无锡九年级上学期数学实验手册.doc

1.1等腰三角形的性质和鉴定
例1．提醒：∠DBC=90°－∠C=90°－（180°－∠A）=∠A，或作AE⊥BC
例2．提醒：作AF⊥BC，或证△ABD≌△ACE
回顾与反思：引导学生从不同角度入手，合理选用证明方法
【训练与提高】
1.C 2.B 3.A 4.22；20或22；20
5.50°、80°或65°、65°；30°、30° 6.20或35
7.3 8.略 9.提醒：证△ABD≌△ACE
【拓展与延伸】
1.等腰三角形，提醒：连MA，证△MDE≌△MAC
2.30°，提醒，连EC，证△BED≌△BEC

1.2.直角三角形全等的鉴定（1）
例1.略 例2.略
【训练与提高】
1.C 2.D 3.5或10 4.1：3
5. ∠CAB=∠DAB；∠ABC=∠ABD；AC=AD或BC=BD 6. 提醒：证△ACF≌△HBF
【拓展与延伸】
提醒：证△ABD≌△CAE

1.2. 直角三角形全等的鉴定（2）
例1．提醒：作FG⊥AE，FH⊥BC，FI⊥AD，
例2．提醒：证△CDF≌△CBE
【训练与提高】
1.C 2.D 3.D 4.D
5.1.5 6.25 7.10 8.提醒：证CE=CF=CG
【拓展与延伸】
1.提醒：证△FCD≌△FBE，得FD=FE 2.略

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（1）
例1．提醒：证△CDF≌△ABE 例2．略
【训练与提高】
1.B 2.C 3.10 4.26
5.8 6.4和6 7.3 8.8、4.8
【拓展与延伸】
1.略 2.略

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（2）
例1．⑴略；⑵ 例2．3
【训练与提高】
1.C 2.D 3.D 4.22或26
5.10、5 6.6.5 7.128 8.18 9.略
【拓展与延伸】
1.（，2），（，） 2.略

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（3）
例1．提醒：证△ADE≌△ABF或连AC，证△ACE≌△ACF
例2．⑴提醒：连AC；⑵60°
【训练与提高】
1.C 2.A 3.D 4.略 5. 60°、60°、12、、
6.1 7. 8. 60° 9.9.6 10.略
【拓展与延伸】
1.24 2.略

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（4）
例1．提醒：△ADE≌△BAF 例2．略
【训练与提高】
1.D 2.C 3.1+2a 4.4
5.8 6. BE⊥CF且BE=CF 7.
【拓展与延伸】
1.提醒：取BC中点F，连AF并延长交DC的延长线于点G
2.⑴提醒：证△AOF≌△BOE，⑵成立，证△AOF≌△BOE

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（5）
例1．略 例2．略
【训练与提高】
1.B 2.A 3.8.4、5.4 4.略 5.平行四边形 6. 略 7.略
【拓展与延伸】
1.略 2.⑴略，⑵BC∥AD且BC=AD

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（6）
例1．略 例2．
【训练与提高】
1.C 2.C 3.24 4.12 5.9 6. (2,4)(3,4)(8,4) 7.略 8.略
【拓展与延伸】
1.矩形 2.⑴8秒，⑵秒

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（7）
例1．略 例2．略
【训练与提高】
1.D 2.B 3. 4.55 5.AE=2AD 6.菱形
【拓展与延伸】
1. ⑴略，⑵直角三角形 2.⑴25，⑵

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和鉴定（8）
例1．略 例2．略
【训练与提高】
1.B 2.D 3.D 4.，1.5 5.4 6.70° 7.5 8.略
【拓展与延伸】
1. ⑴平行四边形， ⑵∠A=150° ⑶AB=AC且∠BAC≠60° ⑷AB=AC且∠A=150°
2.⑴略 ，⑵AB=AC

1.4等腰梯形的性质和鉴定
例1．略 例2．⑴略 ，⑵等腰三角形
【训练与提高】
1.B 2.B 3.3、3 4.30 5.3 6.36 7.30 8.略
【拓展与延伸】
1. ⑴提醒：作DG⊥AB ⑵ 2.t=6秒，平行四边形；t=7秒，等腰梯形

