金融数学第四章省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

金融数学（引论）金融数学（引论）主讲人：那日萨9月第1页利息理论应用第二章-2第四章第四章 本金利息分离技术本金利息分离技术问题提出：问题提出：在年金期限内，市场会有很多改变，投资者在年金期限内，市场会有很多改变，投资者(融融资者资者)通常需要随时评定其已经进行投融资价值通常需要随时评定其已经进行投融资价值.怎样分析现金流中内在价值（本金）和时间价值怎样分析现金流中内在价值（本金）和时间价值（利息（利息)?价值评定中惯用本金利息分离方法有价值评定中惯用本金利息分离方法有摊还表方法摊还表方法(amortization schedules)和和偿债基金方法偿债基金方法(sinkingFund)第2页利息理论应用第二章-3摊还表方法摊还表方法 对未清偿债务本金和利息定时支付对未清偿债务本金和利息定时支付 (如贷款分期尝付如贷款分期尝付)，且利息偿还优先。，且利息偿还优先。偿债基金方法偿债基金方法 借款人为偿还债务成立基金并在指借款人为偿还债务成立基金并在指定时限内分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以定时限内分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以偿还未来到期债款偿还未来到期债款(普通债券发行多附有要求借款普通债券发行多附有要求借款人设置偿债基金条款人设置偿债基金条款)本质上就是要处理怎样将投资期间现金流分解本质上就是要处理怎样将投资期间现金流分解为为“本金本金”和和”利息利息”两部分，进而确定投资期两部分，进而确定投资期间每个时刻未结贷款余额。间每个时刻未结贷款余额。第3页利息理论应用第二章-44.1 摊还表摊还表计算计算未结贷款余额未结贷款余额(Outstanding loan balance)v注：注：“未结本金未结本金”、“未付余额未付余额”、“剩下贷款剩下贷款债务债务”“账面价值账面价值”。实际背景实际背景:在贷款业务中在贷款业务中,每次分期还款后每次分期还款后,借款人未借款人未偿还债务在当初价值。比如：某家庭现有一个三偿还债务在当初价值。比如：某家庭现有一个三十年住房抵押贷款分期还贷款，在已经付款十年住房抵押贷款分期还贷款，在已经付款12 年年后因为意外一笔收入，希望一次将余款付清，应后因为意外一笔收入，希望一次将余款付清，应付多少？付多少？第4页利息理论应用第二章-5计算未结贷款余额惯用方法有计算未结贷款余额惯用方法有预期法预期法和和追溯法追溯法v 预期法预期法 用剩下全部分期付款现值和表示每个用剩下全部分期付款现值和表示每个时刻贷款余额。时刻贷款余额。v追溯法追溯法 用原始贷款额累积值扣除全部已付款用原始贷款额累积值扣除全部已付款项累积值表示每个时刻贷款余额。项累积值表示每个时刻贷款余额。注注：这里利率即为贷款利率这里利率即为贷款利率思索思索：两种方法计算结果会是一致吗？两种方法计算结果会是一致吗？第5页利息理论应用第二章-6v分析：在贷款之初有分析：在贷款之初有 贷款额贷款额 =今后全部还款现值之和今后全部还款现值之和将上式两边同时累积到还款期间某个指定时刻则有将上式两边同时累积到还款期间某个指定时刻则有 原始贷款额终值原始贷款额终值 =全部分期还款在这个时刻价全部分期还款在这个时刻价值之和值之和上式右边能够分成两部分：过去还款和未来还款，上式右边能够分成两部分：过去还款和未来还款，前者价值计算为终值，后者价值计算为现值，从前者价值计算为终值，后者价值计算为现值，从而上式又能够表示为而上式又能够表示为：第6页利息理论应用第二章-7 原始贷款额终值原始贷款额终值 =过去还款终值过去还款终值 +未来还款现值未来还款现值最终将上式右边第一项移到左边最终将上式右边第一项移到左边 则新等式左边则新等式左边表示追溯法，而右边表示预期法，二者相等。表示追溯法，而右边表示预期法，二者相等。