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概率论复习纲要概率论与数理统计复习纲要第一章 概率论的基本概念要求掌握：样本空间、随机事件的概念;会用事件的运算及关系表达复杂事件;A、B互不相容：AB=F；A、B相互对立（互逆事件）：AB=F，A+B=W;A、B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)典型的古典概型与(几何概型问题);伯努里概型；概率的基本性质：0 P(A)1; P(W)=1;P(F)=0;可列可加性概率的加法公式即多除少补原理（重点是两个事件的）：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) ;条件概率：;概率的乘法公式：P(A)0, P(AB)= P(A) P(B|A) ;全概率公式和贝叶斯公式：若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分,且P(Bi) 0则有全概率公式;贝叶斯公式: ;第二章 随机变量及其分布要求掌握：随机变量的概念;随机变量的分布函数;常见的离散型随机变量及其分布律;常见的连续型随机变量及其概率密度及随机变量函数的分布。离散型：两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；连续型：正态分布、均匀分布、指数分布随机变量的分布函数是事件Xx的概率FX(x)=PXx分布函数FX(x)具有基本性质如：F(x)单调不减，0 F(x)1,右连续，Px10 = P x= Fx ()h 的概率密度为分布函数导函数fh(x)= Fh (x)= Fx()=jx()注记: 当a 0 Fh(x)= Ph x= P ax +b x = P x =1 -P x 0 Fh(x)=Ph x=P x 2 x =P |x |=Fx()-Fx(-)h = x 2 的概率密度fh(x)= F h (x)= Fx()-Fx(-) =例:x N (0,1)的概率密度j (x)为偶函数, h = x 2 2 (1) 的概率密度为:fh(x)= , x 0第三章 多维随机变量及其分布要求掌握： 二维离散型随机变量及其分布律;二维连续型随机变量及其概率密度;边缘分布与条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布 第四章 随机变量的数字特征要求掌握：随机变量的数学期望与方差，矩与相关系数。公式概览：1-1离散型随机变量X与Y的联合分布律 pij=PX=xi ,Y=yj X Y012pi .=PX =i00.10.10.20.410.20.30.10.6p.j =PY=j0.30.40.3事件X=xi ,Y=yj表示事件X=xi与Y=yj都发生1-2关于X的边缘分布律pi .=PX= xi= 关于Y的边缘分布律p. j =PY= yj=1-3当X与Y相互独立 pij= pi . p. j , 即PX=xi ,Y=yj=PX= xi PY= yj i=1,2,; j=1,2,.1-4条件分布PX=xi |Y=yj=P Y=yj | X=xi = 1-5 E(X)= ；E(X 2)= ； D(X)= E(X2)-E 2(X) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(X) = 00.4+10.6=0.6; E(X 2) = 020.4+120.6=0.6;E(Y) = 00.3+10.4+20.3=1; E(Y2) = 020.3+120.4+220.3=1.6; D(X) = E(X2)-E 2(X)=0.6-0.36=0.24; D(Y ) = E(Y 2)-E 2(Y)=0.6 XY012PXY=j0.60.30.1Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.5-0.6=-0.1 2-1二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)与边缘密度的关系2-2条件密度2-3独立性f(x,y)=fX(x) fY(y) 例：设X1, X2Xn相互独立同分布,且E( Xi)=, D( Xi)=2, 求证:例： 设XN(,2), X1, X2Xn是来自总体X的样本则X1, X2Xn相互独立均服从参数为,2的正态分布,样本方差,求D(S2)解:由P152定理一 ,D(Y)=2(n-1)D(S2)=常用结论与公式1.随机变量X与Y相互独立,则随机变量X 2与Y 2也相互独立.2.随机变量X与Y相互独立,且XN(),YN(),则X+YN().3.随机变量X与Y相互独立,且X2 (n1),Y2 (n2),则X+Y2 (n1+n2).4.