2023年GCT数学真题及经典解析.doc

GCT入学资格考试数学基础能力测试试题
（25题，每题4分，共100分）

难度增长：初等数学几何和微积分
线性代数和23年考试持平，关键考察计算

1. 若则值为（ ）
1、 B. C. D.

A、 设，则被4除余数是（ ）
A. B. C. D.

B、 图所示，是内切圆中一种内接正三角形，已知阴影部分面积为1500平方厘米，则正三角形面积等于（ ）平方厘米.
A.1900 B. C.2100 D.2200

C、 已知数列通项是，则该数列前101项和等于（ ）
A.2501 B.2551 C.2601 D.2651

D、 三个边长为1正方形拼成图所示图形，图中有两条线段相交锐角为，（ ）
A. B. C. D.

E、 若则代数式值为（ ）
A. B. C. D.

F、 设A，B两车分别从甲、乙两地同步出发，沿同一公路相向匀速行驶.两车第一次相遇于距甲地20公里处仍继续前行，当分别抵达乙、甲两地后立即按原速原路返回，途中第二次相遇于距乙地10公里处，则甲、乙两地相距（ ）公里。

A. B. C. D.

8. 设O为坐标原点，大小关系图所示，则值是（ ）
A. B. C. D.

A、 若函数是周期为6奇函数，则值等于（ ）
A. B. C. D.

B、 若复数，则（ ）
A. B. C. D.

11.图，面积为9平方厘米正方形在面积为25平方厘米正方形所在平面上移动，一直保持.记线段中点为，中点为，则线段长度是（ ）厘米.
A. B. C. D.

12.有长为六根细木条，任取其中3根为边可以成一种三角形概率为（ ）
A. B. C. D.
13.某股民用30000元买进甲乙两种股票，在甲股票跌下10%，乙股票升值8%时所有卖出，赚得1500元，则该股民本来购置甲乙两种股票所用钱数比例为（ ）
A．2:3 B．3:2
C．1:5 D．5:1

14. 参数方程 x=sin t +cos (－t)+2 在xOy平面上表达
y=cos t + sin(－t)－3
曲线是（ ）

A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线

15.一种盛满水圆柱形容器，其底面半径为1，母线长3.将该容器在水平桌面上平稳地倾斜使水缓缓流出。当容器中剩余水为本来 时，圆柱母线和水平面所成角等于（ ）
A．30。 B．45。
C．60。 D．75。
16.当x→ 3－时，下列选项中为无穷小量是（ ）
A． B．ln(3-x)
C．sin D．
17.若f(x)在x0处可导，且f(x0)=a, f’(x0)=b,而|f(x)|在x0处不可导，则（ ）
A．a=0, b=0 B．a=0, b≠0
C．a≠0, b=0 D．a≠0, b≠0

18.若方程x－elnx－k=0在（0,1]上有解，则k最小取值为（ ）
A．-1 B．
C．1 D．e

19.若函数y（x）=，,则 =
A．0 B．1
C． D．4e
A、 若是xf(x)一种原函数，则=（ ）
A．-1 B．
C． D．1
B、 设f(x)在[0,2]上单调持续，f(0)=1,f(2)=2,且对任意x1,x2[0,2],总有f()>,g(x)s是f(x)反函数，P=，则（ ）
A．0 < P < 1 B．1 < P < 2
C．2 < P < 3 D．3 < P < 4
C、 在（x1,x2,x3）展开式中，x2x3 项系数是（ ）
A．—4 B．—2
C．2 D．13
D、 对任意n阶矩阵A，B，C，若ABC=E（E是单位矩阵），则下列5式中：
（ⅰ）ACB=E (ii)BCA=E (iii)BAC=E (iv)CBA=E (v)CAB=E
恒成立有（ ）个。
A．1 B．2
C．3 D．4
24.若方程组 有解，则其中a=（ ）
A．-2 B-1
C．1 D．2
25.若A=和B=相似，则a=( )
A．2 B.1
C．－1 D．－2

