课程设计银行排队论分析.doc

南京理工大学
课程考核论文

课程名称： 课程设计
论文题目： 银行服务数据的记录分析
姓 名： 李其然
学 号：
成 绩：
任课教师评语：

署名：
年 月 日
【摘要】
排队论是运筹学的一个重要分支，又称随机服务系统理论，是研究由随机因素的影响而产生拥挤现象的科学。它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决服务系统的最优设计与最优控制问题。随着社会文明的发展与进步，排队已成为和我们生活密不可分的话题。去银行、商场等随机性服务机构购物，如在结算时出现长时排队等待现象，是件让人头痛的事情，有时会因此取消购物计划。身为商家，如何在最低成本运营的情况下最大化的为顾客提供优质服务，减少顾客无谓的等待时间，是重多经营者亟待解决的问题。因此，根据排队论的知识来优化银行的排队系统是具有现实意义的。
计算机模拟就是运用计算机对所研究系统的内部结构、功能和行为进行模
拟。由于排队论的应用已越来越广泛，排队特性、排队规则和服务机构也变得
越来越复杂，解析方法已无法求解，而计算机模拟是求解排队系统和分析排队
系统性能的一种非常有效的方法，并且计算机模拟具有成本低，运营速度快，
准确度高的优点。将排队论与计算机模拟结合起来，是此后排队论发展的必然趋势。
在银行中客户排队是一个常见的现象，特别是近年来随着客户规模的不断,扩大以及营业厅扩建速度跟不上客户需求增长的矛盾愈显突出。因此，为平稳波动的客户，需求与移动营业厅有限的服务能力之间的矛盾，提高客户满意度，开展缩短客户等待时长，优化营业厅服务的项目刻不容缓。本文基于需求管理的理论，运用现代项目管理工具，针对南京交通银行营业厅进行顾客达成时间（间隔）、服务员完毕服务时间等资料的收集和对客户进行问卷调查、访谈的基础上，对数据进行记录分析，涉及数据的均值、众数、中位数、方差指标，并做经验分布函数、拟合数据分布、分布参数的估计、分布假设检查，来反映目前交通银行营业厅排队现状。之后，从客户角度出发，分析了导致移动营业厅排队问题的因素，进而从缴费类型和对时间与价格敏感度两个角度对客户的需求进行了分析，总结出适合缩短客户等待时长的项目管理方案。并在此基础上提出基于需求管理的解决移动营业厅排队问题。

【关键词】： 记录特性； 分布假设； 分布检查

第1章 绪 论
1.1 本论文的背景和意义
随着社会文明的发展与进步，我们的物质文化生活水平在日趋提高，但由此也给我们的生活带来了诸多不便。“排队”已成为和我们生活密不可分的话题。公交车站长长的等候队伍，拥挤的站台，水泄不通的城市交通和超市、商场的大量购物客流都会让我们陷入短期的不安与烦躁之中。排队论是运筹学的一个重要分支，重要研究排队等待中的概率特性，是一门随机服务系统理论。这门应用数学学科开创于20 世纪30 年代初。排队论逐渐被数学界认可是在30 年代中期，这源于W.Feller 将生灭过程引进了排队论。此后，随着着研究的不断进一步，在海陆空的各项运送管理与城市交通管理、计算机存储、银行服务及物流调度等各领域排队理论都逐步得到了广泛的应用。
目前，各大中城市的银行越建越多，但有时，银行经常存在不协调的现象：顾客较多，开放的收银台个数较少，银行结算需要排很长时间的队，直接影响顾客的返途乘车，间接导致顾客对银行的满意度下降。有时则出现顾客较少，开放的收银台个数较多的现象，导致收银员闲置，直接影响银行收益。动态开放柜台数之所以必要，不仅是由于它可以减少成本，还由于它可以同时增长顾客的满意度，这样可以提高整体收益，使系统达成最佳运营状态。对于任何一家银行而言，在剧烈的市场竞争下，想要生存与发展不仅要考虑打价格战，还要更多的考虑顾客的需求与感受。作为银行等大型服务单位而言，让顾客满意是服务的宗旨，也是长期吸引顾客光顾的重要保障。达成顾客满意或提高在顾客心中的形象的主线做法则是尽也许的减少顾客因排队等待而浪费的宝贵时间，同时，再兼顾最低的经营成本，就会在剧烈的竞争下，占有一席之地或具有较高的竞争实力。银行排队服务系统是一个随机服务系统，顾客的到达是随机的，而员工对顾客的服务时间也是由顾客的情况随机而定的。在客流量较大时，假如银行开放的柜台数目过
少，将会导致顾客长时排队等待，容易引起不满，严重会致使客流损失，减少收益。反之，若开放过多柜台, 虽能为顾客提供快速服务，但是却会增长员工的空闲时间，导致经营成本增长，整体收益下降。如何合理的开放柜台的数目，并根据顾客数量动态协调，是银行等随机服务行业亟待解决的问题。由此，基于排队理论研究如何设立超市收银台的数目，开放多少，是具有现实意义的。

