数学建模与仿真省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学 建模Mathematical Modeling主讲人：范瑾Email:Email:Office:Office:信息信息学学院（院（学学院院楼楼2 2号楼号楼）216216第1页考评方式平时成绩作业，考勤10%上机实践试验汇报30%考试 60%第2页（第二版）赵静 但琦,高等教育出版社，数学建模介绍数学建模介绍MATLABMATLAB入门入门线性线性（整数）（整数）规划规划整数线性规划整数线性规划无约束最优化无约束最优化非线性规划非线性规划动态规划动态规划微分方程微分方程差分方程差分方程l组合数学组合数学l最短路问题最短路问题l匹配与覆盖问题匹配与覆盖问题l行遍性问题行遍性问题l网络流问题网络流问题l数据统计分析与描述数据统计分析与描述l回归分析回归分析l计算机模拟计算机模拟l插值与拟合数学插值与拟合数学图论图论第3页1.1.数学建模概论数学建模概论第4页 数学模型数学模型（Mathematical ModelMathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性抽象而又简练刻划，它或能实际课题本质属性抽象而又简练刻划，它或能解释一些客观现象，或能预测未来发展规律，解释一些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发展提供某种意义下最优或能为控制某一现象发展提供某种意义下最优策略或很好策略。策略或很好策略。数学建模数学建模（Mathematical ModelingMathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。型过程。1.1 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 第5页 1.了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必要数据资料。要数据资料。2.在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对资料分析计资料分析计 算，算，找出起主要作用原因，经必要精炼、找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，提出若干符合客观实际假设。简化，提出若干符合客观实际假设。3.在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立对应数学结构变量之间关系，建立对应数学结构 即建立数学即建立数学模型。模型。4.模型求解。模型求解。5.模型分析与检验。模型分析与检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应该借助应该借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。1.21.2 数学建模普通步骤数学建模普通步骤实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第6页1.3 数学模型分类数学模型分类分类标准分类标准分类标准分类标准详细类别对某个实际问题了解深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等型模型等建模中所用数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等化模型等研究课题实际范围人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型 、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、基因模型等基因模型等第7页例例1 椅子能在不平地面上放稳吗？椅子能在不平地面上放稳吗？1.41.4 建模实例建模实例模型假设 1.四条腿一样长四条腿一样长，四脚连线呈正方形四脚连线呈正方形；2.地面高度是连续改变地面高度是连续改变,地面可视为数学上连续曲面地面可视为数学上连续曲面.3.地面是相对平坦地面是相对平坦,椅子在任何位置最少有三只脚同椅子在任何位置最少有三只脚同时着地时着地.4.放稳就是椅脚与地面零距离放稳就是椅脚与地面零距离xBADCO第8页模型建立椅子位置椅子位置xBADCODCBA用用(对角线与对角线与x轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位置放稳放稳f()g()0四个距离四个距离(四只脚四只脚)两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和f()B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g()例例1 1（续）（续）第9页f(),g()是是连续函连续函数数对任意对任意,f(),g()最最少一个为少一个为0，即，即f()*g()=0。设初始状态 g(0)=0数学问题：数学问题：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且g(0)=0，f(0)0.证实：存在存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.