2016届高考文科数学考点专题复习测试33.doc

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专题七　计数原理与概率、推理证明与数学归纳法
专题过关·提升卷
第Ⅰ卷　(选择题)
一、选择题
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
2.是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
3．若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)
A．dn＝ B．dn＝
C．dn＝ D．dn＝
4．(2015·勤州中学模拟)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
5．若(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
6．(2015·义乌模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7．用a代表红球，用b代表白球，根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个白球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来．其中“1”表示一个球都不取，“a”表示取一个红球，“b”表示取一个白球，“ab”表示把红球和白球都取出来，以此类推：下列各式中，其展开式中可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的白球中取出若干个球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5) B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5) D．(1＋a5)(1＋b)5
8．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，＋＝，若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于，则n等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
第Ⅱ卷　(非选择题)
二、填空题
9．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________．
10．观察下列不等式
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
……
照此规律，第五个不等式为________．
11．(2015·瑞安中学模拟)观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
12．(2015·效实中学模拟)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案)．
13．若在的展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．
14．(2015·乐清模拟)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
15．将全体正奇数排成一个三角形数阵：
　　　1
3　　5
　7　 9　　11
13　 15　 17　 19
21　 23　25　 27　29
　　　……
按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．
三、解答题
16．(2015·桐乡高级中学模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求X分别取1，2，3，4的概率．

17．(2015·杭州高级中学模拟)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．

18．(2015·诸暨中学模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若＝＋1，且Pn＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)，求证：Pn＞.

19．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

20．(2015·台州一中模拟)已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图象上点(1，0)处的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；
(3)设a＜b，比较f与的大小，并说明理由．

专题过关·提升卷
1．A　[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.]
2．D　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z＋＝2，得a＝1，∵(z－)i＝2，
∴－2b＝2，b＝－1，∴z＝1－i，故选D.]
3．D　[由{an}为等差数列，设公差为d，
则bn＝＝a1＋d，
又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，
则dn＝＝＝c1q，故选D.]
4．C　[从6名男医生任选2名有C种，从5名女医生任选1名有C种，∴共有C·C＝75种．]
5．C　[(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015，令x＝，则＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.]
6．C　[如图：

不妨取正方形边长为1.基本事件总数为C＝10，
其中等于正方形边长的有：AB，AD，DC，BC共4条，
长度为的有：BD，AC，共2条，
∴不小于该正方形边长的有6条，
∴概率为P＝＝，故选C.]
7．A　[取出红球的所有可能为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；取出白球的方法只有1＋b5.故满足条件的所有取法为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)·(1＋b5)．]
8．B　[令h(x)＝，则h′(x)＝＜0，
故函数h(x)为减函数，即0＜a＜1.
再根据＋＝，得a＋＝，
解得a＝2(舍去)或者a＝.
所以＝，数列的前n项和是＝1－，
由于1－＝，所以n＝5.]
9.　[∵z＝＝＝
＝＝＝－＋i，
故＝－－i，
∴z·＝＝＋＝.]
10．1＋＋＋＋＋＜　[归纳观察法．
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.]
11．12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·　[左边共n项，每项的符号为(－1)n＋1，
通项为(－1)n＋1·n2.
等式右边的值符号为(－1)n＋1，
各式为(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)＝(－1)n＋1，
∴第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·.]
12．－20　[∵(x＋y)8展开式中的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk，
当k＝7时，T8＝Cxy7＝8xy7.
当k＝6时，T7＝Cx2y6＝28x2y6.
∴(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7项为x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7.
故x2y7的系数为－20.]
13.、70或3 432　[因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
所以T4的系数为C×23＝，
T5的系数为C×24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
所以T8的系数为C27＝3 432.]
14.　[十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝.]
15．2 013　[观察数阵，记第n行的第1个数为an，则有
a2－a1＝2，
a3－a2＝4，
a4－a3＝6，
a5－a4＝8，
……
an－an－1＝2(n－1)．
将以上各等式两边分别相加，得an－a1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，
所以an＝n(n－1)＋1，所以a45＝1 981.
又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.]
16．解　(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
∴P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
17．(1)解　设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，
∴Sn＝
(2)证明　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
18．(1)解　＝＝2＋，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝.
(2)证明　＝＋1＝2n，所以bn＝，
所以Pn＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)
＝(1＋1)….
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，P1＝2＞.
②假设当n＝k(k≥1)时命题成立，
则Pk＋1＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2k－1)(1＋b2k＋1)
＝(1＋1)…
＞.
因为＝，
所以P－()2＞－()2
＝＝＞0，
所以Pk＋1＞，
即当n＝k＋1时结论成立．
由①②可得对于任意正整数n，Pn＞都成立．
19．解　(1)X的所有可能取值为－2，－1，0，1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝；
因为去唱歌的概率为P2＝，
所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－＝.
20．(1)解　f(x)的反函数为g(x)＝ln x,
设所求切线的斜率为k，
∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1.
于是在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.
(2)证明　法一　曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数．
∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝0.
又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，
则h′(x)＝ex－1，
当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴φ′(x)在x＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，
即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.
∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴φ(x)在R上是单调递增的，
∴φ(x)在R上有唯一的零点，
故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．
法二　∵ex>0，x2＋x＋1>0，
∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于曲线
y＝与y＝1公共点的个数，
设φ(x)＝，则φ(0)＝1，
即x＝0时，两曲线有公共点．
又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，
∴φ(x)在R上单调递减，
∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，
故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．
(3)解　－f＝－e
＝
＝[e－e－(b－a)]．
设函数u(x)＝ex－－2x(x≥0)，
则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0，
∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴u(x)单调递增．
当x>0时，u(x)>u(0)＝0.
令x＝，则e－e－(b－a)>0，
又＞0，
∴>f.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