1.2 记录初步
南京理工大学北三号门对面交通银行实地检测记录，记录的时间为2023年9月2日、3日、6日和9日的上午9：00-11:30或下午2:00-4:30，记20个工作小时，606位顾客，其中有4个数据由于记录时间段的不完整，无法进行记录，成为无效数据。原数据见附件1，整理数据见表1。

表1 顾客到达分布表（以10分钟为一个时间间隔）
顾客到达数
频数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0
4
12
19
21
9
15
12
12
4
6
0
1
0
1
合计
116（n）

第2章 正文
2.1 初等记录
随着社会和经济的发展，概率记录的基础知识越来越多的应用于社会的各个方面，所以，初中学习记录初步知识很有必要。如下图1所示的各方各面即为我们所要考察的部分。

图1 记录初步图

2.1.1 均值、中位数与众数
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。平均数是记录中的一个重要概念。小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。在记录中算术平均数常用于表达记录对象的一般水平，它是描述数据集中位置的一个记录量。既可以用它来反映一组数据的一般情况、和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表达一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在平常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。

众数是样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，重要应用于大面积普查研究之中。众数是在一组数据中,出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数。一组数据中的众数不止一个，如数据2、3、-1、2、1、3中，2、3都出现了两次，它们都是这组数据中的众数。

中位数（又称中值，英语：Median），记录学中的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分。对于有限的数集，可以通过把所有观测值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。假如观测值有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。一个数集中最多有一半的数值小于中位数，也最多有一半的数值大于中位数。假如大于和小于中位数的数值个数均少于一半，那麽数集中必有若干值等同于中位数。设连续随机变量X的分布函数为F(X)，那么满足P(X≤m)=F(m)=1/2的数称为X或分布F的中位数。对于一组有限个数的数据来说，它们的中位数是这样的一种数：这群数据里的一半的数据比它大，而此外一半数据比它小。 计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。假如数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；假如数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。

平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数则着眼于对各数据出现的次数的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次反复出现时,其众数往往是我们关心的一种记录量；中位数则仅与数据排列位置有关,当一组数据从小到大排列后,最中间的数据为中位数(偶数个数据的最中间两个的平均数)。因此某些数据的变动对它的中位数影响不大。
　　在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:
　　(1)中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；
　　(2)众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也也许相等。

每10分钟顾客平均到达率

顾客的平均到达时间间隔

众数：4

中位数：5

2.1.3 极差、最值
极差是指一组测量值内最大值与最小值之差，又称范围误差或全距，以R表达。它是标志值变动的最大范围，它是测定标志变动的最简朴的指标。

移动极差（Moving Range）是其中的一种。极差没有充足运用数据的信息，但计算十分简朴，仅合用样本容量较小（n<10)情况。

最大值zuìdàzhí[maximum]∶在给定情形下可以达成的最大数量或最大数值；一个量由于起初增大然后开始减小而达成的最大值；限度上的最高点；最高、最大或极端发展的时间或时期。

最小值zuìxiǎozhí ∶在给定情形下可以达成的最小数量或最小数值；一个量由于起初减小然后开始增大而达成的最小值；限度上的最低点；最低、最小或极端发展的时间或时期。

极差：13

最大值：14

最小值：1

2.1.4 方差、标准差
方差是实际值与盼望值之差平方的平均值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数,即

