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高中数学线性规划问题一选择题（共28小题）1（2023马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x3y的最小值（）A2B4C6D82（2023山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3B2C2D33（2023重庆）若不等式组，表达的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A3B1CD34（2023福建）变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2B1C1D25（2023安徽）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A1B2C5D16（2023新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）A10B8C3D27（2023安徽）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或18（2023北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD29（2023四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）ABC12D1610（2023广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D11（2023新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A8B7C2D112（2023北京）若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）A2B2CD13（2023开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目的函数z=x2+y2的取值范围为（）A2，8B4，13C2，13D14（2023荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A3B3C1D15（2023鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A1，B，1C1，2D，216（2023会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（）A，B，C，D，17（2023杭州模拟）已知不等式组所表达的平面区域的面积为4，则k的值为（）A1B3C1或3D018（2023福州模拟）若实数x，y满足不等式组目的函数t=x2y的最大值为2，则实数a的值是（）A2B0C1D219（2023黔东南州模拟）变量x、y满足条件，则（x2）2+y2的最小值为（）ABCD520（2023赤峰模拟）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2BCD421（2023九江一模）假如实数x，y满足不等式组，目的函数z=kxy的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A1B2C3D422（2023三亚校级模拟）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a=（）ABC1D223（2023洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目的函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A2B1C1D224（2023太原二模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A1，2B2，1C3，2D3，125（2023江门模拟）设实数x，y满足：，则z=2x+4y的最小值是（）ABC1D826（2023漳州二模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）ABCD27（2023河南模拟）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为，则tan的最大值为（）ABCD28（2023云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A2B3C7D12二填空题（共2小题）29（2023郴州二模）记不等式组所表达的平面区域为D若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是30（2023河北）若x，y满足约束条件则的最大值为高中数学线性规划问题参考答案与试题解析一选择题（共28小题）1（2023马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x3y的最小值（）A2B4C6D8【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目的函数，比较后，即可得到目的函数z=x3y的最小值【解答】解：根据题意，画出可行域与目的函数线如图所示，由图可知目的函数在点（2，2）取最小值8故选D【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目的函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目的函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目的函数的最优解2（2023山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3B2C2D3【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用目的函数的几何意义，运用数形结合拟定z的最大值【解答】解：作出不等式组相应的平面区域如图：（阴影部分）则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目的函数为z=2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，当直线通过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目的函数为z=3x+y，即y=3x+z，平移直线y=3x+z，当直线通过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B【点评】本题重要考察线性规划的应用，结合目的函数的几何意义，运用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，拟定目的函数的斜率关系是解决本题的关键3（2023重庆）若不等式组，表达的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A3B1CD3【分析】作出不等式组相应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，运用三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组相应的平面区域如图：若表达的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线xy+2m=0的下方，即2+2m0，则m1，则A（2，0），D（2m，0），由，解得，即B（1m，1+m），由，解得，即C（，）则三角形ABC的面积SABC=SADBSADC =|AD|yByC|=（2+2m）（1+m）=（1+m）（1+m）=，即（1+m）=，即（1+m）2=4解得m=1或m=3（舍），故选：B【点评】本题重要考察线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键4（2023福建）变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2B1C1D2【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目的函数求得m的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目的函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1故选：C【点评】本题考察了简朴的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题5（2023安徽）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A1B2C5D1【分析】一方面画出平面区域，z=2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值【解答】解：由已知不等式组表达的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z通过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为21+1=1；故选：A【点评】本题考察了简朴线性规划，画出平面区域，分析目的函数取最值时与平面区域的关系是关键6（2023新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）A10B8C3D2【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用目的函数的几何意义，运用数形结合拟定z的最大值【解答】解：作出不等式组相应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz通