2023年GCT数学真题及经典解析.doc

GCT入学资格考试数学基础能力测试试题 （25题，每题4分，共100分） 难度增长：初等数学几何和微积分线性代数和23年考试持平，关键考察计算1. 若则值为（ ）1、 B. C. D.A、 设，则被4除余数是（ ） A. B. C. D.B、 图所示，是内切圆中一种内接正三角形，已知阴影部分面积为1500平方厘米，则正三角形面积等于（ ）平方厘米.A.1900 B. C.2100 D.2200C、 已知数列通项是，则该数列前101项和等于（ ）A.2501 B.2551 C.2601 D.2651D、 三个边长为1正方形拼成图所示图形，图中有两条线段相交锐角为，（ ） A. B. C. D.E、 若则代数式值为（ ） A. B. C. D.F、 设A，B两车分别从甲、乙两地同步出发，沿同一公路相向匀速行驶.两车第一次相遇于距甲地20公里处仍继续前行，当分别抵达乙、甲两地后立即按原速原路返回，途中第二次相遇于距乙地10公里处，则甲、乙两地相距（ ）公里。 A. B. C. D.8. 设O为坐标原点，大小关系图所示，则值是（ ） A. B. C. D.A、 若函数是周期为6奇函数，则值等于（ ） A. B. C. D.B、 若复数，则（ ） A. B. C. D.11.图，面积为9平方厘米正方形在面积为25平方厘米正方形所在平面上移动，一直保持.记线段中点为，中点为，则线段长度是（ ）厘米. A. B. C. D.12.有长为六根细木条，任取其中3根为边可以成一种三角形概率为（ ） A. B. C. D.13.某股民用30000元买进甲乙两种股票，在甲股票跌下10%，乙股票升值8%时所有卖出，赚得1500元，则该股民本来购置甲乙两种股票所用钱数比例为（ ）A2:3 B3:2C1:5 D5:114. 参数方程 x=sin t +cos (t)+2 在xOy平面上表达 y=cos t + sin(t)3曲线是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 15.一种盛满水圆柱形容器，其底面半径为1，母线长3.将该容器在水平桌面上平稳地倾斜使水缓缓流出。当容器中剩余水为本来 时，圆柱母线和水平面所成角等于（ ）A30。 B45。 C60。 D75。 16.当x 3时，下列选项中为无穷小量是（ ）A Bln(3-x)Csin D17.若f(x)在x0处可导，且f(x0)=a, f(x0)=b,而|f(x)|在x0处不可导，则（ ）Aa=0, b=0 Ba=0, b0 Ca0, b=0 Da0, b0 18.若方程xelnxk=0在（0,1上有解，则k最小取值为（ ）A-1 B C1 De 19.若函数y（x）=，,则 =A0 B1 C D4e A、 若是xf(x)一种原函数，则=（ ）A-1 B C D1 B、 设f(x)在0,2上单调持续，f(0)=1,f(2)=2,且对任意x1,x20,2,总有f(),g(x)s是f(x)反函数，P=，则（ ） A0 P 1 B1 P 2 C2 P 3 D3 P 4C、 在（x1,x2,x3）展开式中，x2x3 项系数是（ ）A4 B2 C2 D13 D、 对任意n阶矩阵A，B，C，若ABC=E（E是单位矩阵），则下列5式中：（）ACB=E (ii)BCA=E (iii)BAC=E (iv)CBA=E (v)CAB=E恒成立有（ ）个。A1 B2 C3 D4 24.若方程组 有解，则其中a=（ ）A-2 B-1 C1 D2 25.若A=和B=相似，则a=( )A2 B.1 C1 D2 GCT数学真题参照答案1.解析：解法一：（替代法）由，可知；由，可知； 综上，可知，代入，可得，选择D选项。解法二：（特殊值法）令，由，得到；由，得到，于是，选择D选项。