 其中，x_表达样本的平均数，n表达样本的数量，xn表达个体，而s^2就表达方差。
而当用作为样本X的方差的估计时，发现其数学盼望并不是X的方差，而是X方差的倍，
 的数学盼望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用 

来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。
方差，通俗点讲，就是和中心偏离的限度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2。 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散限度的记录量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学盼望的离散限度。（标准差.方差越大，离散限度越大。否则，反之)
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散限度的一个量，它是衡量取值分散限度的一个尺度。

标准差（Standard Deviation），在概率记录中最常使用作为记录分布限度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散限度。测量到分布限度的结果，原则上具有两种性质：
为非负数值， 与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式：
假设有一组数值X1,X2,X3,......XN（皆为实数），其平均值为μ。
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为

。
简朴来说，标准差是一组数据平均值分散限度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不拟定性的一种测量。例如在物理科学中，做反复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：假如测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，由于假如测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否对的。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。

方差：

标准差：

2.2 初步分析
初等记录数据完毕后，运用Excel作出直方图，折线图以及饼状图，通过直观分析初步判断应检查哪些分布。
直方图又称质量分布图，它是表达资料变化情况的一种重要工具。用直方图可以解析出资料的规则性，比较直观地看出产品质量特性的分布状态，对于资料分布状况一目了然，便于判断其总体质量分布情况。在制作直方图时，牵涉记录学的概念，一方面要对资料进行分组，因此如何合理分组是其中的关键问题。按组距相等的原则进行的两个关键数位是分组数和组距。是一种几何形图表，它是根据从生产过程中收集来的质量数据分布情况，画成以组距为底边、以频数为高度的一系列连接起来的直方型矩形图。
排列在工作表的列或行中的数据可以绘制到折线图中。折线图可以显示随时间（根据常用比例设立）而变化的连续数据，因此非常合用于显示在相等时间间隔下数据的趋势。在折线图中，类别数据沿水平轴均匀分布，所有值数据沿垂直轴均匀分布。
饼图英文学名为Sector Graph, 有名Pie Graph。常用于记录学模块。2D饼图为圆形，手画时，常用圆规作图。仅排列在工作表的一列或一行中的数据可以绘制到饼图中。饼图显示一个数据系列 （数据系列：在图表中绘制的相关数据点，这些数据源自数据表的行或列。图表中的每个数据系列具有唯一的颜色或图案并且在图表的图例中表达。可以在图表中绘制一个或多个数据系列。饼图只有一个数据系列。）中各项的大小与各项总和的比例。饼图中的数据点 （数据点：在图表中绘制的单个值，这些值由条形、柱形、折线、饼图或圆环图的扇面、圆点和其他被称为数据标记的图形表达。相同颜色的数据标记组成一个数据系列。）显示为整个饼图的比例。
下面根据顾客达成分布表分别画出直方图和折线图以及饼状图：

图2 顾客到达直方图（以10分钟为一个时间间隔）

图3 顾客到达折线图（以10分钟为一个时间间隔）

图3 顾客到达饼状图（以10分钟为一个时间间隔）

根据直方图与折线图，作出分析，假定其服从泊松分布，指数分布，回归分布，下面对其进行具体分析。
2.3 进一步分析
2.3.1 泊松分布
2.3.1.1 泊松分布介绍
Poisson分布是一种记录与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定期间内受到的服务请求的次数，电话互换机接到呼喊的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。
泊松分布的概率质量函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

2.3.1.2 泊松分布检查方法
用拟合检查法，检查原始数据是否服从Poisson分布。在Poisson分布中，由于参数是未知数，所以要对其进行估计，使用极大似然估计法。
设总体X服从Poisson分布，参数为，即
是来自总体X的样本，为相应样本 的一个样本值，则样本的极大似然函数为
，
对上式两边取对数，得
，令
，
得到关于的极大似然估计值
。
故的极大似然估计量是
。
先假设到达规律符合的Poisson分布，
，，见表2.