1.5中位线（1）
例1．略 例2．提醒：延长AD交BC于点F
【训练与提高】
1.D 2.B 3.20或22 4.40 5.AB=AC
6.3 7.提醒：连AC、BD，交于点O，作OO’⊥l
【拓展与延伸】
1. 略 2.⑴略 ，⑵6.5

1.5中位线（2）
例1．提醒：延长AE交BC的延长线于点F
例2．提醒：取AB中点G，连EG、FG
【训练与提高】
1.A 2.B 3.A 4.22 5.4
6.240 7. AC=BD 8.菱形
【拓展与延伸】
略

第1章复习题
1.B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.B 11.C 12.D 13.C 14.A 15.C
16.2或6 17. 18.14或16或26 19.64 20.125° 21.26
22. 23.16 24.3 25.提醒：证AD=AE，ED=EF
26.提醒：证MQ=AC=PN 27. 28.1 29. ⑴略 ，⑵2BC=3AB
30. ⑴提醒：三线合一 ，⑵略
31. ⑴提醒：证△ADP≌△DCG， ⑵等腰三角形
32. ⑴ C（－2，3），D（－3，0） ⑵提醒：证△DOE≌△BOA，
33.
34. ⑴t=2，⑵AB=，不能
35. ⑴略，⑵36
36. ⑴4：5， ⑵9：11， ⑶16：19，
37.提醒：在AF上取AG=AD，连EG

第1章自我检测题
1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7. 8.略 9.12 10. 11.9.6
12.76 13.提醒：连ME、MD 14.略 15.略 16.BE=5，CD:DE=

