2022年概率论与数理统计期末试卷及答案2套.doc

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试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）

(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分

题 目
一
二
三(1)
三(2)
三(3)
三(4)
三(5)
三(6)
三(7)
三(8)
得 分

阅卷人

一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.
1. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是( )
(A) A、B互不相容 (B) 与互不相容
(C) A、B不独立 (D) A、B独立

2. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( )
(A) (B)
(C) (D)
3. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
4. 设总体为的样本，则下面结果正确的是( )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
5. 设是来自正态总体的样本，若统计量
服从分布，则常数C=( )
(A) (B) (C) (D)

二、填空题（每空2分，共10分）
1. 设，则 .
2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率
为 .
3. 设随机变量且与相互独立, ,则
4.已知,则 , .
三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）
1． (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，
(1)求这只日光灯是次品的概率。
(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。

2. (10分)设随机变量X的概率密度为：
(1) 确定k的值； (2) 计算数学期望。

3. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，

(1) 求X,Y的边缘概率密度；
(2) 判断X,Y是否独立；
(3) 求概率。

4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，估计任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。

5．(10分)设总体的概率密度函数为

为总体的一个样本，试求未知参数的
(1)矩估计量； (2)最大似然估计量。

6．(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。

7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据，能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？ 即检验假设，.

8．(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示
号码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
合计
频数
42 36 37 33 54 55 36 43 45 49
430

试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？

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试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）
(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二
三(1)
三(2)
三(3)
三(4)
三(5)
三(6)
三(7)
三(8)
得 分

阅卷人

一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.
6. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是(D )
(A) A、B互不相容 (B) 与互不相容
(C) A、B不独立 (D) A、B独立

7. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( B )
(A) (B)
(C) (D)
8. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( C )
(A) (B)
(C) (D)
9. 设总体为的样本，则下面结果正确的是(D )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
10. 设是来自正态总体的样本，若统计量
服从分布，则常数C=( B )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 设，则.
2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为.
3. 设随机变量且与相互独立, ,则.
4.已知,则, .
三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）
2． (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，
(1)求这只日光灯是次品的概率。
(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。
解：设A表示任取一只日光灯是次品, 表示取到产品是由第i个机器生产的,则所求概率分别为
（1）; ------------（5分）
（2）. ------------（5分）

2. (10分)设随机变量X的分布律如下：
X
-2
1
2
3

0.1
0.4
0.3
0.2

(1) 计算数学期望；
(2) 计算方差；
(3) 求的分布律.
解:(1) . ------------（3分）
(2) . ------------（3分）
(3) 的分布律 ------------（4分）
Z
0
3
8

0.4
0.4
0.2
3. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，

(4) 求未知数k；
(5) 求X,Y的边缘概率密度，并判断X,Y是否独立；
(6) 求概率。
解: (1) 由，解得 ------------（2分）
(2) ------------（2分）
------------（2分） 显然故 X,Y不独立。 ------------（2分）
(3) ------------（2分）

4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，求任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。
解：设X为同时工作的车床台数，则 ------------（3分）
由中心极限定理，近似地有
------------（3分）
则 ------------（2分）
------------（2分）

5．(10分)设总体的概率密度函数为

为总体的一个样本，试求未知参数的(1)矩估计量，(2)最大似然估计量。
解：(1) ，--------（5分）
(2)似然函数 --------（2分）
取对数 --------（2分）
令，解得最大似然估计量 --------（1分）

6．(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。
解：的取置信水平为95%的置信区间为 --------（5分）
把，，n=9, 代入计算得 --------（3分）
(5.54, 6.46 ) --------（2分）

7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？
即检验假设，.
解：由题意知，需检验假设，
拒绝域为：或 --------（4分）
而落入拒绝域， --------（4分）
故拒绝，推断该产品的方差较以往有显著的变化。 --------（2分）

8．(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示
号码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
合计
频数
42 36 37 33 54 55 36 43 45 49
430

试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？
解： --------（3分）
检验统计量 --------（3分）
拒绝域 --------（2分）
接受，各号码出现的可能性相同。 --------（2分）

试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）
(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分
题 目
一、二
三（1）、（2）、（3）、（4）
三（5）、（6）、（7）、（8）
得 分

阅卷人

--------------------------------------------------------------------------------------装 订 线------------------------------------------------------------------------------------
，
，，，
，，，
一、单项选择题（共4题，每题2分，共8分）
1.设为任意两个事件，且，，则下列选项必然成立的是（ ）。
A. B.
C. D.
2.设随机变量的分布律为

