2022年概率论与数理统计期末试卷及答案2套.doc

-装 订 线- 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一二三(1)三(2)三(3)三(4)三(5)三(6)三(7)三(8)得 分阅卷人 一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.1. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是( ) (A) A、B互不相容 (B) 与互不相容 (C) A、B不独立 (D) A、B独立2. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( ) (A) (B) (C) (D) 3. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( )(A) (B) (C) (D) 4. 设总体为的样本，则下面结果正确的是( )(A) ; (B) ;(C) ; (D) .5. 设是来自正态总体的样本，若统计量服从分布，则常数C=( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每空2分，共10分）1. 设，则 .2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为 .3. 设随机变量且与相互独立, ,则 4.已知,则 , . 三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）1 (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，(1)求这只日光灯是次品的概率。(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。2. (10分)设随机变量X的概率密度为： (1) 确定k的值； (2) 计算数学期望。3. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，(1) 求X,Y的边缘概率密度；(2) 判断X,Y是否独立；(3) 求概率。4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，估计任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。5(10分)设总体的概率密度函数为为总体的一个样本，试求未知参数的(1)矩估计量； (2)最大似然估计量。6(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据，能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？ 即检验假设，.8(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示号码0 1 2 3 4 5 6 7 8 9合计频数42 36 37 33 54 55 36 43 45 49430试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？-装 订 线- 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一二三(1)三(2)三(3)三(4)三(5)三(6)三(7)三(8)得 分阅卷人 一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.6. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是(D ) (A) A、B互不相容 (B) 与互不相容 (C) A、B不独立 (D) A、B独立7. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( B ) (A) (B) (C) (D) 8. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( C )(A) (B) (C) (D) 9. 设总体为的样本，则下面结果正确的是(D )(A) ; (B) ;(C) ; (D) .10. 设是来自正态总体的样本，若统计量服从分布，则常数C=( B ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每空2分，共10分）1. 设，则.2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为.3. 设随机变量且与相互独立, ,则.4.已知,则, . 三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）2 (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，(1)求这只日光灯是次品的概率。(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。解：设A表示任取一只日光灯是次品, 表示取到产品是由第i个机器生产的,则所求概率分别为 （1）; -（5分） （2）. -（5分）2. (10分)设随机变量X的分布律如下： X-21230.10.40.30.2 (1) 计算数学期望； (2) 计算方差； (3) 求的分布律.解:(1) . -（3分） (2) . -（3分） (3) 的分布律 -（4分）Z0380.40.40.23. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，(4) 求未知数k；(5) 求X,Y的边缘概率密度，并判断X,Y是否独立；(6) 求概率。解: (1) 由，解得 -（2分）(2) -（2分） -（2分） 显然故 X,Y不独立。 -（2分）(3) -（2分）4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，求任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。解：设X为同时工作的车床台数，则 -（3分）由中心极限定理，近似地有 -（3分）则 -（2分） -（2分）5(10分)设总体的概率密度函数为为总体的一个样本，试求未知参数的(1)矩估计量，(2)最大似然估计量。解：(1) ，-（5分）(2)似然函数 -（2分） 取对数 -（2分）令，解得最大似然估计量 -（1分）6(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。解：的取置信水平为95%的置信区间为 -（5分）把，n=9, 代入计算得 -（3分） (5.54, 6.46 ) -（2分）7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？即检验假设，.