第2章 数据的离散限度
2.1 极差
【实践与探索】
例1 解：甲队队员身高极差为179–177＝2cm；
乙队队员身高极差为180–176＝4cm．
由于甲队队员身高变化幅度小，所以甲队更为整齐．
例2 解：中位数是：2534元/m2；极差是：3515–2056＝1459元/m2．
【训练与提高】
1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．9； 7．乙 8．3；3 9．1699 10．160
11．(1)略；（2）＝90分；＝90分；（3）火箭队的极差为18分，湖人队的极差为30分；（4）从平均分看，两队的平均得分相同，实力大体相称；从折线走势看，火箭队的比赛成绩呈上升趋势，湖人队的比赛成绩呈下降趋势；从获胜场次看，火箭队胜3场，湖人队胜2场，火箭队获胜场数多；从极差看，火箭队的成绩较稳定．所以预测下一场比赛火箭队更能取得好成绩．
2.2 方差与标准差
【实践与探索】
例 解：（1）7；7；1．2 （2）两队成绩的平均数相同；乙队的众数比甲队大；乙队的方差比甲队小，说明乙队较稳定．所以乙队的射击水平较甲队高．
【训练与提高】
1．B 2．D 3．4；2 4． ＞；乙 5．0 6． 33．6；110；甲 7．甲 8．（1）略；（2）甲机床的方差是0．0002； 乙机床的方差是0．00045；（3）甲机床加零件的质量比较稳定
【拓展与延伸】
1．（1）①平均数：5；方差： ②平均数：15；方差： ③平均数：50；方差： （2）＋a； S2 ；m； m 2S2
2.3 用计算器求方差与标准差
【实践与探索】
例 解：甲的平均数为12．6s；方差为0．64 ；乙的平均数为12．4 s；方差为1．04．所以乙的成绩更好些，甲的成绩稳定些．
【训练与提高】
1．A 2．C 3．C 4． (1)平均数：50．50；方差：181．3；标准差：13．46；(2)平均数：7．714；方差：1．061；标准差1．030． 5．(1)15；1．8；5．5；6 (2) ① 平均数、中位数、众数均可；②不能，由于乙队游客的年龄有两个极端值，导致年龄的方差较大，平均年龄高于大部分游客的年龄．
6． S甲2≈0．01，S乙2≈0．02 ，所以甲的成绩比较稳定．
第二章复习题
1．A 2．C 3．A 4．3750 5．7 6．1．5 7．乙 8． 甲＝70分；乙＝70分；S甲2＝ 300；S乙2＝120． 甲、乙两名同学的平均分相同，但乙的方差小，比较稳定，应让乙参与数学竞赛． 9．（1）甲＝（6＋2＋7＋5）＋80＝85，乙＝（5＋1＋5＋9）＋80＝85．（2）S甲2＝ [（86－85）2＋（82－85）2＋（87－85）2＋（85－85）2]＝3．5，S乙2＝ [（85－85）2＋（81－85）2＋（85－85）2＋（89－85）2]＝8．（3）∵S乙2＞S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．
10．乙 11． 解：（1）两段台阶的相同点是：两段台阶路高度的平均数相同；不同点是：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同．（2）S甲2＝ ，S乙2＝，甲路段走起来更舒适一些，由于它的台阶高度的方差小．（3）每个台阶高度均为15cm，使方差为0．
第3章 二次根式
3．1 二次根式⑴
【实践与探索】
例1 分析 要使二次根式故意义，只要满足被开方数大于等于零即可．
解 （1）由x–1≥0，得x≥1．
（2）、（3）略．
例2 解 （1）(2)2＝22×()2＝4×3＝12．
（2）(–3)2＝(–3)2×()2＝9×5＝45．
(3) (–)2＝ ＝ ＝ ．
回顾反思：2表达2×，但2×通常写成2．
例3 分析 由于当a≥0时，（)2＝a，所以当a≥0时，a＝（)2，即任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式．
解 （1）a2–4＝a2–22＝(a＋2) (a＋2)．
（2）9b2–5＝(3b)2–()2＝(3b＋) (3b–)．
（3）略．
【训练与提高】
1．B 2．B 3．(1)x≤ （2）x可以取一切实数 （3）x≤2 （4）x＝1
（5）x＝2 （6）3≤x≤5 4．（1） （2）45 （3） （4）a2b （5）（-）2 （6）15
5．（1）（x＋）(x–) (2) (b＋)(b–) (3)(3y2＋1)( y＋1) (y–1)
【拓展与延伸】
1．2 2．–2
3．1 二次根式（2）
【实践与探索】
例1 （1）＝＝7； （2）＝＝π–3
例2 略
回顾反思：
1． 式子具有双重非负性，即：（1）a≥0；（2）≥0．
2． 一个式子是二次根式必须满足两个条件：（1）根指数是2；（2）被开方数大于或等于零．
3． 注意()2与的不同，两者不能混淆．
① 两者的平方运算不同样，前者在根号外，后者在根号内；
② a的取值不同样，前者a必须大于等于零，后者a可为任何数；
③ 计算结果不同样，前者计算结果为a，后者计算结果为．
【训练与提高】
1．D 2．A 3． –1 4．–b 5．a≤1 6．x≤2 7．（1）1 （2）2 8．a–b 9． –a–a
【拓展与延伸】
1．–1 2．2x 3.4+2
3．2 二次根式的乘除⑴
【实践与探索】
例1 （1）解：原式＝＝＝21；
（2）解：原式＝＝3．
回顾反思：当 a≥0 ，b≥0时，·＝．
例2 （1）解：原式＝×＝35；
（2）解：原式＝＝＝××＝＝42．
回顾反思：当 a≥0 ，b≥0时，·＝也可以写成＝·，运用它们可以进行二次根式的化简，在对二次根式化简时，一般先将被开方数写成几个平方数与另一个数的积的形式．
【训练与提高】
1．B 2．A 3．D 3．(1)18 (2) 4a （3）15 (4)5 (5)4 (6)ab2
【拓展与延伸】
1．8 2．
3．2 二次根式的乘除（2）
【实践与探索】
例1 （1）解：原式＝＝6；
（2）解：原式＝＝15；
（3）解：原式＝＝2a；
（4）解：原式＝＝x．
回顾反思：化简二次根式时，把被开方数中能开得尽方的因数开方．
例2 （1）解：原式＝＝＝7；
(2）解：原式＝(2×3)×＝30；
(3) 、(4)略
回顾反思：第（2）题先把根号外面的有理数相乘，再运用一次根式的乘法法则进行计算．
例3 （1）解：原式＝–＝–＝–4；
(2）解：原式＝10；
回顾反思：在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也合用．
【训练与提高】
1．2；2；3；3；4． 2．(1)3 (2)4 (3)20 (4)7 (5)x2y (6)(x＋y) 3．(1)3 (2) 24 (3)a2 （4）10a （5）12
（6）–4xy （7）x
【拓展与延伸】
1．4– 2．±1
3．2 二次根式的乘除（3）
【实践与探索】
例1 （1）解：原式＝＝2；
（2）解：原式＝＝3；
（3）解：原式＝2＝2．
回顾反思：化简二次根式时，把被开方数中能开得尽方的因数开方．
例2 （1）解：原式＝； (2)、(3) 略．
例3 （1）解：原式＝； (2）解：原式＝＝；
回顾反思：化简二次根式时，假如被开方数是带分数，把它化成假分数的形式再开方；假如被开方数是不能直接开方的小数，一般都化成分数再开方．
【训练与提高】
1．C 2．D 3．(1)3 (2) (3)2 (4) 4．(1) (2) (3)
(4) 5．(1) (2) 2 (3) (4) (5) (6) –
【拓展与延伸】
1． – 2． –
3．2 二次根式的乘除（4）
【实践与探索】
例1 （1）解：原式＝＝；
（2）解：原式＝＝＝；
（3）解：原式＝＝＝b；
(4) 解：原式＝＝–(＋2)＝ ––2．
回顾反思：化去根号内的分母，可以用以下几种方法解决：（1）＝＝，
（2）＝＝；（3）若分母是＋b的形式，那么分母、分子上同时乘–b可以达成分母有理化的目的．
例2 （1）解：原式＝–； (2) 解：原式＝–3a．
回顾反思：二次根式运算的结果一般规定分母中不含根号，被开方数中也不能具有分母．
【训练与提高】
1．C 2．C 3．C 4．(1) (2) (3) (4) (5) (6) –1 5．(1)– (2) 6．略
【拓展与延伸】
1． 2． （1） （2）–