过点C时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即C（5，2）代入目的函数z=2xy，得z=252=8故选：B【点评】本题重要考察线性规划的应用，结合目的函数的几何意义，运用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法7（2023安徽）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或1【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用目的函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值【解答】解：作出不等式组相应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目的函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目的函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目的函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：D【点评】本题重要考察线性规划的应用，运用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义8（2023北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1CD2【分析】作出题中不等式组表达的平面区域，再将目的函数z=x+2y相应的直线进行平移，即可求出z取得最大值【解答】解：作出不等式组表达的平面区域，当l通过点B时，目的函数z达成最大值z最大值=0+21=2故选：D【点评】本题给出二元一次不等式组，求目的函数z=x+2y的最大值，着重考察了二元一次不等式组表达的平面区域和简朴的线性规划等知识，属于基础题9（2023四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）ABC12D16【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用基本不等式进行求解即可【解答】解：作出不等式组相应的平面区域如图；由图象知y102x，则xyx（102x）=2x（5x）2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检查（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题重要考察线性规划以及基本不等式的应用，运用数形结合是解决本题的关键10（2023广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D【分析】作出不等式组相应的平面区域，根据z的几何意义，运用数形结合即可得到最小值【解答】解：不等式组相应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=x+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，通过点A时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=31+2=，故选：B【点评】本题重要考察线性规划的应用，根据z的几何意义，运用数形结合是解决本题的关键11（2023新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A8B7C2D1【分析】作出不等式相应的平面区域，运用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式相应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=通过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+22=7，故选：B【点评】本题重要考察线性规划的应用，运用数形结合是解决线性规划题目的常用方法12（2023北京）若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）A2B2CD【分析】对不等式组中的kxy+20讨论，当k0时，可行域内没有使目的函数z=yx取得最小值的最优解，k0时，若直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的左边，z=yx的最小值为2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目的函数得答案【解答】解：对不等式组中的kxy+20讨论，可知直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kxy+2=0，得x=，B（）由z=yx得y=x+z由图可知，当直线y=x+z过B（）时直线在y轴上的截距最小，即z最小此时，解得：k=故选：D【点评】本题考察简朴的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题13（2023开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目的函数z=x2+y2的取值范围为（）A2，8B4，13C2，13D【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用目的函数的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出不等式相应的平面区域，则z=x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A时，OA的距离最大，当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时，距离最小，即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d2=2，由，解得，即A（3，2），此时z=x2+y2=32+22=9+4=13，即z的最大值为13，即2z13，故选：C【点评】本题重要考察线性规划的应用，运用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14（2023荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A3B3C1D【分析】先根据约束条件画出可行域，再运用几何意义求最值，z=2x+y表达直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，1）时，z最大是3，故选A【点评】本小题是考察线性规划问题，本题重要考察了简朴的线性规划，以及运用几何意义求最值，属于基础题15（2023鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A1，B，1C1，2D，2【分析】先根据已知中，变量x，y满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，进而分析s=的几何意义，我们结合图象，运用角点法，即可求出答案【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：根据题意，s=可以看作是可行域中的一点与点（1，1）连线的斜率，由图分析易得：当x=1，y=O时，其斜率最小，即s=取最小值当x=0，y=1时，其斜率最大，即s=取最大值2故s=的取值范围是，2故选D【点评】本题考察的知识点是简朴线性规划，其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域，“角点法”是解答此类问题的常用方法16（2023会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（）A，B，C，D，【分析】化简得u=3+，其中k=表达P（x，y）、Q（1，3）两点连线的斜率画出如图可行域，得到如图所示的ABC及其内部的区域，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到u=的值范围【解答】解：u=3+，u=3+k，而k=表达直线P、Q连线的斜率，其中P（x，y），Q（1，3）作出不等式组表达的平面区域，得到如图所示的ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，运动点P，可得当P与A点重合时，kPQ=达成最小值；当P与B点重合时，kPQ=达成最大值u=3+k的最大值为+3=；最小值为+3=因此，u=的值范围是，故选：A【点评】本题给出二元一次不等式组，求u=的取值范围着重考察了直线的斜率公式、二元一次不等式组表达的平面区域和简朴的线性规划等知识，属于中档题17（2023杭州模拟）已知不等式组所表达的平面区域的面积为4，则k的值为（）A1B3C1或3D0【分析】由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2，即可作出不等式组表达的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可【解答】解：不等式组表达的平面区域如下图，解得点B的坐标为（2，2k+2），所以SABC=（2k+2）2=4，解得k=1故选A【点评】本题考察二元一次不等式组表达的平面区域的作法18（2023福州模拟）若实数x，y满足不等式组目的函数t=x2y的最大值为2，则实数a的值是（）A2B0C1D2【分析】画出约束条件表达的可行域，然后根据目的函数z=x2y的最大值为2，拟定约束条件中a的值即可【解答】解：画出约束条件表达的可行域由A（2，0）是最优解，直线x+2ya=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D【点评】本题考察简朴的线性规划，考察学生分析问题解决问题的能力，属于中档题19（2023黔东南州模拟）变量x、y满足条件，则（x2）2+y2的最小值为（）ABCD5【分析】作出不等式组相应的平面区域，设z=（x2）2+y2，运用距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组相应的平面区域，设z=（x2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小由得，即C（0，1），此时z=（x2）2+y2=4+1=5，故选：D【点评】本题重要考察线性规划的应用，结合目的函数的几何意义以及两点间的距离公式，运用数形结合是解决此类问题的基本方法20（2023赤峰模拟）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2BCD4【分析】本题重要考察线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目的函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值【解答】解：约束条件 