-1
0
1

0.25
0.5
0.25
且满足，则（ ）。
A.0 B.0.5 C.0.75 D.1

3.设随机变量和独立同分布，记，，则与之间必有（ ）。
A.不独立 B.相关系数不为零 C.独立 D.相关系数为零
4.设总体服从，为的样本，则的无偏估计为 （ ）。
A. B.
C. D.
二、填空题（共6题，每题2分，共12分）
1.设，,,则________。
2.设服从，且，，则_______。
3.设随机变量和的相关系数为，且,,,则________。
4.设随机变量独立同分布，且，则_________。
5.设是总体的样本，是样本均值，则当至少为_____时有。
6.设随机变量服从，是来自的样本，令，则服从分布______________。
三、计算题（共8题，每题10分，共80分）
1.一批产品中90%是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02。求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
(2)一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。

2.设随机变量的分布律为

-1
2
3

0.25
0.5
0.25
求(1)的分布函数；(2) 及。

3.设服从，求的概率密度。

4.设二维随机变量的联合概率密度为

求(1)常数；
(2)判断及是否独立;
(3)求概率。

5.一个复杂系统由个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1，已知至少有80%的元件正常工作才能使系统正常运行，求至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于0.95。

6.设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自的样本，试求未知参数的(1)矩估计量；(2)最大似然估计量。

7.随机地取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=11m/s.设炮口速度服从，求方差的置信水平为95%的双侧置信区间。

8.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
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试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）
(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分
题 目
一、二
三（1）、（2）、（3）、（4）
三（5）、（6）、（7）、（8）
得 分

阅卷人

--------------------------------------------------------------------------------------装 订 线------------------------------------------------------------------------------------
，
，，，
，，，
一、单项选择题（共4题，每题2分，共8分）
1. 设A、B为任意两个事件，且,，则下列选项必然成立的是（ B ）。
A. B.
C. D.
2.设随机变量的分布律为

-1
0
1

0.25
0.5
0.25
且满足，则（ A ）。
A.0 B.0.5 C.0.75 D.1

3.设随机变量和独立同部分，记，则与之间（ D ）。
A.不独立 B.相关系数不为零 C.独立 D.相关系数为零
4.设总体为的样本，则的无偏估计为 （ B ）。
A. B.
C. D.
二、填空题（共6题，每题2分，共12分）
1.设，,,则___0.2______。
2. 设服从，且，，则。
3. 设随机变量和的相关系数为，且则。
4.设随机变量独立同分布，且，则_________。
5.设是总体的样本，是样本均值，则当至少为__40___时有。
6.设随机变量服从正态分布，是来自的样本，令，则服从分布______________。
三、计算题（共8题，每题10分，共80分）
1. 一批产品中90%是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02。求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
(2)一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。
解：设A表示产品经检查后被认为是合格品，B表示取到的是合格品，则所求概率分别为(1) ……………………………(5分)

(2) 。………………(5分)
2.设随机变量的分布律为

-1
2
3

0.25
0.5
0.25

求(1)的分布函数；(2) 及。
解：(1)当时，；
当时，；
当时，
当,。
故X的分布函数为
…………………………………………(6分)
(2) =; ………………………………(2分) 。 ………………………………(2分)

3.设服从，求的概率密度。
解：因，故在取值，从而时，；（2分）
若，注意到服从，故Y的分布函数为

,………………………(4分)
故时，

。………………………………………………（4分）
于是的概率密度为
。
4.设二维随机变量的联合概率密度为
求(1)常数C；
(2)判断X及Y是否独立;
(3)求概率。
解：(1) 由概率密度的性质，有
，所以。
（2分）
(2)
…………………………………（2分）
………………………………（2分）
因为，所以X与Y不相互独立。……………（2分）
(3) =
。………………………（2分）
5.一个复杂系统由个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1，已知至少有80%的元件正常工作才能使系统正常运行，请使用中心极限定理，求至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于0.95。
解：设为正常工作的元件数，则X服从，—————————（3分)
由中心极限定理，近似地有
—————————————————（3分）
由题意

————————————（2分）
由于 ，故，即至少为25。—————（2分）
6.设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自总体的样本，试求未知参数的(1)矩估计量，(2)最大似然估计量。
解：(1)
所以的矩估计量————————————————— （5分）
(2) 似然函数—————————（2分）
取对数——————————————（2分）
令解得最大似然估计量。—————————（1分）
7.随机地取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=11m/s.设炮口速度服从，求方差的置信水平为95%的双侧置信区间。
解：的置信水平为95%的置信区间为———（5分）
把，，，———(3分)
代入计算得（55.21,444.04）————————————————————（2分）
8.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
解：由题意知，需检验假设
拒绝域为：———————————————————（4分）
由，算得
未落入拒绝域，———————（4分）
故接受，认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。 ———————（2分）

第 24 页 共 24 页