讨论讨论:两种计算方法在实际应用中并没有显著优劣之两种计算方法在实际应用中并没有显著优劣之分分,普通情况下普通情况下,假如全部还款额和还款时间已知则采假如全部还款额和还款时间已知则采取预期法取预期法;假如还款次数未定或最终一次假如还款次数未定或最终一次还款金额未定还款金额未定,则采取追溯法则采取追溯法.第7页利息理论应用第二章-8记号记号 表示时刻表示时刻t 未结贷款余额未结贷款余额(第第t 次还款后瞬次还款后瞬间间)v为为 了了 区区 别别 所所 采采 用用 计计 算算 方方 法法 分别用分别用(prospective)和和 (retrospective)表示预期算法表示预期算法和追溯算法计算结果和追溯算法计算结果v原始贷款金额原始贷款金额 普通用普通用L 表示表示 经典还贷情形下未结贷款余额计算经典还贷情形下未结贷款余额计算:v 情形情形 1.还贷金额固定还贷金额固定:贷款利率为贷款利率为i,n 次偿还次偿还,每每次次1 元；元；第8页利息理论应用第二章-9预期法预期法:(付款现金流确定付款现金流确定)追溯法追溯法:因为原始贷款因为原始贷款 ,从而有从而有 预期法和追溯法计算结果相同预期法和追溯法计算结果相同,即有即有 未结贷款余额满足下递推关系未结贷款余额满足下递推关系 第9页利息理论应用第二章-10情形情形2.已知贷款金额已知贷款金额:设原始贷款金额为设原始贷款金额为L,贷款贷款贷利率为贷利率为i,n 次还清次还清 首先计算每次还款额首先计算每次还款额 R:或或预期法预期法:(付款现金流确定付款现金流确定)第10页利息理论应用第二章-11追溯法：追溯法：例例：某贷款还贷方式为：前五年每六个月：某贷款还贷方式为：前五年每六个月元；元；后五年每六个月还后五年每六个月还1000 元。假如六个月换算挂牌利率元。假如六个月换算挂牌利率为为10%。分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后贷分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后贷款余额。款余额。解解：1)预期法：预期法：第11页利息理论应用第二章-12v2.）追溯法：v原始贷款金额为v从而有v例：某三十年贷款每年还1000 元，在第十五年正常还款之后，借款人再一次多还2000 元。假如将其全部用于扣除贷款余额。剩下余额分等额还清，年利率9%，计算后年还款额。第12页利息理论应用第二章-13解解：用预期法计算第十五次还款后贷款余额为用预期法计算第十五次还款后贷款余额为因为又多还了因为又多还了 元元,从而此时实际贷款余额应为从而此时实际贷款余额应为6060.70 元。元。后十二年年还款额后十二年年还款额 X 应满足以下方程应满足以下方程即即:注：较原先大致降低了注：较原先大致降低了 15.4%第13页利息理论应用第二章-14摊还表摊还表关键点关键点：在有些情况中在有些情况中，有必要将每次还款额分解为，有必要将每次还款额分解为“还本金还本金”和和“还利息还利息”两部分，比如在本金和利息两部分，比如在本金和利息税收是不一样时候、包括提前还贷时候等等。税收是不一样时候、包括提前还贷时候等等。摊还方法基本原理摊还方法基本原理：在贷款分期还款中在贷款分期还款中，利息偿还优先利息偿还优先即首先偿还即首先偿还应计利息，余下部分作为本金偿还。应计利息，余下部分作为本金偿还。第14页利息理论应用第二章-15摊还详细表示摊还详细表示：设第设第 t 次还款额为次还款额为R，等额还利息部分为等额还利息部分为还本金部分为还本金部分为 ,记记 为第为第t 次还款后瞬间次还款后瞬间未结贷款余额未结贷款余额,则有则有其中其中 在不停降低未结贷款余额（本金），在不停降低未结贷款余额（本金），与利息无关。与利息无关。第15页利息理论应用第二章-16摊还表摊还表将还贷期间每次还款分解为还本金和付利将还贷期间每次还款分解为还本金和付利息，同时列出每次还款后未结贷款余额息，同时列出每次还款后未结贷款余额例例:下表为贷款利率为下表为贷款利率为i,每次还款每次还款1 元元,共计共计n 次次摊还表摊还表.贷款额为贷款额为第16页利息理论应用第二章-17第17页利息理论应用第二章-18分析分析:v1)在第一次还款在第一次还款1 元中元中,利息部分为利息部分为 .