假设假设2：地面为连续曲面：地面为连续曲面假设假设3：椅子在任意位置：椅子在任意位置最少三只脚着地最少三只脚着地xBADCODCBA例例1 1（续）（续）第10页例例1 1（续）（续）连续函数性质h(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且h(a)h(b)0，n=/2时，时，f(/2)=0,g(/2)0(AC和和BD交换交换).n令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.n由由f,g连续性知连续性知h为连续函数为连续函数,据据连续函数基本性连续函数基本性质质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).n因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.xADCBO 例例1 1（续）（续）巧妙建模：巧妙建模：用一元变量用一元变量 表表示椅子位置，用示椅子位置，用 两个函数表示两个函数表示椅子四脚与地面距离椅子四脚与地面距离.请思索一下，请思索一下，请思索一下，请思索一下，四脚呈长方形情形四脚呈长方形情形四脚呈长方形情形四脚呈长方形情形？第12页3 3名名商商人人各各带带1 1名名随随从从乘乘船船渡渡河河，一一只只小小船船只只能能容容纳纳2 2人人，由由他他们们自自己己划划行行，随随从从们们密密约约，在在河河任任一一岸岸，一一旦旦随随从从人人数数比比商商人人多多，就就杀杀商商人人。此此密密约约被被商商人人知知道道，怎怎样样乘乘船船渡渡河河大大权权掌掌握握在在商商人人们们手手中中，商商人人们们怎怎样样安安排排每每次次乘乘船船方方案案，才才能能安安全渡河呢？全渡河呢？例例2 2 商人过河问题商人过河问题 （状态转移）（状态转移）第13页模型建立：设第k次渡河前此岸商人数为xk,随从数为yk,k=1,2,xk,yk=0,1,2,3，称二维向量 为状态。安全渡河条件下状态集合称为允许状态集合，记为S，则允许状态集合为：第14页从图中能够发觉经过下面11步状态改变，能够使得全部些人员安全过河：（3,3）（3,1）（3,2）（3,0）（3,1）（1,1）（2,2）（0,2）（0,3）（0,1）（0,2）（0,0）。第15页建模实例-人口增加模型给出美国人口从1790年到1990年间人口如表1（每为一个间隔），请预计出美国人口。年年份份1790180018101820183018401850人口人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年年份份1860187018801890190019101920人口人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年年份份1930194019501960197019801990人口人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4规则型建模规则型建模 第16页模型分析经过直观观察，猜测人口随时间改变规律（即某种类型函数），再用函数拟合方法确定其中未知参数。第17页指数增加模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)x(t)时刻时刻t人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增加率增加率r是常数是常数第18页参数预计依据依据最小二乘法最小二乘法,x0,x0和和r r是以下函数最小值是以下函数最小值:其中其中xi是是ti时刻美国人口数时刻美国人口数。然后再代回函数计算新时间然后再代回函数计算新时间t所对应人口数所对应人口数：第19页结果分析人口将以指数规人口将以指数规律无限增加律无限增加 1810-18701810-1870间预测间预测人口数与实际人人口数与实际人口数吻合很好，口数吻合很好，但但18801880年以后误年以后误差越来越大差越来越大 没考虑饱和性没考虑饱和性第20页阻滞增加模型（Logistic模型）伴随人口增加，人口增加率会降低，可假设为人口数减伴随人口增加，人口增加率会降低，可假设为人口数减函数函数人口数量最终会饱和，趋于某一个常数人口数量最终会饱和，趋于某一个常数当当 时，增加率应为时，增加率应为0 0，即，即第21页模型求解解微分方程得到：解微分方程得到：第22页r=0.5,xm=500百万（50亿）取xm/2时候，增加率最大增加速率曲线增加速率曲线第23页参数预计与结果分析一样用最小二一样用最小二乘法可预计参乘法可预计参数得到：数得到：r=0.2083,r=0.2083,x xm m=457.6=457.6 x()=297.9x()=297.9结果如右图，结果如右图，对数据拟合得对数据拟合得很好。很好。第24页评述与总结给定数据给定数据预测趋势预测趋势问题问题思绪思绪描点作图，找趋势，找到基函数描点作图，找趋势，找到基函数用最小二乘法预计参数用最小二乘法预计参数与实际相比较与实际相比较评价改进评价改进假如找不到基函数，可用假如找不到基函数，可用多项式函数拟多项式函数拟合合，但有时效果不好，但有时效果不好第25页数学建模基本方法1、理论分析方法理论分析方法（机理分析法）：应用自然科学中已经被证实正确理论、原理和定律，对被研究相关原因进行分析、演绎和归纳，从而建立数学模型。2、模拟方法模拟方法：对于一些模型，了解了其结构和性质，不过无法对模型求解或者无法进行定量描述，此时能够使用模拟方法（实战中用最多模拟方法有图论模拟、物理模拟和随机模拟方法），创造出一个结构和性质完全相同模型，将新模型看成是原来模型模拟，对后一个模型进行试验。第26页3、类比分析法类比分析法：依据两个模型一些属性或者关系相同性，去猜测二者其它属性或者关系也可能相同一个方法。4、数据分析法数据分析法：对于结构性质不大清楚模型，无法从理论分析中得到模型内在规律，不过由若干能表征问题规律，描述系统状态数据能够利用，这是可经过描述系统功效数据分析了解系统结构模型，在这种情形下，回归分析法是最有效工具。