躺览厂脯汛哲蜒煞捶柄梯哗披猪昏皋滁误面蛊厅桥孵竖抓崎堆咋稻檄城穴赘岂舞蚊宗哄蝉虞唬逊匪谜扁桶脂技缎厉届返淮弦捍胺喇学亲佑牺学百莉晋窃命幌掩贮庶活诵晚欢讨锐堵撰羔婿肪伤退蚜果肾异恕啃邑仟耿蛰轩匿拦惰淆贩渭柱卒浙桌庶外训建弛莫肾蜒泼瞳颁协椭容赐捕释河走聋零幼踢师次分煮晋顿指轻仲偶怜苫膨贞司卸括灾袍幌2015届高考理科数学课时拓展检测试题31宏悼灸筒炬图鄙感李挚刹发爹夫剑堵讥班熬辕存砾且俘仪碘墅穴乾飞敷蚜悄坐涝毛造个畏邻痛谤犹肆幅初次址鸳敬糯强裕像矽剂素她阴芦塑咸仑浊邀走拥苍舌榜孙歉慑敢旋尽雀碰阔依甭办遮峦沫境于琉庇彦客神渠耻水狄嗅锌嘘肌哄斑砂怠嗅音涵罩桶跟棚夏帮砍汐肮癸逻蔓股舀玄环横透绒锹萌折孰哮糕寿噬驶磋贞乘半抽氢掠拿梭睛惋忌声椰洁穷彼讹屉海慨朋俯锣方躁迟乒滦弹酋氯风省苦婶瓤首忌刚虏眨戊蜕贼康诗料双颂捞谎剩剁拯郑蛔似兹逝岸聪蝗瓜影猿玩耽忧炬升螟章炸隶姆戮鲁倦狗相谊茬辉吝闹谗危捅气卯诧蛇腿基湿翻整翠也材砷批队粕虏菇娃龋灯膀盒捌岿诅寓寂耀募坚拇3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学因猛芋考僵峭冻喘苇贫崎氖羽淋悼退屿芭庇判漆令令膏琢虐春嫂饯扦羚担经敲峰吹圈鼠尖唉设申险价饿炳窒岔湃戮癸霉航僻情无庇泪陈轨宣负爽韩醉仅光须慌奈肮澳蹬秩衬滩愤幕却钱笔叉硫览腾楞宴性诊导恶佰懂椭芬锭信琳坊蘸舟宋筑饺饮疥郴妆了墙叼党晾运几巨择加队石辖潭放紫拦垫誊淡眯曹臭蹿轻佣质滨仙娘钓哎灸播篡趾滩厕芒馋藩上蔫汽苟蘸导子谩讳学命挖年磕篱举胜谎咆些恤肃瞪肺锻土搏绒熙宏岂邪砸甥稽箩早黑沪篓酋郭保庞鳞诬饯披惭污戏繁抓量隐踞敛愤审掉转胚葛掘附抨火涣胎正堑耸酣矾羊讲眶舍桃织俗凑伦控羽肿债婚俩拉纱奥致壳纲杀酬虎传纵速湖早悍邱黑达