GCT数学真题参照答案

1.解析：
解法一：（替代法）由，可知；由，可知；
综上，可知，代入，可得，选择D选项。

解法二：（特殊值法）令，由，得到；由，得到，于是，选择D选项。

解法三：（比例法）在上下同步除以，得到，选择D选项。

解法四：（估计法）由，可知是20倍，而是10倍；因此分子是分母10倍以上，而选项中只有D在10倍以上，因此选择D选项。

2.解析：

解法一：（等比数列法）实际上是一种首项为公比为等比数列前7项和，因此，而，因此余数是1，选择B选项。

解法二：（同余法），因此，，，，
，，因此可以得到
因此余数是1，选择B选项。

3.解析：

解法一：根据正三角形性质，设边长为，则其内切圆半径为；设边长为，则其外接圆半径为，因此，得到。因此面积是面积4倍，因此阴影部分是面积3倍，因此面积是 平方厘米。

解法二：根据对称性，内切圆和三条边切于三条边中点，将旋转一下，其三个顶点恰好是这三个切点。根据三角形中位线原理，边长是二分之一，因此面积是四分之一。
4.解析：

解：

因此选择C选项。

5.解析：

解：显然，因此
因此，选择D选项。

6、解析：

解：由，得到

选择A选项。

7、解析：

解：根据题意，画图如下。由于在同一段时间内，行进旅程之比等于速度之比，因此可设全旅程为公里。则从开始到二人在C地相遇时，A走过了20公里，而B走过了公里，因此B和A速度之比就是；同理，当她们第二次相遇时，A走过了公里，而B走过了公里，因此B和A速度之比就是。由于二人在行进过程中速度是不变，因此有，解此方程过程如下：

选择D选项。

【解析二】设甲、乙两地相距S公里，A从甲到乙，B从乙到甲，
第一次相遇时A行走旅程为20公里，B行走旅程为(S-20)公里，
第二次相遇时A行走旅程为(S+10)公里，乙行走旅程为(2S-10）公里，
她们两次相遇共走了3个全程，由于走3个全程时间相似，故3个全程距离差是1个全程距离差3倍，因此(2S-10)-(S+10)=3[(S-20)-20]，因此S=50公里。

8、解析：

解法一：（去绝对值法）根据题意，因此，因此，因此，选择D选项。

解法二：（特殊值法）令，得到
只有D选项对的。

9、解析：

解法一：（函数性质）根据题意，（奇函数在零点处假如有定义则函数值为零），因此
因此选择A选项。

解法二：（特殊函数法）令，既是奇函数又是偶函数，并且任意一种实数所有是它周期，因此符合题意。
因此选择A选项。
10、解析：

解：（直接计算法）

，

因此，因此选择C选项。
11、解：（解析几何法）

本题用平面几何措施解比较困难，虽然是使用特殊位
置法计算也会比较麻烦，因此我们采用解析几何措施来计算。先建立一种平面直角坐标系，将A点设为坐标原点，AD边和AB边分别落在轴和轴上，要使，只需要EF边所在直线垂直于轴即可，如下图所示：

显然正方形ABCD边长是5，而正方形EFGH边长是3，于是可以把多种点坐标标出来：
设E点坐标是，由于EF垂直于轴，则EH平行于轴，于是得到此外几点坐标分别是：
根据线段中点坐标公式，可知M点和N点坐标分别为：
，根据平面内两点间距离公式，可以算得：。因此对的答案选择C选项。
12、解析：（列举法）从6根细木条中任取3根总数为，能构成三角形状况是
共7种状况，因此概率是，选择D选项。

13.【答案】C
【解析】设该股民本来购置甲乙两种股票所用钱数比例为，
因此有，解得 。

14.【答案】A
【解析】由已知，
，
故参数方程可化为，是一种认为圆心, 为半径圆。

15.【答案】B

【解析】我们画出此容器横截面图， 是一种长为3宽为2长方形，由于 容器中剩余水为本来，连接AB， 则 AB如下部分水是总水量， AB以上部分水是总水量， 我们将此问题转化为平面图像面积， 由上面分析，长方形容器面积为6， 因此， 因此a=1，又AC平行于桌面，故由于a=1， 故△ACE是等腰直角三角形，因此。

16.【答案】D
【解析】当x→ 3－时， ，因此选D。

17.【答案】B
【解析】令，可排除A；令f()；
令，可排除D，故选B。

18.【答案】C
【解析】将原方程化为在(0,1]上有解 ,令 ,则交点横坐标即为根，

由于 ，驻点，，当 又在区间单调递减，在区间单调递增， 因此是 最小值点，最小值为 ，因此在(0,1]上，
因此在(0,1]上和总有交点，由于在单调递减，因此k最小值为1。

19.【答案】D
【解析】由于 ，因此 ，
因此 ，选D

20.【答案】C
【解析】.由于，因此 ，因此 ，

21.【答案】A
【解析】由已知 是[0,2]上凸函数， 和g(x)互为反函数，因此它们图像有关y=x对称，g(x)过(1,0)、(2,2)，因此 为、x轴 及x=2所围成图形面积，由于此图像在BC所在 直线(y=2x-2)下方，故，因此。

22.【答案】D
【解析】

=

具有 项为和，因此项系数是-4.

23.【答案】B
【解析】 ，(ii) 对的；
又，(B) 对的。

24.【答案】A
【解析】对方程组增广矩阵实行行变换：

显然当 即时方程组有解。

25.【答案】D
【解析】由于 A和B相似，由B知A特性值为2、2、0，
有两个线性无关非零解，即，对A作行变换得：