3．3 二次根式的加减（1）
【实践与探索】
例1 略．
回顾反思：在判断两个二次根式是否是同类二次根式时，应先将各二次根式化简，然后看其被开方数是否相同．
例2 （1）解：原式＝（3–2）＋（–3）＝–2；
(2) 解：原式＝（3–4）＋（–2–2）＝––4．
例3 （1）解：原式＝5＋4＝9；
(2) 解：原式＝（3＋2）＋3＝＋3；
(3) 解：原式＝–2–＋＝–．
回顾反思：二次根式的加减实际是对同类二次根式的合并，不是同类二次根式不能合并．进行二次根式加减时应先将没有化简的二次根式化简，然后再合并同类二次根式，且计算结果要化成最简形式．
【训练与提高】
1．D 2．A 3．B 4．B 5．略 6．(1)4–5 (2)–13 (3) (4) – (5) 13– （6）–10– （7） (8) ＋
【拓展与延伸】(1–a)
3．3 二次根式的加减（2）
【实践与探索】
例1 （1）解：原式＝–6＝–5；
(2) 解：原式＝–3）＝–9；
(3) 解：原式＝2–＋2–2＝．
回顾反思：在进行二次根式的混合运算时要注意运算顺序．
例2 （1）解：原式＝–〔(3)2–(2)2〕＝–（18–12）＝–4＋；
(2) 解：原式＝〔(3)2–(2)2〕2＝36．
回顾反思：．进行二次根式运算时，要先对所给式子进行观测，有些可以直接类比整式的乘法公式进行运算．
【训练与提高】
1． (1)–19 (2)2＋ (3) – (4) 95–30 2．(1) 5 (2) 4 （3）22–2 （4）2＋
【拓展与延伸】
1． (1)–64＋36 (2)10–
2．
第三章复习题
1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．(1) 6 (2) 5 （3）36 （4）5xy （5）–1 7．2 8．(1) –24 (2) 1 （3） （4） –4 （5）–15
（6）16–4 9．（1）–2 （2）（3）2 （4）1 10． –2 11．2
12．（1）2 （2）＋ （3）–4–4 13．5 14．–2 15．①由8–x≥0；3x＋4≥0；x＋2≥0，得–≤x≤8 ②若c为斜边，则a2＋b2＝c2，x＝ –10(舍) ；若b为斜边，则a2＋c2＝b2，x＝2；若a为斜边，则c2＋b2＝a2，x＝ 所以，x＝2或x＝．

