2023年考研数学二真题及答案解析.doc

数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线水平渐近线方程为 .（2）设函数在处持续，则 .（3）广义积分 .（4）微分方程通解是 .（5）设函数由方程确定，则= .（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= .二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处增量，和分别为在点处对应增量和微分，若，则（A）（B）（C）（D） 【 】（8）设是奇函数，除外到处持续，是其第一类间断点，则是（A）持续奇函数.（B）持续偶函数（C）在间断奇函数（D）在间断偶函数. 【 】（9）设函数可微，则等于（A）.（B）（C）（D） 【 】（10）函数满足一种微分方程是（A）（B）（C）（D）（11）设为持续函数，则等于（A）（B）（C）（D） 【 】（12）设和均为可微函数，且. 已知是在约束条件下一种极值点，下列选项对的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.【 】（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项对的是（A）若线性有关，则线性有关.（B）若线性有关，则线性无关.（C）若线性无关，则线性有关.（D）若线性无关，则线性无关. 【 】（14）设为3阶矩阵，将第2行加到第1行得，再将第1列-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D） 三 解答题15试确定A，B，C常数值，使得，其中是当。16171819 20 设函数满足等式()验证.()若.21 已知曲线方程为（）讨论凹凸性；（）过点（-1，0）引切线，求切点，并写出切线方程；（）求此切线和（对应于部分）及轴所围成平面图形面积。22 已知非齐次线性方程组证明方程组系数矩阵A秩求值及方程组通解23 设3阶实对称矩阵A各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0两个解, ()求A特性值和特性向量 ()求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.真题答案解析一、填空题（1）曲线水平渐近线方程为（2）设函数 在x=0处持续，则a=（3）广义积分（4）微分方程通解是（5）设函数确定，则 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导， 二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处增量，则A（A）（B）（C）（D）由严格单调增长 是凹即知（8）设是奇函数，除外到处持续，是其第一类间断点，则是B（A）持续奇函数（B）持续偶函数（C）在x=0间断奇函数（D）在x=0间断偶函数（9）设函数则g(1)等于C（A）（B）（C）（D） ，（10）函数满足一种微分方程是D（A）（B）（C）（D） 特性根为1和-2，故特性方程为（11）设为持续函数，则等于C（A）（B）（C）（D）（12）设均为可微函数，且在约束条件下一种极值点，下列选项对的是D（A）若（B）若（C）若（D）若 今 代入(1) 得 今 故选D三、解答题（15）试确定A，B，C常数值，使其中是当.解：泰勒公式代入已知等式得整顿得比较两边同次幂函数得B+1=AC+B+=0式-得代入得代入得（16）求解：原式=（17）设区域计算二重积分解：用极坐标系（18）设数列满足，证明：（1）存在，并求极限 （2）计算证：（1）单调减少有下界根据准则1，存在在两边取极限得因此（2）原式 离散散不能直接用洛必达法则先考虑 用洛必达法则（19）证明：当时，证：令只需证明单调增长（严格） 单调减少（严格）又故单调增长（严格）得证（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若 求函数证：（I）（II）令（21）已知曲线L方程（I）讨论L凹凸性（II）过点引L切线，求切点，并写出切线方程（III）求此切线和L（对应部分）及x轴所围平面图形面积解：（I）（II）切线方程为，设，则得点为（2，3），切线方程为（III）设L方程则由于（2，3）在L上，由线代(6) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(13)设a1,a2,as 所有是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.(A) 若a1,a2,as线性有关,则Aa1,Aa2,Aas线性有关.(B) 若a1,a2,as线性有关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性有关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.解: (A)本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性有关,则存在不全为0数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+csAas=0,于是Aa1,Aa2,Aas线性有关.假如用秩来解,则愈加简朴明了.只要熟悉两个基础性质,它们是:1. a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as )=s.2. r(AB) r(B).矩阵(Aa1,Aa2,Aas)=A( a1, a2,as ),因此r(Aa1,Aa2,Aas) r(a1, a2,as ).由此立即可鉴定答案应当为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A第2列加到第1列上得B,将B第1列-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1(22)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关解. 证明此方程组系数矩阵A秩为2. 求a,b值和方程组通解. 解: 设a1,a2,a3是方程组3个线性无关解,则a2-a1,a3-a1是AX=0两个线性无关解.于是AX=0基础解系中解个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又由于A行向量是两两线性无关,因此r(A)2.两个不等式阐明r(A)=2. 对方程组增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A各行元素之和所有为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T所有是齐次线性方程组AX=0解. 求A特性值和特性向量. 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q TAQ=L. 解: 条件阐明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A特性向量,特性值为3.又a1,a2所有是AX=0讲解明它们也所有是A特性向量,特性值为0.由于a1,a2线性无关, 特性值0重数不小于1.于是A特性值为3,0,0.属于3特性向量:ca0, c0.属于0特性向量:c1a1+c2a2, c1,c2不所有为0. 将a0单位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0