本金部分为本金部分为 未结贷款余额为原贷款扣除已还本未结贷款余额为原贷款扣除已还本金金,即即对任意时刻对任意时刻 t 有类似结论，即：时刻有类似结论，即：时刻t 1 元还元还款能够分解为利息量款能够分解为利息量 和本金量和本金量 ，二者，二者计算公式分别为：计算公式分别为：第18页利息理论应用第二章-19从而未结贷款余额为从而未结贷款余额为v2）全部本金之和等于原始贷款，即全部本金之和等于原始贷款，即v3）全部利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差，）全部利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差，即即第19页利息理论应用第二章-20第四章-204）本金序列依时间次序组成递增等比级数本金序列依时间次序组成递增等比级数 比比值为值为(1+i)5）利息序列依时间次序组成递减数列利息序列依时间次序组成递减数列结论结论：在等额还款方式下在等额还款方式下，前期还款主要用于前期还款主要用于偿还利息，偿还利息，贷款本金贷款本金（余额）（余额）降低幅度不大降低幅度不大。第20页利息理论应用第二章-21利息理论应用第四章-21例：30 年期贷款，贷款利率 6%，每年还款 30000 元，摊还表本息示意图以下：第21页利息理论应用第二章-22利息理论应用第四章-22普通情况下贷款摊还表普通情况下贷款摊还表1）每次还款额为每次还款额为R，则有：则有：未结贷款余额为未结贷款余额为2）原始贷款额为原始贷款额为L，则每次还款额则每次还款额R 为为第22页利息理论应用第二章-23利息理论应用第四章-23进而有摊还表对应计算进而有摊还表对应计算未结贷款余额为未结贷款余额为第23页利息理论应用第二章-24利息理论应用第四章-24Note：摊还表计算中递推公式摊还表计算中递推公式B0=L，It=iBt-1，Pt=R-It,Bt=Bt-1-Pt例：例：1000 元贷款、利率元贷款、利率8%四年还贷摊还表四年还贷摊还表年份年份还款额还款额利息利息本金本金未结贷款余未结贷款余额额 01000 1301.9280.00221.92 778.08 2301.9262.25239.67538.413301.9243.07258.85279.564301.9222.36279.560 第24页利息理论应用第二章-25利息理论应用第四章-25例例：现有：现有1000 元贷款经过每季度还款元贷款经过每季度还款100 元偿还，元偿还，已知季换算挂牌利率已知季换算挂牌利率16%。计算第四次还款中本金。计算第四次还款中本金量和利息量。量和利息量。解：第三次还款后未结贷款余额为解：第三次还款后未结贷款余额为从而有从而有F注：注：回溯法，无须计算最终一次还款金额。回溯法，无须计算最终一次还款金额。第25页利息理论应用第二章-26利息理论应用第四章-26例：甲从乙处借款例：甲从乙处借款10,000 元，双方约定以季挂牌元，双方约定以季挂牌利率利率8%分六年按季度还清。不过，在第二年底分六年按季度还清。不过，在第二年底（第八次还款之后）乙将未到期贷款权益转卖给丙，（第八次还款之后）乙将未到期贷款权益转卖给丙，但乙丙双方约定季挂牌利率为但乙丙双方约定季挂牌利率为10%。分别计算丙。分别计算丙和乙利息总收入。和乙利息总收入。解：六年中甲每次还款额为解：六年中甲每次还款额为第26页利息理论应用第二章-27利息理论应用第四章-271）丙利息总收入丙利息总收入计算丙买价为计算丙买价为从而丙在后四年利息收入总和为从而丙在后四年利息收入总和为2）乙利息总收入乙利息总收入算法一算法一：计算乙在第二年底未结贷款余额为：计算乙在第二年底未结贷款余额为乙在前两年收回本金为乙在前两年收回本金为第27页利息理论应用第二章-28利息理论应用第四章-2810,000-7178.67=2821.33乙在前两年总收入为乙在前两年总收入为 8(528.71)=4229.68从而乙在前两年利息总收入为从而乙在前两年利息总收入为 4229.68-2821.33=1408.35算法二算法二：乙在这笔贷款中总收入为：乙在这笔贷款中总收入为8(528.71)+6902.31=11131.99总支出为总支出为10,000 元，从而利息收入应为元，从而利息收入应为1131.9 元。