第二章自我检测
1．D 2．A 3．D 4．B 5．A 6．2；2 7．2；4 8．2；0．5 9．＞
10．(1) 84．5；83 (2)甲＜乙 (3)乙的成绩更稳定 11． (1)甲＝9．8环；乙＝9．8环
（2）S甲2＝ 0．214；S乙2＝0．146，所以乙发挥更稳定 12．（1）70；6 （2）数学
13．（1）6；7；8；2．2 （2）只要说得有理即可
第三章自我检测
1．D 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．x≤3，且x≠1 8．（1）；（2） ；（3）3；（4）–1；（5）1；（6） ．9．m–n 10．1 11．2；–4
12．(1) 2； (2) 3； (3) –2； （4）8y； (5) –； （6）4； (7)4； (8)–95＋30． 13． 14．－2b 15． –4 16．9
期中自我检测
1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．B 8．D 9．x≥－1 10．5
11． 12．105° 13． 16 14．菱形 15．500或800 16．2.5 17．－1 18．40 19．（1）－a2b；（2）－ ；（3）；（4）． 20． (1) 矩形； (2) 菱形； (3)正方形（证明略） 21．（1）AAS证明；
（2）连结AD，由勾股定理得AD＝4，由于DC·AD＝AC·DF，所以DF＝2.4 22．(1)80；80；60；80；90； （2）王成； (3) 略． 23．（1）由于∠A＝60°，AC＝1，所以AB＝2，BC＝，设AB边上的高为h，则AB·h＝AC·BC，所以h＝，由平移性质可得CF∥AD，CF＝AD ，所以S＝（CF＋DB）h＝（AD＋DB）h＝AB·h＝；
（2）菱形，理由略．
B
C
A
D
E
F
第20题图
24．（1）1；（2）能，①当DE∥QB时，四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC得t＝；②当PQ∥AC时，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC得t＝．

第四章 一元二次方程参考答案

4.1 一元二次方程

【实践与探索】
例1 根据题意，列出方程，并将其化成一般形式：
图4.1.1
（1）如图4.1.1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．假如要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，
那么铁皮各角应切去多大的正方形？．
（2）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，天天安排4场比赛，比赛组织者应当邀请多少个队参赛？
解：（1）角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；
角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个小长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，
则有方程100×50－4x2－2x(50－2x)－2x(100－2x)＝3600；
以上方程通过整理均可得到一般形式：x2－75x＋350＝0．
(2) 所有比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以所有比赛共x(x－1)场，于是得到方程x(x－1)＝28，通过整理得到方程x2－x－56＝0．
例2 当满足条件 时，关于的方程是一元二次方程；当满足条件 时，关于的方程是一元一次方程．
解：当，即时，关于的方程是一元二次方程；当＝2时，关于的方程是一元一次方程．
【训练与提高】
1．B 2．D 3．D 4．8(1－x)2＝4.5 5．50＋50（1＋x）＋50(1＋x)2＝182
6．
方 程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项

1
0
2

3

－2

1
1
－6

1
－6
0
7．－1
8．（1）；（2）
9．；
【拓展与延伸】
10．

4.2 一元二次方程的解法（1）

【实践与探索】
例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）原方程变形为，∴，∴，即，
∴，；
（2）原方程变形为，∴；
（3）原方程变形为，即．
∵负数没有平方根，故使方程成立的实数不存在，∴原方程没有实数根．
例2 解下列方程：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）方程两边开平方，得，即，或，
∴，．
（2）移项，得，方程两边同除以9，得，
两边直接开平方，得，即，或，
解得，．
（3）方程两边开平方，得，即，或，
解得，．
【训练与提高】
1．B 2．D 3．C 4．A 5．±13；－3；1± 6．3，－7
7．（1），；（2），；（3），；（4）， 8．（1），；（2），；（3），；（4），
【拓展与延伸】
9．（1）ac＜0；（2）an＞0