表2 Poisson分布配合适度检查计算表
人数
n
实际频数

Poisson分布

理论频数

0
0
0.005517
0.639921
0.639921
1
4
0.028686
3.327592
0.135874
2
12
0.074584
8.651738
1.295792
3
19
0.129279
14.99635
1.068876
4
21
0.168063
19.49525
0.116145
5
9
0.174785
20.27506
6.270116
6
15
0.151480
17.57172
0.376385
7
12
0.112528
13.05328
0.084990
8
12
0.073143
8.484630
1.456496
9
4
0.042261
4.902231
0.166051
10
6
0.021976
2.549160
4.671459
11
0
0.010388
1.205057
1.205057
12
1
0.004502
0.522192
0.437198
13
0
0.001801
0.208877
0.208877
14
1
0.000669
0.077583
10.96705
合计
116（n）

28.46036

，，取，查值表，本例，因此，当显著性水平时可以接受假设，即单位时间内（10分钟）顾客到达规律服从参数为的Poisson分布。

2.3.2 指数分布
2.3.2.1 指数分布介绍
指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表达独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
一个指数分布的概率密度函数是：

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 假如一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential（λ）
累积分布函数可以写成：

2.3.2.2 指数分布检查方法

我们仍使用皮尔逊检查法，研究顾客到达是否服从指数分布。估计指数分布里的参数，使用极大似然法。
假设总体T服从指数分布，即

是取自总体T的样本， 为相应于 的一组样本值，则

表达样本的似然函数，将其两端取对数，可得

令
得的最大似然估计值是

则的最大似然估计量是

由原始数据计算得，假如为真，则T的分布函数估计为
见表3

表3 指数分布配合适度检查计算表
人数
n
实际频数

指数分布

理论频数

0
0
0.174693
20.2644
20.2644
1
4
0.144175
16.72435
9.68104
2
12
0.118989
13.80272
0.235447
3
19
0.098202
11.39148
5.081829
4
21
0.081047
9.401468
14.30904
5
9
0.066889
7.759096
0.198457
6
15
0.055204
6.403635
11.53993
7
12
0.04556
5.284964
8.532075
8
12
0.037601
4.361717
13.37624
9
4
0.031032
3.599755
0.044502
10
6
0.025611
2.970903
3.088432
11
0
0.021137
2.451906
2.451906
12
1
0.017445
2.023575
0.51775
13
0
0.014397
1.67007
1.67007
14
1
0
0
0
合计
116（n）

70.72671

，70.72671>29.819，故拒绝，认为总体不服从指数分布。

2.3.3 线性回归分布
2.3.3.1 线性回归简介及做法
在记录学中，线性回归是运用称为线性回归方程的最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简朴回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归。（这反过来又应当由多个相关的因变量预测的多元线性回归区别，而不是一个单一的标量变量。
在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表达。像所有形式的回归分析同样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X和y的联合概率分布（多元分析领域）。
线性回归是回归分析中第一种通过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。这是由于线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，并且产生的估计的记录特性也更容易拟定。
给一个随机样本，一个线性回归模型假设回归子和回归量之间的关系是除了X的影响以外，尚有其他的变量存在。我们加入一个误差项（也是一个随机变量）来捕获除了之外任何对的影响。所以一个多变量线性回归模型表达为以下的形式：

其他的模型也许被认定成非线性模型。一个线性回归模型不需要是自变量的线性函数。线性在这里表达的条件均值在参数里是线性的。例如：模型在和里是线性的，但在里是非线性的，它是的非线性函数。
区分随机变量和这些变量的观测值是很重要的。通常来说，观测值或数据（以小写字母表记）涉及了n个值 .
我们有个参数需要决定，为了估计这些参数，使用矩阵表记是很有用的。

其中Y是一个涉及了观测值的列向量，涉及了未观测的随机成份以及回归量的观测值矩阵：

X通常涉及一个常数项。
假如X列之间存在线性相关，那麽参数向量就不能以最小二乘法估计除非被限制，比如规定它的一些元素之和为0。
样本是在母体之中随机抽取出来的。
因变量Y在实直线上是连续的，
残差项是独立且相同分布的(iid)，也就是说，残差是独立随机的，且服从高斯分布。
这些假设意味着残差项不依赖自变量的值，所以和自变量X（预测变量）之间是互相独立的。
在这些假设下，建立一个显示线性回归作为条件预期模型的简朴线性回归，可以表达为：