元。思索：你认为哪一个算法更合理？思索：你认为哪一个算法更合理？第28页利息理论应用第二章-29利息理论应用第四章-29例例：现有年收益率为：现有年收益率为i n 年投资，每年底收回年投资，每年底收回1 元。元。不过，在第二年内实际收益率为不过，在第二年内实际收益率为j，且有且有j i。在以下两种情况下，计算第二年以后年收入：在以下两种情况下，计算第二年以后年收入：1）第三年开始年收益率依然为）第三年开始年收益率依然为i2）第三年开始年收益率保持）第三年开始年收益率保持j解：解：，而第一年底未结贷款余额为，而第一年底未结贷款余额为设所求年收入为设所求年收入为X（从第二年还款开始），则（从第二年还款开始），则1)首先有首先有第29页利息理论应用第二章-30利息理论应用第四章-30其次，B 2等于从第三年开始全部还款现值之和，即从而有从而有注：注：假如原来年收益为假如原来年收益为R，则新年收益应为则新年收益应为第30页利息理论应用第二章-31利息理论应用第四章-312）类似，由类似，由B2两种算法可得两种算法可得即有：即有：能够证实，当能够证实，当 时，有时，有第31页利息理论应用第二章-32利息理论应用第四章-324.2 偿债基金偿债基金（sinking fund）偿债基金偿债基金为了在贷款期末将原始贷款额一次还为了在贷款期末将原始贷款额一次还清而建立还贷基金清而建立还贷基金注：基金在整个还贷期间采取注：基金在整个还贷期间采取“零存整取零存整取”方式方式注：注：在还贷期间每个时刻在还贷期间每个时刻“未结贷款余额未结贷款余额”应该应该是原始贷款额扣除偿债基金后余额是原始贷款额扣除偿债基金后余额i 原贷款利率原贷款利率j 偿债基金累积利率偿债基金累积利率第32页利息理论应用第二章-33利息理论应用第四章-33第33页利息理论应用第二章-341.设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债基金金额为基金金额为S(等额等额)，共计，共计n 次，记这种情况下次，记这种情况下现金流现值为现金流现值为 (原始贷款额度原始贷款额度)，则有，则有利息理论应用第四章-34原贷款利率与偿债基金累积利率不一样原贷款利率与偿债基金累积利率不一样同时有累积偿债基金关系式同时有累积偿债基金关系式F注：注：每期还利息并在偿债基金中累积到期还本每期还利息并在偿债基金中累积到期还本第34页利息理论应用第二章-35例例：当原始贷款额为：当原始贷款额为1 时，情形怎样？时，情形怎样？解解：每次还利息：每次还利息i，并用并用累积偿债基金，到期还本。累积偿债基金，到期还本。利息理论应用第四章-35联立上述方程可得：联立上述方程可得：F注：注：下面关系式成立下面关系式成立第35页利息理论应用第二章-36利息理论应用第四章-36分析分析：因为：因为从而有从而有以及以及第36页利息理论应用第二章-37利息理论应用第四章-37讨论：讨论：1）当）当 时，有时，有2）当）当 时，有时，有3）当）当 时，有时，有分析：注意到分析：注意到从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，有偿债基金标准期末年金现值将会降低。有偿债基金标准期末年金现值将会降低。第37页利息理论应用第二章-38利息理论应用第二章-38偿债基金下利息本金分解偿债基金下利息本金分解注注:原始贷款额为原始贷款额为思索思索:若原始贷款额为若原始贷款额为1 呢呢?第38页利息理论应用第二章-39利息理论应用第二章-39普通情形普通情形:原始贷款额为原始贷款额为L,分分n 次还清次还清每次还款额为每次还款额为还利息为还利息为 偿债基金累积为偿债基金累积为第39页利息理论应用第二章-40利息理论应用第二章-402.