4.2 一元二次方程的解法（2）

【实践与探索】
例1 解下列方程：
（1）； （2）； （3）
解：（1）移项，得，
配方，得，∴，
解这个方程，得，即，．
（2）移项，得，
配方，得，∴，
解这个方程，得，即，．
（3）配方，得，∴，
解这个方程，得，即，．
例2 用配方法说明代数式的值恒大于零．
解：＝，
∵≥0，∴＞0，
即代数式的值恒大于零.
【训练与提高】
1．B 2．D 3．D
4．⑴ 9，3； ⑵，；⑶，；⑷，；⑸，；⑹，
5．(1)±8；（2）8，－2 6．， 7．4
8．（1），；（2），；（3），；
（4），；（5）；（6），
【拓展与延伸】
9．∵＝，∴当x＝2时，有最小值1，∴不也许为0，且无最大值，只有小华、小明是对的的

4.2 一元二次方程的解法（3）

【实践与探索】
例1 解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解：（1）两边都除以1，得，
移项，得，
配方，得，，
解这个方程，得，∴，．
（2）两边都除以3，得，
移项，得，，
配方，得，，，
解这个方程，得，∴，．
（3）两边都除以，得，
配方，得，，
解这个方程，得，∴．
（4）两边都除以，得，
移项，得
配方，得，＜0，
∴原方程没有实数根．
例2 小华把二次三项式配成的形式，过程如下：
解：＝．
问：小华的解法是否有错误；如有，指犯错在哪里？并给出对的的解答．
解：小华的解法错在把二次三项式当成一元二次方程，对的的解答如下：
＝．
【训练与提高】
1．A 2．A 3．（1）；（2）；（3）1，1；（4）－12y，2
4． 5. 1
6．（1），；（2），；
（3），；（4）
7．－1，2 8．（1）；（2）
【拓展与延伸】
9． ， 10．1s或2s

4.2 一元二次方程的解法（4）

【实践与探索】
例1 用公式法解下列方程：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）∵，，，，
∴，∴，．
（2）∵，，，，
∴，∴．
（3）将原方程化成一般形式，得，即．
∵，，，＜0，
∴原方程没有实数根．
例2 周老师：“两个连续偶数的平方和为100，求这两个数．”小依说：“这两个数是6和8”；小琳说：“这两个数是－8和－6”．你认为她们的说法对的吗？若不对的，请写出对的的结果．
解：设两个连续偶数为、，则，
将原方程化成一般形式，得，
解得，，∴，或，，
即这两个数是6和8或－8和－6．
∴她们的说法都不完整．
【训练与提高】
1．C 2．D 3．3，－1
4．，；原方程无实数根
5．（1），；（2），；
（3），；（4），；（5），；
（6）原方程无实数根
6．1，
【拓展与延伸】
7．10 8．DC＝15－5，AD＝－5＋5 9．k＜－1

4.2 一元二次方程的解法（5）

【实践与探索】
例1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）∵△＝＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为，
∵△＝，∴原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为，
∵△＝＜0，∴原方程没有实数根．
例2 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，试求出这两个根．
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，且△＝0，
而△＝，
由，解得，．∵，∴．
把代入原方程，整理后，得，，
解这个方程，得．
例3 阅读材料：
若关于的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝ －，x1x2＝
根据上述材料解答：
（1）设方程2x2－4x－1＝0的两个根分别为x1、x2，你能写出x1＋x2，x1x2的值吗？
（2）假如方程的一个根是，你会运用一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根和的值吗？
解：（1）x1＋x2 ＝2，x1x2 ＝ －
（2）设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系，得
，，
解上述方程，得
，．
【训练与提高】
1．A 2．C 3．D 4．C 5．－8，没有实数根 6．±4 7．1，，2， 8．2，－24
9．（1）方程没有实数根；（2）方程有两个不相等的实数根；（3）方程有两个相等的实数根
10．（1）；（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．假如k＝－1，原方程为　．解得，，．（假如k＝－2，原方程为，解得，，．）
【拓展与延伸】
11．（1）；（2）由得．若，即，解得．∵＞，不合题意，舍去．若，即 ，，由（1）知．故当时，
12．（1）∵△＝≥0，∴方程有两个实数根；（2）△ABC的周长为5