的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，yx=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），由于圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4故选：D【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其环节为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐个代入目的函数验证，求出最优解21（2023九江一模）假如实数x，y满足不等式组，目的函数z=kxy的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A1B2C3D4【分析】一方面作出其可行域，再由题意讨论目的函数在哪个点上取得最值，解出k【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，1），C（3，0），目的函数z=kxy的最小值为0，目的函数z=kxy的最小值也许在A或B时取得；若在A上取得，则k2=0，则k=2，此时，z=2xy在C点有最大值，z=230=6，成立；若在B上取得，则k+1=0，则k=1，此时，z=xy，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B【点评】本题考察了简朴线性规划的应用，要注意分类讨论，属于基础题22（2023三亚校级模拟）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a=（）ABC1D2【分析】作出不等式相应的平面区域，运用线性规划的知识，通过平移即先拟定z的最优解，然后拟定a的值即可【解答】解：作出不等式相应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z通过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小由，解得，即A（1，），点A也在直线y=a（x3）上，解得a=故选：A【点评】本题重要考察线性规划的应用，运用数形结合是解决线性规划题目的常用方法23（2023洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目的函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A2B1C1D2【分析】先作出不等式组的图象，运用目的函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3xya=0即可【解答】解：先作出不等式组的图象如图，目的函数z=x+y的最大值为2，z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3xya=0上，31a=0，则a=2，故选：A【点评】本题重要考察线性规划的应用，运用数形结合以及目的函数的意义是解决本题的关键24（2023太原二模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A1，2B2，1C3，2D3，1【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用目的函数的几何意义，运用数形结合进行求解即可【解答】解：由z=ax+y得y=ax+z，直线y=ax+z是斜率为a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组相应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，通过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a0，则目的函数斜率k=a0，要使目的函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目的函数的斜率满足akBC=1，即0a1，若a0，则目的函数斜率k=a0，要使目的函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目的函数的斜率满足akAC=2，即2a0，综上2a1，故选：B【点评】本题重要考察线性规划的应用，根据条件拟定A，B是最优解是解决本题的关键注意要进行分类讨论25（2023江门模拟）设实数x，y满足：，则z=2x+4y的最小值是（）ABC1D8【分析】先根据约束条件画出可行域，设t=x+2y，把可行域内的角点代入目的函数t=x+2y可求t的最小值，由z=2x+4y=2x+22y，可求z的最小值【解答】解：z=2x+4y=2x+22y，令t=x+2y先根据约束条件画出可行域，如图所示设z=2x+3y，将最大值转化为y轴上的截距，由可得A（2，1）由可得C（2，3）由B（4，3）把A，B，C的坐标代入分别可求t=4，t=4，t=2Z的最小值为故选B【点评】本题重要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简朴的转化思想和数形结合的思想，属中档题26（2023漳州二模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）ABCD【分析】由约束条件画出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m1，m），化z=x+3y，得由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m1，由题意，7（4m1）=7，解得：m=故选：C【点评】本题考察简朴的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题27（2023河南模拟）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为，则tan的最大值为（）ABCD【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用数形结合求出A，B的位置，运用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论【解答】解：作出不等式组相应的平面区域，要使tan最大，则由，得，即A（1，2），由，得，即B（2，1），此时夹角最大，则，则cos=，sin，此时tan=，故选：C【点评】本题重要考察线性规划的应用，以及向量的数量积运算，运用数形结合是解决本题的关键28（2023云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A2B3C7D12【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐个代入目的函数，验证即得答案【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12当x=1，y=1时，2x+y有最小值3故选：B【点评】本题重要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简朴的转化思想和数形结合的思想，属中档题二填空题（共2小题）29（2023郴州二模）记不等式组所表达的平面区域为D若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是，4【分析】本题考察的知识点是简朴线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）相应的a的端点值即可【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：由于y=a（x+1）过定点（1，0）所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，相应a=又由于直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点所以a4故答案为：，4【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其环节为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐个代入目的函数验证，求出最优解30（2023河北）若x，y满足约束条件则的最大值为3【分析】作出不等式组相应的平面区域，运用目的函数的几何意义，运用数形结合拟定的最大值【解答】解：作出不等式组相应的平面区域如图：（阴影部分ABC）设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则kOA=3，即的最大值为3故答案为：3【点评】本题重要考察线性规划的应用，结合目的函数的几何意义以及直线的斜率，运用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法