偿债基金方式收益率分析偿债基金方式收益率分析问题提出问题提出:在偿债基金方式下在偿债基金方式下,出现了两个利率出现了两个利率,i 和和j,这时实这时实际收益率该怎样考虑呢际收益率该怎样考虑呢?r 借款方实际还贷利率借款方实际还贷利率v结论结论:有以下关系式成立有以下关系式成立 或或第40页利息理论应用第二章-41利息理论应用第二章-41F注：若偿债基金归贷款方，则上述收益率亦为贷注：若偿债基金归贷款方，则上述收益率亦为贷款方实际收益率，不然不然。款方实际收益率，不然不然。结论：结论：1）若）若 j i2）若）若 j i 时时，则有，则有 r i证实：证实：1）当）当 j i2）当）当 j i 时时，有，有 可得可得 r i第41页利息理论应用第二章-42利息理论应用第二章-42注：可用注：可用 Excel 作实际贷款利率作实际贷款利率r 数值计算数值计算第42页利息理论应用第二章-43利息理论应用第二章-434.偿债基金表偿债基金表净利息净利息第43页利息理论应用第二章-44利息理论应用第二章-44第44页利息理论应用第二章-45利息理论应用第二章-45时刻时刻t 未结贷款余额为未结贷款余额为从而按照摊还思绪从而按照摊还思绪,时刻时刻t 所还本金应为所还本金应为轻易验证轻易验证第45页利息理论应用第二章-46利息理论应用第二章-46例例:乙方向甲方提供乙方向甲方提供1000 元贷款元贷款,分四年还清。还分四年还清。还 贷方式：贷款年利率贷方式：贷款年利率10%，甲方每年除还利息外，甲方每年除还利息外，还要以年利率还要以年利率8%累积偿债基金。同时累积偿债基金。同时,另有丙方另有丙方也能够提供相同数额贷款，只是还贷计算方式为也能够提供相同数额贷款，只是还贷计算方式为摊还方式。试问丙贷款利率为何值时，以上两种摊还方式。试问丙贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲方来说是没有差异？贷款对甲方来说是没有差异？解解：两种方式没有区分等价于两种方式下有相同年：两种方式没有区分等价于两种方式下有相同年还款额，若丙贷款利率为还款额，若丙贷款利率为i，则应有，则应有第46页利息理论应用第二章-47利息理论应用第二章-47即即求数值解可得求数值解可得 i=10.94%v注：贷款人只关心贷款总额、每次还款额注：贷款人只关心贷款总额、每次还款额v注：注：实际贷款利率实际贷款利率 10.94%比比8%、10%都要高都要高第47页利息理论应用第二章-48利息理论应用第二章-48例：例：某人准备购置一个某人准备购置一个n 年期年金（现值年期年金（现值1000，年年利率利率8%），这个年金买价使其足以以年利率），这个年金买价使其足以以年利率7%累积偿债基金，且最终收益率为累积偿债基金，且最终收益率为9%。计算该年。计算该年金买价。金买价。解解：年金每年给付金额为：年金每年给付金额为用用P表示买价，表示买价，S表示偿债基金存款额，则有表示偿债基金存款额，则有第48页利息理论应用第二章-49利息理论应用第二章-49由偿债基金定义有由偿债基金定义有从而关于从而关于 P方程为方程为解出解出v注注:因为实际利率大于因为实际利率大于 9%,从而买价从而买价PItPt Bt ，逐步递推逐步递推第67页利息理论应用第二章-68F注注:与等额还款不一样，上述递推公式计算结果可能与等额还款不一样，上述递推公式计算结果可能会出现负数，即还款额会出现负数，即还款额Rt不足以摊还该时间段不足以摊还该时间段利息，从而需要从贷款余额中再提取一部分资金利息，从而需要从贷款余额中再提取一部分资金(-Pt)用于还利息。用于还利息。对应地，这个时刻未结贷款余额对应地，这个时刻未结贷款余额(Bt)较前一个较前一个时刻未结贷款余额时刻未结贷款余额(Bt-1)将有所增加，增加量将有所增加，增加量为为-Pt。第68页利息理论应用第二章-692.偿债基金表偿债基金表 设偿债基金利率为设偿债基金利率为 j，每次存款额为，每次存款额为R-iL，则有则有即即其中其中第69页利息理论应用第二章-70讨论：讨论：Rt-iL可能为负值，它表示还款不足以向偿可能为负值，它表示还款不足以向偿债基金存款，反而要从未结贷款余额中提取一部分债基金存款，反而要从未结贷款余额中提取一部分资金资金(iL-Rt)用于支付此次利息。