解：由题意知，需检验假设， 拒绝域为：或 -（4分）而落入拒绝域， -（4分）故拒绝，推断该产品的方差较以往有显著的变化。 -（2分）8(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示号码0 1 2 3 4 5 6 7 8 9合计频数42 36 37 33 54 55 36 43 45 49430试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？解： -（3分）检验统计量 -（3分） 拒绝域 -（2分）接受，各号码出现的可能性相同。 -（2分） 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一、二三（1）、（2）、（3）、（4）三（5）、（6）、（7）、（8）得 分阅卷人-装 订 线-， ， ，一、单项选择题（共4题，每题2分，共8分）1.设为任意两个事件，且，则下列选项必然成立的是（ ）。A. B. C. D. 2.设随机变量的分布律为-1010.250.50.25 且满足，则（ ）。A.0 B.0.5 C.0.75 D.13.设随机变量和独立同分布，记，则与之间必有（ ）。 A.不独立 B.相关系数不为零 C.独立 D.相关系数为零4.设总体服从，为的样本，则的无偏估计为 （ ）。A. B.C. D.二、填空题（共6题，每题2分，共12分）1.设，,则_。2.设服从，且，则_。3.设随机变量和的相关系数为，且,则_。4.设随机变量独立同分布，且，则_。5.设是总体的样本，是样本均值，则当至少为_时有。6.设随机变量服从，是来自的样本，令，则服从分布_。 三、计算题（共8题，每题10分，共80分）1.一批产品中90%是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02。求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2)一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。2.设随机变量的分布律为-1230.250.50.25求(1)的分布函数；(2) 及。3.设服从，求的概率密度。4.设二维随机变量的联合概率密度为 求(1)常数； (2)判断及是否独立; (3)求概率。5.一个复杂系统由个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1，已知至少有80%的元件正常工作才能使系统正常运行，求至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于0.95。6.设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自的样本，试求未知参数的(1)矩估计量；(2)最大似然估计量。7.随机地取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=11m/s.设炮口速度服从，求方差的置信水平为95%的双侧置信区间。8.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？-装 订 线- 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一、二三（1）、（2）、（3）、（4）三（5）、（6）、（7）、（8）得 分阅卷人-装 订 线-， ， ，一、单项选择题（共4题，每题2分，共8分）1. 设A、B为任意两个事件，且,，则下列选项必然成立的是（ B ）。A. B. C. D. 2.设随机变量的分布律为-1010.250.50.25 且满足，则（ A ）。A.0 B.0.5 C.0.75 D.13.设随机变量和独立同部分，记，则与之间（ D ）。 A.不独立 B.相关系数不为零 C.独立 D.相关系数为零4.设总体为的样本，则的无偏估计为 （ B ）。A. B.C. D.二、填空题（共6题，每题2分，共12分）1.设，,则_0.2_。2. 设服从，且，则。3. 设随机变量和的相关系数为，且则。4.设随机变量独立同分布，且，则_。5.设是总体的样本，是样本均值，则当至少为_40_时有。6.设随机变量服从正态分布，是来自的样本，令，则服从分布_。三、计算题（共8题，每题10分，共80分）1. 一批产品中90%是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02。求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2)一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。解：设A表示产品经检查后被认为是合格品，B表示取到的是合格品，则所求概率分别为(1) (5分)(2) 。(5分)2.设随机变量的分布律为-1230.250.50.25求(1)的分布函数；(2) 及。解：(1)当时，； 当时，； 当时， 当,。故X的分布函数为 (6分)(2) =; (2分) 。 (2分)3.设服从，求的概率密度。 解：因，故在取值，从而时，；（2分）若，注意到服从，故Y的分布函数为 ,(4分) 故时， 。（4分）于是的概率密度为 。 4.设二维随机变量的联合概率密度为求(1)常数C； (2)判断X及Y是否独立; (3)求概率。解：(1) 由概率密度的性质，有 ，所以。（2分） (2) （2分） （2分） 因为，所以X与Y不相互独立。（2分） (3) = 。（2分） 5.一个复杂系统由个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1，已知至少有80%的元件正常工作才能使系统正常运行，请使用中心极限定理，求至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于0.95。解：设为正常工作的元件数，则X服从，（3分)由中心极限定理，近似地有 （3分）由题意 （2分）由于 ，故，即至少为25。（2分）6.设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自总体的样本，试求未知参数的(1)矩估计量，(2)最大似然估计量。解：(1) 所以的矩估计量 （5分） (2) 似然函数（2分） 取对数（2分） 令解得最大似然估计量。（1分）7.随机地取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=11m/s.设炮口速度服从，求方差的置信水平为95%的双侧置信区间。解：的置信水平为95%的置信区间为（5分） 把，(3分)代入计算得（55.21,444.04）（2分）8.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解：由题意知，需检验假设 拒绝域为：（4分） 由，算得 未落入拒绝域，（4分） 故接受，认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。 （2分）第 24 页 共 24 页