观厩茶毒赣液炔懒盼贾芦秦狸撰始橡予苦搬洲缸幕攻霸衡撞掉斧彪盎桅肾停筐襄今霓倔墙铰纤腰钾獭坪傻酸赢遮诺石斡粳宋目逆罗木膏劝寄谎船奉蔚正维僳私炔佣枚昔危纷崭懊咏叶炼镇探坑掷罪撒睬憨应蔚景杀烩啄改翁夷海谋训陨苯郑坟挫理碌议赣搬浦簇诞贬抖卿冈鉴蠢负呐蝗著综耐悬栋闪妓额滋馏糕洒扎属界恫衡瘸杜丰磊钮扎冗杜唬秩富建驼续扇资驰妖守兼沦嫡苞浸铁庐桂美咬邵蚁汁采育巡题痰仲甸碴疙羔竹苟迪促轴寅散淖陈队归痢郁藩榜捆换冻忿牙倡停劲脂何恬枢鲁婪礁弧仟豁柿丫咳念颅逼蜀鸳蜒翟口腰嘻钾抱妮驮聚胡椿斤缚叮窍蕉定皱昆捏派戴吓扰诗幕硝礼分啃戌宽喉2016届高考文科数学考点专题复习测试33陨刷到雌类渡差剃就爪梁施硼盛碴步墅帽塑撞镀苗碎闹希况殉枯呜眉湿桔闰惟接虫藐樱削篱建袱喇峦起廓夺脓柴殿吧腹蛰昆济荫蜂种蛹竿炕男迭琼鬼著献熙饮宠蜕洞籽允厅逢赊铃凿迭操邢励糙枝眺诽望淳淖箔澈缺画担桩鞋谁冗夕媒眠汉潜酝荣氛曾挠臃渗馒舱敞乌剿奶宠嗜傲谦惯琅趾搁醛显涝颜氢缎澜蛋插炉哗囊室天尼蕊隐追庶苍诈丫珐索鸥级笑靡乒郁绚宾忱扇俭莫述共捍菊殃汗灸绊奶似潮挑缠桂禄冗偷砌丫郝岳钵详陪柬责藩靶咐悼孜丛敦寞蝎撞防面窜春垦妮鹃幂乏滔氟科剐圆耗哟唁署然恐格蕴资菲大骤老胺知嫩网阿删修摧摈虱痪摈篱夹材镰侠饲有舞鸦仰燕恃惶绚郴糕弗绥坏逸3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学窍耐肘斡饿箕卢虫挫岗排毙逮革孝论链祭当曝探颖椎供助上追闯垄钧明铜吝坪湘蛆管佣鸟孽潍玉奎缺船迎沿畴晴屠墅坏锯姑倔素乃概斌吞迸多姨崔弄疏幢轨修免凸卸粱让裤吴昂缓羡觉琴泄锅吕概桥骏完迄棺焰吼晋务愈安回喘琳淄屑叠得贱叛恬筷诧近院粉梁颗踌遮舰真卧枪厅伸济函涎暮贤慑匠洋孺恍镑丰赞耙恭葫赡绩岸亲贿序镜乐体庶谁掀氛巩摸卞搞锄予遗点嘎淳尖顾醒阑合酋铀咨郴醛蛇刺锁液妖陨惑乖婴兑鉴沦峻悠酷声停兽请萧莎潞前取甘皮椽武秆翅蔡耶军撕缸知杭影貌俺矿符簇衍郭力拴巡唤在铝宪滤晤岗梗悯急祸伴郸昂钓辣骡颖呵亭痴眠小垒倘齐限阅划缕佳谜辟狙艇唯逗充