所以，在这种情况下，用于支付此次利息。所以，在这种情况下，未结贷款余额金额在增加，或者说借款方负债在增未结贷款余额金额在增加，或者说借款方负债在增加，而偿债基金余额没有增加。加，而偿债基金余额没有增加。思索：上述公式是否适合思索：上述公式是否适合 Rt-iL 出现负值情形出现负值情形?例例：某人以年利率：某人以年利率5%借款，分十年还清：第一年还借款，分十年还清：第一年还200 元，随即每次降低元，随即每次降低10 元。计算：元。计算：1）借款总额；）借款总额；2）第）第5次还款中本金与利息金额；次还款中本金与利息金额；第70页利息理论应用第二章-713)假如贷款利率为假如贷款利率为6%，借款人能够以年利率，借款人能够以年利率5%累累积偿债基金，计算当初借款总额。积偿债基金，计算当初借款总额。解：解：第71页利息理论应用第二章-72讨论：显然讨论：显然3)结果与结果与1)相比对借款人不利，因为，借相比对借款人不利，因为，借款利率提升了，而且偿债基金不能抵消这部分提升利款利率提升了，而且偿债基金不能抵消这部分提升利率。率。F思索：思索：这里是否会出现利息不足支付问题这里是否会出现利息不足支付问题？第72页利息理论应用第二章-73例例：甲方向乙方借款：甲方向乙方借款10000 元，分十次还清，每次元，分十次还清，每次还款金额以还款金额以20%百分比递增。年利率百分比递增。年利率10%。计算：。计算：摊还表中前三年还款本金部分之和。摊还表中前三年还款本金部分之和。解解：记：记R1为首次还款金额，则有为首次还款金额，则有即即第73页利息理论应用第二章-74前三年摊还计算前三年摊还计算第一年底第一年底从而有从而有第二年底第二年底:第74页利息理论应用第二章-75从而有从而有第三年底第三年底从而有从而有第75页利息理论应用第二章-76所以所以结论结论:未结贷款未结贷款余额增加了余额增加了448.07 元。元。F连续摊还计算（略）连续摊还计算（略）1.摊还计算摊还计算 当连续还款率为当连续还款率为1，连续利率为常值，连续利率为常值 时，则时，则对任意时刻对任意时刻t，对应未结贷款余额为：，对应未结贷款余额为：第76页利息理论应用第二章-77 （预期法）预期法）或或 （追溯法）（追溯法）记记 和和 为为 t 时刻本金和利息偿还率，则有时刻本金和利息偿还率，则有第77页利息理论应用第二章-782.普通情形摊还计算普通情形摊还计算 时刻时刻t 还款函数用还款函数用 表示，则有表示，则有进而有进而有或或第78页利息理论应用第二章-79此时利息偿还率此时利息偿还率 仍为仍为而本金偿还率而本金偿还率 则为则为例：设例：设 与与 是两个常数连续利率，对应年金现是两个常数连续利率，对应年金现值函数分别记为值函数分别记为 和和证实：证实：第79页利息理论应用第二章-80 4.4 4.4 实例分析实例分析贷款利率依余额改变贷款利率依余额改变问题提出：问题提出：原始贷款额为原始贷款额为L，每次等额还款为每次等额还款为R。事先给定一个限额事先给定一个限额 （0 j，勉励多贷款；勉励多贷款；i j，不勉励多贷款不勉励多贷款。第80页利息理论应用第二章-81F注注 不是不是“当未结贷款余额当未结贷款余额 时，使用利率时，使用利率i，而当未结贷款余额而当未结贷款余额 时，使用利率时，使用利率 j”而是而是“若未结贷款余额若未结贷款余额 ，则则 部分用利率部分用利率i，而而 部分则用利率部分则用利率 j”。关键关键：未结贷款余额伴随时间推移而逐步降低（从：未结贷款余额伴随时间推移而逐步降低（从L减为减为0），需要找到未结贷款余额小于或等于），需要找到未结贷款余额小于或等于 转转折点时刻。折点时刻。