2023年考研数学二真题及答案解析.doc

数学（二）考研真题及解答

一、填空题
（1）曲线水平渐近线方程为 .
（2）设函数在处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程通解是 .
（5）设函数由方程确定，则= .
（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=
.

二、选择题
（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处增量，和分别为在点处对应增量和微分，若，则
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（8）设是奇函数，除外到处持续，是其第一类间断点，则是
（A）持续奇函数. （B）持续偶函数
（C）在间断奇函数 （D）在间断偶函数. 【 】
（9）设函数可微，，则等于
（A）. （B）
（C） （D） 【 】
（10）函数满足一种微分方程是
（A） （B）
（C） （D）
（11）设为持续函数，则等于
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（12）设和均为可微函数，且. 已知是在约束条件下一种极值点，下列选项对的是
（A）若，则.
（B）若，则.
（C）若，则.
（D）若，则. 【 】
（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项对的是
（A）若线性有关，则线性有关.
（B）若线性有关，则线性无关.
（C）若线性无关，则线性有关.
（D）若线性无关，则线性无关. 【 】
（14）设为3阶矩阵，将第2行加到第1行得，再将第1列-1倍加到第2列得，记，则
（A） （B）
（C） （D）
三 解答题
15．试确定A，B，C常数值，使得，其中是当
。
16．
17．

18．

19．
20 设函数满足等式
(Ⅰ)验证.
(Ⅱ)若.
21 已知曲线方程为
（Ⅰ）讨论凹凸性；
（Ⅱ）过点（-1，0）引切线，求切点，并写出切线方程；
（Ⅲ）求此切线和（对应于部分）及轴所围成平面图形面积。

22 已知非齐次线性方程组

Ⅰ证明方程组系数矩阵A秩
Ⅱ求值及方程组通解
23 设3阶实对称矩阵A各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0两个解, (Ⅰ)求A特性值和特性向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线水平渐近线方程为

（2）设函数 在x=0处持续，则a=

（3）广义积分

（4）微分方程通解是
（5）设函数确定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，

二、选择题
（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处增量，，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由严格单调增长
是凹
即知
（8）设是奇函数，除外到处持续，是其第一类间断点，则
是[B]
（A）持续奇函数 （B）持续偶函数
（C）在x=0间断奇函数 （D）在x=0间断偶函数
（9）设函数则g(1)等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
∵ ，
（10）函数满足一种微分方程是[D]
（A） （B）
（C） （D）
∵ 特性根为1和-2，故特性方程为
（11）设为持续函数，则等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
（12）设均为可微函数，且在约束条件下一种极值点，下列选项对的是[D]
（A）若
（B）若
（C）若
（D）若

今 代入(1) 得
今 故选[D]
三、解答题
（15）试确定A，B，C常数值，使其中是当.
解：泰勒公式代入已知等式得

整顿得

比较两边同次幂函数得
B+1=A ①
C+B+=0 ②
③
式②-③得
代入①得
代入②得

（16）求
解：原式=

（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系

（18）设数列满足，
证明：（1）存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1，存在
在两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则

（19）证明：当时，
证：令
只需证明单调增长（严格）

单调减少（严格）
又
故单调增长（严格）
得证

（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式

（I）验证
（II）若 求函数
证：（I）

（II）令

（21）已知曲线L方程
（I）讨论L凹凸性
（II）过点引L切线，求切点，并写出切线方程
（III）求此切线和L（对应部分）及x轴所围平面图形面积
解：（I）

（II）切线方程为，设，，
则
得
点为（2，3），切线方程为
（III）设L方程
则

由于（2，3）在L上，由

线代
(6) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= .
-1 2
解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

(13)设a1,a2,…,as 所有是n维向量，A是m´n矩阵，则（ ）成立.
(A) 若a1,a2,…,as线性有关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性有关.
(B) 若a1,a2,…,as线性有关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.
(C) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性有关.
(D) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.
解: (A)
本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.
若a1,a2,…,as线性有关,则存在不全为0数c1,c2,…,cs使得
c1a1+c2a2+…+csas=0,
用A左乘等式两边,得
c1Aa1+c2Aa2+…+csAas=0,
于是Aa1,Aa2,…,Aas线性有关.
假如用秩来解,则愈加简朴明了.只要熟悉两个基础性质,它们是:
1. a1,a2,…,as 线性无关Û r(a1,a2,…,as )=s.
2. r(AB)£ r(B).
矩阵(Aa1,Aa2,…,Aas)=A( a1, a2,…,as ),因此
r(Aa1,Aa2,…,Aas)£ r(a1, a2,…,as ).
由此立即可鉴定答案应当为(A).

(14)设A是3阶矩阵,将A第2列加到第1列上得B,将B第1列-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.
(C) C=PTAP. (D) C=PAPT.
解: (B)
用初等矩阵在乘法中作用得出
B=PA ,
1 -1 0
C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.
0 0 1

(22)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1，
ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关解.
① 证明此方程组系数矩阵A秩为2.
② 求a,b值和方程组通解.
解:① 设a1,a2,a3是方程组3个线性无关解,则a2-a1,a3-a1是AX=0两个线性无关解.于是AX=0基础解系中解个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.
又由于A行向量是两两线性无关,因此r(A)³2.
两个不等式阐明r(A)=2.
② 对方程组增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1
(A|b)= 4 3 5 -1 -1 ® 0 –1 1 –5 3 ,
a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0 2 -4 2
® 0 1 -1 5 -3 .
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.

(23) 设3阶实对称矩阵A各行元素之和所有为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T所有是齐次线性方程组AX=0解.
① 求A特性值和特性向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得
Q TAQ=L.
解:① 条件阐明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A特性向量,特性值为3.又a1,a2所有是AX=0讲解明它们也所有是A特性向量,特性值为0.由于a1,a2线性无关, 特性值0重数不小于1.于是A特性值为3,0,0.
属于3特性向量:ca0, c¹0.
属于0特性向量:c1a1+c2a2, c1,c2不所有为0.
② 将a0单位化,得h0=(,,)T.
对a1,a2作施密特正交化,h1=(0,-,)T, h2=(-,,)T.
作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0