回归分析的最初目的是估计模型的参数以便达成对数据的最佳拟合。在决定一个最佳拟合的不同标准之中，最小二乘法是非常优越的。这种估计可以表达为：

对于每一个，我们用代表误差项的方差。一个无偏误的估计是：

其中

是误差平方和（残差平方和）。估计值和实际值之间的关系是：

其中服从卡方分布，自由度是对普通方程的解可以冩为：

这表达估计项是因变量的线性组合。进一步地说，假如所观测的误差服从正态分布。参数的估计值将服从联合正态分布。在当前的假设之下，估计的参数向量是精确分布的。

其中表达多变量正态分布。
参数估计值的标准差是：

参数的置信区间可以用以下式子来计算：

误差项可以表达为：

单变量线性回归，又称简朴线性回归（simple linear regression, SLR），是最简朴但用途很广的回归模型。其回归式为：

为了估计和，我们有一个样本
最小二乘法就是将未知量残差平方和最小化：

分别对和求导得到正规方程：

此线性方程组可以用克莱姆法则来求解：

协方差矩阵是：

平均响应置信区间为：

2.3.3.2 线性回归检查
我们采用SPSS程序做检查。
SPSS是世界上最早的记录分析软件，由美国斯坦福大学的三位研究生Norman H. Nie、C. Hadlai (Tex) Hull 和 Dale H. Bent于1968年研究开发成功，同时成立了SPSS公司，并于1975年成立法人组织、在芝加哥组建了SPSS总部。1984年SPSS总部一方面推出了世界上第一个记录分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向，极大地扩充了它的应用范围，并使其能不久地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域。世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动记录绘图、数据的进一步分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价。
将数据输入并直接让SPSS进行分析，得到表4如下结果

表4 SPSS检查回归方程表
Anovab
模型
平方和
df
均方
F
Sig.
1
回归
151.557
1
151.557
3.510
.084a
残差
561.376
13
43.183

总计
712.933
14

a. 预测变量: (常量), VAR00001。
b. 因变量: VAR00002

模型汇总
模型
R
R 方
调整 R 方
标准 估计的误差
1
.461a
.213
.152
6.57136
a. 预测变量: (常量), VAR00001。

系数a
模型
非标准化系数
标准系数
t
Sig.
B
标准 误差
试用版
1
(常量)
12.883
3.230

3.988
.002
VAR00001
-.736
.393
-.461
-1.873
.084
a. 因变量: VAR00002

由以上拟合，得知B=12.883，R=0.461，最后方程Y=B+Rx
而相关系数Sig=0.084>0.05，故不相关，拟合失败。
结束语
本文基于排队论理论的指导，结合排队等候时长的项目管理实践，对交通银行营业厅管理系统作了一些初步的研究和探讨。项目组工作人员，通过理论与实践的结合，增强了项目管理的能力，突破了单靠传统的项目管理意识和管理手段，仅凭干劲、热情和勇气去促成项目的完毕的模式；规范了项目管理行为，认清了研究的规范性与实践中的差异、约束，拓宽了解决问题的思绪，探索了适合营业厅的运营支撑系统建设的管理方法。
论文所完毕的工作重要有以下几点:
(1)完毕了营业厅现状调研，梳理了现有管理规范，并进一步拟定了
适合新的竞争环境的排队等候管理制度及规范。
(2)剖析了记录数据，完毕了对其平均数，中位数，众数，方差，标准差，最值的分析与计算
(3)结合营业厅的环境，对该项目的整体情况作了进一步的研究。介绍了对于记录学比较重要的几种分布
(4)在研究的过程中，根据项目的特点，重点探索了几种分布的拟合以及拟合过后的检查，得出结论：符合泊松分布，不符合指数分布与一元二次函数分布。
(5)在检查分布的过程中结合实际结合现今科技发展，用SPSS软件也进行了一次检查，体会了科技的进步

附1：部分原始调查数据
附表1 附表2
2023年9月2日，9:20-10:53 2023年9月3日，14:16-16:30

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