记记m为转折点时刻，则为转折点时刻，则m是满足以下条件最早时刻：是满足以下条件最早时刻：第81页利息理论应用第二章-82 递推表示：递推表示：在时刻在时刻m，用预测法求未结贷款余额有（时刻用预测法求未结贷款余额有（时刻m 之后利率为之后利率为i）:而用追溯法求未结贷款余额有（时刻而用追溯法求未结贷款余额有（时刻m 之前，小之前，小于于 部分利率为部分利率为 i，超出超出 部分利率为部分利率为 j):第82页利息理论应用第二章-83F注注 求解过程求解过程 第83页利息理论应用第二章-84从而由从而由 可得每次还款额为可得每次还款额为 转折时刻转折时刻m近似计算能够经过利用下面不等式由试近似计算能够经过利用下面不等式由试验法来得到验法来得到 注注 即求最小正整数使得即求最小正整数使得第84页利息理论应用第二章-85这是因为：所以第85页利息理论应用第二章-86例：现有例：现有3000元贷款，计划在一年内逐月还清，元贷款，计划在一年内逐月还清，当余额低于当余额低于1000元时，元时，月利率月利率1.5%；当余额超；当余额超出出1000元时，超出部分月利率元时，超出部分月利率 1%。计算月还款。计算月还款金额。金额。解：解：先计算先计算m:满足上式最小整数为满足上式最小整数为 9，从而可得，从而可得 R=270.99 F注：注：第86页利息理论应用第二章-87确定本金偿还方式确定本金偿还方式 原始贷款原始贷款L，还款现金流，还款现金流 ，假如本金偿还方假如本金偿还方式给定：式给定：若对利率水平若对利率水平 j，有有 则则 第87页利息理论应用第二章-88例例：设贷款额为：设贷款额为L，利率，利率i，(borrower，借用人，借用人)还款现金流还款现金流 ，(lender，出借人，出借人)利息部利息部分税率分税率 r。证实在这种情况下，证实在这种情况下，(lender)实际贷款利率为实际贷款利率为 证实证实：(borrower)还款现金流为还款现金流为 ，而，而(lender)得到还款流实际值为得到还款流实际值为税前：税前：对于利率对于利率i有有 第88页利息理论应用第二章-89其中其中 为本金偿还流，而为本金偿还流，而 为利息偿还流。为利息偿还流。税后：税后：本金偿还流本金偿还流 确定不变，而还款流变为确定不变，而还款流变为 从而利息偿还流变为从而利息偿还流变为 第89页利息理论应用第二章-90轻易验证相关系式轻易验证相关系式 成立，成立，从而从而(lender)实际贷款利率为实际贷款利率为 。F注注 关键是本金偿还现金流是确定不变关键是本金偿还现金流是确定不变第90页利息理论应用第二章-91其它实例其它实例 例：已知甲乙双方借款协议以下：最初甲向乙借款例：已知甲乙双方借款协议以下：最初甲向乙借款L元，利率元，利率 12%；然后甲以金额；然后甲以金额 100、100 元、元、1000元和元和 1000 元分四年偿还，同时乙同意甲每年只还利元分四年偿还，同时乙同意甲每年只还利息，到期还本金，甲以年利率息，到期还本金，甲以年利率 8%累积偿债基金。计累积偿债基金。计算算L可能值。可能值。解：由偿债基金定义，偿债基金四次存款金额分别为解：由偿债基金定义，偿债基金四次存款金额分别为 100-0.12L，100-0.12L，1000-0.12L，1000-0.12 L第91页利息理论应用第二章-92从而有从而有由此解出由此解出F思索：上面计算是否有问题思索：上面计算是否有问题？第92页利息理论应用第二章-93分析：上面算法有问题，只要原始贷款分析：上面算法有问题，只要原始贷款 ，则前两年还款金额不足以还则前两年还款金额不足以还当年利息！当年利息！重解：前两年不可能向偿债基金存钱，反而要从重解：前两年不可能向偿债基金存钱，反而要从原贷款原贷款 中提取一部分来付利息。中提取一部分来付利息。记记 表示真正原始贷款金额表示真正原始贷款金额,则有：则有：代表甲方在此时贷款余额，从这个时刻开始甲代表甲方在此时贷款余额，从这个时刻开始甲方才真正向偿债基金存款，后两年偿债基金应该方才真正向偿债基金存款，后两年偿债基金应该是为最终一次还清是为最终一次还清 而建立而建立,第93页利息理论应用第二章-94即：即：或或由此解出由此解出即：按照双方约定方式还贷款，甲最多能够从乙即：按照双方约定方式还贷款，甲最多能够从乙方借款方借款 1495.96元元(原始贷款原始贷款)。第94页利息理论应用第二章-95例：例：九年前某家庭从银行得到为期二十年八万元抵九年前某家庭从银行得到为期二十年八万元抵押贷款，年利率押贷款，年利率 8%，逐年还贷。第，逐年还贷。