4.2 一元二次方程的解法（6）

【实践与探索】
例1 用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解：（1）化简得，，，，∴或，
∴，；
（2），，∴或，
∴，；
（3），或；∴，；
（4），，，
∴或，∴，．
（5），，
，或，∴，；
（6），，∴，．
例2 用适当的方法解下列方程：
（1）7(2x－3)2＝28； （2）y2－2y－99＝0；
（3）3t2－1＝6t； （4）4x(2x－3)＝3(2x－3)；
（5）9y2－6y＋1＝0； （6）(x－1)2－7(x－1)－8＝0．
解：（1）用直接开平方法解得x1 ＝ ，x2 ＝ ；
（2）用配方法或因式分解法解得y1 ＝ －9，y2 ＝11；
（3）用公式法解得t1，t2；
（4）用因式分解法解得x1 ＝ ，x2 ＝ ；
（5）用因式分解法解得y1 ＝ y2 ＝；
（6）用因式分解法解得x1 ＝ 0，x2 ＝ 9.
【训练与提高】
1．C 2．， 3．， 4．， 5．3
6．（1），；（2），；（3），；（4）；（5），；（6），
7．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），
【拓展与延伸】
8．5 9．13cm， 10．0，1，－1

4.3 用一元二次方程解决问题（1）

【实践与探索】
例1 一个两位数，个位数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为（）.
根据题意，得．
整理，得．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
∴，．
答：这个两位数是84.
例2 如图4.3.1，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，假如要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
解：设上下边衬的宽均为，左右边衬的宽均为，
则中央矩形的长为，宽为．
图4.3.1
根据题意，得．
整理，得．
解这个方程，得≈2.8（不合题意，舍去），≈0.2．
∴，
答：上下边衬的宽均为，左右边衬的宽均为．
【训练与提高】
1．25或36 2．2，4，6或4，6，8 3．0.5cm 4．28m，14m
5．横路宽度约为1.8m，纵路宽度约为1.2m
【拓展与延伸】
6．36岁
7．（1）不符合.设小路宽度均为 m，根据题意得：
，
解这个方程得：
但不符合题意，应舍去，∴.
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m.
（2）答案不唯一.例如：

4.3 用一元二次方程解决问题（2）

【实践与探索】
例1 某市2023年国内生产总值（GDP）比2023年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2023年增长7%，求这两年GDP年平均增长率．（结果精确到1%）
解：设这两年GDP年平均增长率为．
根据题意，得，
解这个方程，得≈0.09，≈－2.09（不合题意，舍去）．
∴0.09．
答：这两年GDP年平均增长率约为9%．
例2 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为，则，解这个方程，得≈0.225，≈1.775（不合题意，舍去），∴甲种药品成本的年平均下降率为22.5%．
设乙种药品成本的年平均下降率为，则，解这个方程，得≈0.225，≈1.775（不合题意，舍去），∴乙种药品成本的年平均下降率为22.5%．
答：两种药品成本的年平均下降率相等．
【训练与提高】
1．40% 2．10% 3．41% 4．30% 5．第一次八折，第二次六折
【拓展与延伸】
6．略 7．9%

4.3 用一元二次方程解决问题（3）

【实践与探索】
例1 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和也许等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为，则另一段为．
由题意得：．
解得：， ．
当时，；
当时，
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.
（2）不能．
理由是： ．
整理得：．
∵ △＝＜0．
∴此方程无解．
即不能剪成两段使得面积和为12cm2
例2 两条公路相交成直角，有甲、乙两辆汽车同时由两条公路通过这个十字路口．已知甲车距十字路口40km，速度为0.8km/min，乙车距十字路口30km，速度为0.5km/min．几分钟后这两辆汽车相距16km？
解：设后这两辆汽车相距16km．
根据题意，得，．
整理，得，．
解这个方程