随机变量X与Y相互独立,分布函数为FX (x)与FY(y)则随机变量M = maxX,Y的分布函数FM(z)= FX (z)FY(z)随机变量N = minX,Y的分布函数FN(z)=1- FX (z)1-FY(z)5. D(X)= E(X2)-E 2(X), Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)6.E(aX+bY)= aE(X) +bE(Y)7. D(aX+bY)= a2D(X) +b2D(Y)+2abCOV(X ,Y )8. X与Y相互独立 E(XY)= E(X) E(Y)D(aX+bY)= a2D(X) +b2D(Y)9. X与Y相互独立,协方差 Cov(X,Y)=0,相关系数=0, X与Y不相关反之不一定,即X与Y不相关, X与Y不一定相互独立.（圆盘上均匀分布可作为反例）只有当(X ,Y)为二维正态分布, X ,Y相互独立与X ,Y不相关为等价关系.第五章 大数定律及中心极限定理1.大数定律定理一（Chebyshev特殊情形）设X1, X2Xn相互独立同分布,且E( Xi)=, D( Xi)= 2, .定理二（Bernoulli）设nA是n次独立试验中事件A发生的次数, p是一次试验中事件A发生的概率,则对任意正数0,证明:引进随机变量X1, X2Xn相互独立同为0-1分布, E( Xi)=p, D( Xi)=p qnA=X1+ X2+Xn ,由定理一定理三（Khinchine）:设X1, X2Xn相互独立同分布,且E( Xi)=, 则对任意正数0,2.中心极限定理定理一（独立同分布）设X1, X2Xn相互独立同分布,且E( Xi)=, D( Xi)=2,则即即定理三(DeMoivre-Laplace):二项分布YnB(n, p)Yn=X1+ X2+Xn , X1, X2Xn相互独立同为0-1分布, E( Xi)= p, D( Xi)= p q则即例:一批产品中优等品率为0.8,从中任取500件,求优等品未超过81%的概率.解: 设500件中优等品的件数为,则 B(500,0.8) 50081%=405np= 400,npq=80第六章 样本及抽样分布要求掌握：总体、样本、统计量的概念,样本均值、样本方差的计算三大统计学分布c 2分布，t分布，F分布的构造式定义。若X1, X2, Xn是来自总体X的样本,则X1, X2, Xn相互独立且与总体X有相同的分布即有E(Xi)= E(X) D(Xi)= D(X)统计量是样本X1, X2, Xn不含未知参数的函数常用统计量：样本均值,样本方差1.设X1, X2, Xn来自正态总体XN(,2)的样本则样本均值* *2.设X1, X2, Xn相互独立且均为标准正态分布, 则3.设X1, X2, Xn相互独立且均为标准正态分布,则与相互独立;且4.设X1, X2, Xn相互独立且均为正态分布N(,2),则与相互独立;且 =5. 设X, Y相互独立且XN(0,1),Y则T =6*. 设X1, X2, Xn来自正态总体XN(,2)的样本样本均值,样本方差,则*7. 设X1, X2, Xn1和Y1, Y2, Yn2分别为来自两个相互独立的正态总体XN(1,2)和YN(2,2)的样本,则8. 设X, Y相互独立,且X ,Y,则 9. 设X1, X2, Xn1和Y1, Y2, Yn2分别为来自两个相互独立的正态总体XN(1,12)和YN(2,22)的样本,则第七章 参数估计要求掌握：矩估计、极大似然估计,估计量的无偏性、有效性,正态总体的均值与方差的双边区间估计一、矩估计（Moment Estimation）设X1,X2是来自总体X的样本,1,2总体X的分布函数的未知参数,若总体X的一阶原点矩E(X) , 二阶原点矩 E(X2)存在,A1=为X的一阶样本原点矩, A2= 为X的二阶样本矩因为由大数定律A1=依概率收敛于E(X ),A2=依概率收敛于E(X2)故令A1作为E(X)的估计,故令A2作为E(X2)的估计即令= A1= , = A2= ,通常 E(X)与E(X2)含有未知参数1,2 ,即可得到未知参数1,2与样本的估计关系，得出矩估计量。例1: 总体Xp (l) ,l 未知,X1,X2,Xn是来自总体X的样本,求:l的矩估计量.解:E(X) =l,且只有一个未知参数，由= A1=为l 的矩估计量.例2: 总体X在a,b上服从均匀分布, a,b未知,X1,X2,Xn是来自总体X的样本, 试求参数a, b的矩估计量.解:E(X)=(a+b)/2 , D(X)=(b-a)2/12E(X2)= (b-a)2/12 +(a+b)2/4由= A1=, = A2=二、极大似然估计（Maximal Similarity Estimation）设X1,X2,Xn是来自总体X的样本,总体X的分布函数为F(x,),是未知参数,若X为连续型随机变量概率密度为f(x,)由X1,X2,Xn相互独立与X同分布故联合概率密度例3: 设X1,X2,Xn是来自总体X的样本,总体X为正态分布N(,2), , 2未知,X概率密度为求:未知参数,2 的极大似然估计量.若只有一个未知参数则只要求一个方程即可得到极大似然估计量。三、无偏性 若=是总体X的未知参数的估计量,且期望等于参数E()=,则称是参数的无偏估计量.四、有效性若是总体X的未知参数的两个无偏估计量,且D(1)D(2), 则称1较2有效.10