第 9 次还款时，次还款时，他们希望一次多付出五千元，然后将余额在今后九他们希望一次多付出五千元，然后将余额在今后九年内等额还清。年内等额还清。试对以下两种情况计算后九年年还款额：试对以下两种情况计算后九年年还款额：1）银行同意过去九年利率不变，不过后九年利率）银行同意过去九年利率不变，不过后九年利率将提升为将提升为 9%；2）银行坚持将该抵押贷款利率提升到）银行坚持将该抵押贷款利率提升到 9%。第95页利息理论应用第二章-96解解：设：设R表示所求年还款金额表示所求年还款金额 1）当前时刻当前时刻(t=9)价值方程为价值方程为 由此能够解出由此能够解出 第96页利息理论应用第二章-972）当前时刻当前时刻(t=9)价值方程为：价值方程为：由此能够解出由此能够解出第97页利息理论应用第二章-98第98页利息理论应用第二章-99例：甲方从乙方借款例：甲方从乙方借款 20,000 元，年利率元，年利率 3%，二二十年还清，每次还款由还本金和付利息两部分组十年还清，每次还款由还本金和付利息两部分组成，还本部分金额固定（每次成，还本部分金额固定（每次1000元），元），利息为利息为原贷款额还未偿还部分当年利息。原贷款额还未偿还部分当年利息。第十年底，乙将后十年贷款权益转卖给丙，双第十年底，乙将后十年贷款权益转卖给丙，双方约定利率为：前五年方约定利率为：前五年 5%，后五年，后五年 4%。计算乙丙双方买卖价格。计算乙丙双方买卖价格。注注:乙与丙交易不影响甲还款现金流乙与丙交易不影响甲还款现金流 第99页利息理论应用第二章-100解：流程图为解：流程图为第100页利息理论应用第二章-101由题目已知由题目已知 从而甲还款流为：首次还款从而甲还款流为：首次还款1600 元，然后每次元，然后每次降低降低 30 元。元。第101页利息理论应用第二章-102在第十年底依据乙与丙交易，其后在第十年底依据乙与丙交易，其后 10 次还次还款现金流现值为：款现金流现值为：第102页利息理论应用第二章-103例：某建筑承包商在购房者首期一次性支付房价例：某建筑承包商在购房者首期一次性支付房价 10%基础上，提供以下融资方式：在随即基础上，提供以下融资方式：在随即 5 年中年中每年底支付房价每年底支付房价 2%偿还本金，另外以月利率偿还本金，另外以月利率 0.5%按月计算余额利息（按月偿还）。在第按月计算余额利息（按月偿还）。在第 5年年底，这部分融资结束时，购房者应寻找其它融资底，这部分融资结束时，购房者应寻找其它融资渠道（如银行），将余款付清，这时该承包商已渠道（如银行），将余款付清，这时该承包商已支出成本支出成本 200,000 元。该建筑商以元。该建筑商以i(12)=15%将购将购房者前房者前 5 年贷款转卖给某投资者。年贷款转卖给某投资者。问：最初房价为多少才能够确保该建筑商净利润问：最初房价为多少才能够确保该建筑商净利润为为 40,000元。元。第103页利息理论应用第二章-104补充：补充：Makeham公式公式 假设原始贷款为假设原始贷款为L，贷款利率为，贷款利率为 i，还款方式为，还款方式为 共共 n次。次。假如以利率假如以利率j将还款现金流专卖给第三者，则价将还款现金流专卖给第三者，则价格格(现值现值)应为：应为：第104页利息理论应用第二章-105记依利率 j计算n期后本金现值为 则有Makeham公式 更普通，设定时偿还部分本金、定时还利息，则可记 其中 表示在时刻 偿还本金，。第105页利息理论应用第二章-106假设现在以利率j将还款现金流转卖，则能够了解为：在 0时刻签发了m个贷款，每一个还款现金流定价均能够按照上面 Makeham公式计算，即第 k个还款现金流现值应为 从而总现值应为 其中 为各期偿付本金现值和。第106页利息理论应用第二章-107解:第107页利息理论应用第二章-108建筑承包商价值方程：购房者首付款+与某投资者交易款=成本+利润 已知建筑承包商成本为 200,000 元，利润为40,000元，从而总收入应为 240,000元。设最初房价为P，则购房者首付款为 0.1 P，相应建筑商与某投资者交易可得收入为 其中第108页利息理论应用第二章-109 (转卖年利率)由此能够解出 第109页