数学建模基本方法第27页数学建模普通过程了解实际背景了解实际背景明确建模目搜集相关信息搜集相关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个比较形成一个比较清楚清楚问题问题1、需要处理什么问题、需要处理什么问题2、假设与简化、假设与简化：针对问题特点和建模目作出合理、简化假设作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中第28页对假设说明对实际问题建立数学模型时，将包括众多原因，所以需要分清主要原因主要原因和次要次要原因原因，恰当地抛弃次要原因次要原因，而且将主要原因用公式、变量、图表形式描述出来。同时考虑假设对模型可解性可解性影响。模型成败前提艺术性、技巧性有规律可循不过有时需要很高技巧。第29页数学建模普通过程用数学语言、符号描述问题用数学语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法能用简单方法处理问题就不要用复杂方法处理能用简单方法处理问题就不要用复杂方法处理3、建立模型、建立模型：4、求解模型、求解模型：各种数学方法、软件、计算机技术各种数学方法、软件、计算机技术第30页数学建模普通过程5、模型检验与评价、模型检验与评价：如结果误差分析、统计分析、如结果误差分析、统计分析、模型对数据模型对数据稳定性稳定性分析分析与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型合理性、检验模型合理性、适用性适用性第31页数学建模普通过程6、模型改进、模型改进：现实世界现实世界形成问题形成问题模型应用模型应用简化问题简化问题归结模型归结模型模型评价模型评价模型检验模型检验经过评价结果，深入改进模型经过评价结果，深入改进模型模型求解模型求解第32页符合实际符合实际不符合实际不符合实际交付使用，从而可产交付使用，从而可产生经济、社会效益生经济、社会效益实际问题实际问题抽象、简化、假设抽象、简化、假设 确定变量、参数确定变量、参数建立数学模型并数学、数值建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数地求解、确定参数用实际问题实测数据等用实际问题实测数据等来检验该数学模型来检验该数学模型建模过程示意图建模过程示意图第33页数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则艺术无法归纳成普遍适用准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进他人作过模型学习、分析、评价、改进他人作过模型 亲自动手，参加课题实践。亲自动手，参加课题实践。怎样学习数学建模怎样学习数学建模第34页需要掌握数学知识微分方程微分方程规划（优化）：静态规划（线性、整数、线性、整数、非线性非线性），动态规划动态规划概率统计（回归回归）、随机模拟图论（最短路问题，匹配，网络流）组合数学层次分析（简单、自学）变分法第35页学习数学建模意义培养学以致用学以致用能力灵活应用知识动手实践利用计算机来学习和应用数学二者结合是发展趋势越来越多研究用计算机模拟计算机模拟取代传统试验试验。第36页数学建模竞赛东华大学生数模竞赛全国大学生数模竞赛美国数学建模竞赛第37页全国大学生数学建模竞赛时间：每年时间：每年9 9月中下旬月中下旬。内容：题目由工程技术、管理科学中实际问题内容：题目由工程技术、管理科学中实际问题简化而成，没有标准答案。简化而成，没有标准答案。对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组形式：形式：3 3人一组，三天三夜，自由完成人一组，三天三夜，自由完成目标：培养学生目标：培养学生独立进行研究能力，利用数学独立进行研究能力，利用数学和计算机能力，团结合作精神和进行协调组织和计算机能力，团结合作精神和进行协调组织能力等。能力等。第38页全国高校规模最大课外科技活动奖项设置：首先各省分别评奖，占三分之一左右奖项设置：首先各省分别评奖，占三分之一左右年份年份19921992199319931994199419951995199619961997199719981998队数队数31431442042086786712341234168316831874187421032103年份年份19991999队数队数26572657321032104458445854065406688168818482848299859985第39页参赛人数走势图第40页全国数模竞赛所包括方法93A 93A 非线性交调频率设计（非线性交调频率设计（拟合、规划拟合、规划）93B 93B 足球队排名次足球队排名次 （矩阵论、图论、层次分、整矩阵论、图论、层次分、整数规划数规划）94A 94A 逢山开路逢山开路 （图论、插值、动态规划图论、插值、动态规划）94B 94B 锁具装箱问题锁具装箱问题 （图论、组合数学图论、组合数学）95A 95A 飞行管理问题飞行管理问题 （非线性规划、线性规划非线性规划、线性规划）95B 95B 天车与冶炼炉作业调度天车与冶炼炉作业调度 （非线性规划、动态非线性规划、动态规划、层次分析法、规划、层次分析法、PETRIPETRI方法、图论方法、排队方法、图论方法、排队论方法论方法）96A 96A 最优打鱼策略最优打鱼策略 （微分方程、优化微分方程、优化）96B 96B 节水洗衣机节水洗衣机 （非线性规划非线性规划）97A 97A 零件参数设计零件参数设计 （非线性规划非线性规划）第41页97B 97B 截断切割最优排列截断切割最优排列 （动态规划、图论模型、随机模动态规划、图论模型、随机模拟拟）98A 98A 一类投资组合问题一类投资组合问题 （多目标优化、含糊线性规划、多目标优化、含糊线性规划、非线性规划非线性规划）98B 98B 灾情巡视最正确路线灾情巡视最正确路线 （图论、组合优化、线性规划图论、组合优化、线性规划）99A 99A 自动化车床管理自动化车床管理 （随机优化、计算机模拟随机优化、计算机模拟）99B 99B 钻井布局钻井布局 （0-10-1规划、非线性规划、图论方法规划、非线性规划、图论方法）00A DNA00A DNA序列分类序列分类 （欧氏距离、马氏距离分类法、欧氏距离、马氏距离分类法、FischerFischer判别模型、神经网络方法判别模型、神经网络方法）00B 00B 钢管订购和运输钢管订购和运输 （离散优化、运输问题离散优化、运输问题）01A 01A 血管三维重建血管三维重建 （曲面重建、曲线拟合曲面重建、曲线拟合）01B 01B 公交车调度问题公交车调度问题 （多目标规划多目标规划）02A 02A 车灯线光源优化车灯线光源优化 （非线性规划非线性规划）02B 02B 彩票问题彩票问题 （单目标决议、多目标决议单目标决议、多目标决议）第42页05A05A长江水质评价和预测长江水质评价和预测 (数据处理、拟合、预数据处理、拟合、预测、规划）测、规划）05B DVD05B DVD在线租赁在线租赁 （图论、规划）（图论、规划）06A 06A 出版社资源配置出版社资源配置 （预测、含糊综合评判、（预测、含糊综合评判、优化）优化）06B06B艾滋病疗法评价及疗效预测艾滋病疗法评价及疗效预测 （数据拟合、预数据拟合、预测、综合处理）测、综合处理）第43页美国建模竞赛Mathematical Competition in ModelingMathematical Competition in Modeling 从从19831983年年起起，在在美美国国就就有有一一些些有有识识之之士士开开始始探探讨讨组组织织一一项项应应用用数数学学方方面面竞竞赛赛可可能能性性。经经过过论论证证、争争论论、争争取取资资助助过过程程，终终于于在在19851985年年开开始始有有了了美美国国第第一一届届大大学学生生数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛，简简 称称 MCMMCM（19871987年年 以以 前前 全全 称称 是是Mathematical Mathematical Competition Competition in in ModelingModeling，19871987年年改改为为Mathematical Mathematical Contest Contest in in ModelingModeling，其其缩缩写写均均为为MCMMCM）。竞竞赛赛由由美美国国工工业业与与应应用用数数学学学学会会（SIAMSIAM）和和美美国国运运筹筹学学会会联联合合主主办办。从从19851985年年起起每每年年举举行行一一届届，在在每每年年二二月月下下旬或三月初某个星期五到星期日举行旬或三月初某个星期五到星期日举行 第44页比赛结果 教授们在评卷时并不对论文给出分数，也不采取“经过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious（一等奖、Honorable Mention（二等奖）、Successful Participation（成功参赛奖）。评卷标准并不是看答案对不对，而主要看论文思想方法好不好，以及叙述是否清楚。Outstanding论文作为优异论文在专业杂志上发表。而全部参赛队员和教练都能得到一张奖状。第45页成绩评定 翻开已发表MCM优异论文，会发觉：同一个考题几篇优异论文甚至连答数都不一样，却一样都优异；优异论文甚至被教授评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优异。在这里，正确和错误是相正确，优异和不优异也是相正确。但既然数学建模赛是考查处理实际问题能力，那就一切都以处理实际问题过程为准。处理实际问题需要查资料，需要使用计算机，需要课题组人相互交流和讨论，所以数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命资源”。一样，实际问题处理，经常没有绝正确正确与错误，也没有绝正确优异 第46页竞赛准备一本好教材+获奖范文+实战演练数学高手+计算机高手+写作高手基本数学知识：优化方法、动力系统、概率统计、数据拟合和预测基本数学知识：优化方法、动力系统、概率统计、数据拟合和预测计算机能力：掌握基本数学软件：计算机能力：掌握基本数学软件：MatlabMatlab、LingoLingo；其它编程技能；其它编程技能论文写作能力论文写作能力关键。将作出东西表述出来，有条理、清楚、简练关键。将作出东西表述出来，有条理、清楚、简练易懂。易懂。基本功+创造力+团体协作第47页竞赛优异论文竞赛优异论文(起)http:/ 第48页数学软件matlab,matlab程序设计与应用,有电子版教程lindo,lingo,有电子版教程数学建模要求知道数学建模要求知道实际问题实际问题与与一些数学一些数学知识之间对应关系知识之间对应关系（如哪些问题可用线（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可处理哪些问性规划求解，或线性规划可处理哪些问题），以及用它们建立模型方法，模型题），以及用它们建立模型方法，模型求解可交给数学软件。求解可交给数学软件。第49页多读优异论文，写法写法和建模思绪建模思绪是需要关注主要内容掌握建模基本方法，平时多学多动手实践。基本数学软件使用，如Matlab和Lingo第50页