解法三：（比例法）在上下同步除以，得到，选择D选项。解法四：（估计法）由，可知是20倍，而是10倍；因此分子是分母10倍以上，而选项中只有D在10倍以上，因此选择D选项。2.解析：解法一：（等比数列法）实际上是一种首项为公比为等比数列前7项和，因此，而，因此余数是1，选择B选项。解法二：（同余法），因此，因此可以得到因此余数是1，选择B选项。3.解析：解法一：根据正三角形性质，设边长为，则其内切圆半径为；设边长为，则其外接圆半径为，因此，得到。因此面积是面积4倍，因此阴影部分是面积3倍，因此面积是 平方厘米。解法二：根据对称性，内切圆和三条边切于三条边中点，将旋转一下，其三个顶点恰好是这三个切点。根据三角形中位线原理，边长是二分之一，因此面积是四分之一。4.解析：解：因此选择C选项。5.解析：解：显然，因此因此，选择D选项。6、解析： 解：由，得到 选择A选项。7、解析： 解：根据题意，画图如下。由于在同一段时间内，行进旅程之比等于速度之比，因此可设全旅程为公里。则从开始到二人在C地相遇时，A走过了20公里，而B走过了公里，因此B和A速度之比就是；同理，当她们第二次相遇时，A走过了公里，而B走过了公里，因此B和A速度之比就是。由于二人在行进过程中速度是不变，因此有，解此方程过程如下：选择D选项。【解析二】设甲、乙两地相距S公里，A从甲到乙，B从乙到甲， 第一次相遇时A行走旅程为20公里，B行走旅程为(S-20)公里， 第二次相遇时A行走旅程为(S+10)公里，乙行走旅程为(2S-10）公里， 她们两次相遇共走了3个全程，由于走3个全程时间相似，故3个全程距离差是1个全程距离差3倍，因此(2S-10)-(S+10)=3(S-20)-20，因此S=50公里。 8、解析： 解法一：（去绝对值法）根据题意，因此，因此，因此，选择D选项。 解法二：（特殊值法）令，得到只有D选项对的。9、解析： 解法一：（函数性质）根据题意，（奇函数在零点处假如有定义则函数值为零），因此因此选择A选项。解法二：（特殊函数法）令，既是奇函数又是偶函数，并且任意一种实数所有是它周期，因此符合题意。因此选择A选项。10、解析： 解：（直接计算法），因此，因此选择C选项。 11、解：（解析几何法）本题用平面几何措施解比较困难，虽然是使用特殊位置法计算也会比较麻烦，因此我们采用解析几何措施来计算。先建立一种平面直角坐标系，将A点设为坐标原点，AD边和AB边分别落在轴和轴上，要使，只需要EF边所在直线垂直于轴即可，如下图所示：显然正方形ABCD边长是5，而正方形EFGH边长是3，于是可以把多种点坐标标出来：设E点坐标是，由于EF垂直于轴，则EH平行于轴，于是得到此外几点坐标分别是：根据线段中点坐标公式，可知M点和N点坐标分别为：，根据平面内两点间距离公式，可以算得：。因此对的答案选择C选项。12、解析：（列举法）从6根细木条中任取3根总数为，能构成三角形状况是共7种状况，因此概率是，选择D选项。13.【答案】C 【解析】设该股民本来购置甲乙两种股票所用钱数比例为， 因此有，解得 。 14.【答案】A 【解析】由已知， ， 故参数方程可化为，是一种认为圆心, 为半径圆。 15.【答案】B 【解析】我们画出此容器横截面图， 是一种长为3宽为2长方形，由于 容器中剩余水为本来，连接AB， 则 AB如下部分水是总水量， AB以上部分水是总水量， 我们将此问题转化为平面图像面积， 由上面分析，长方形容器面积为6， 因此， 因此a=1，又AC平行于桌面，故由于a=1， 故ACE是等腰直角三角形，因此。 16.【答案】D 【解析】当x 3时， ，因此选D。 17.【答案】B 【解析】令，可排除A；令f()； 令，可排除D，故选B。 18.【答案】C 【解析】将原方程化为在(0,1上有解 ,令 ,则交点横坐标即为根， 由于 ，驻点，当 又在区间单调递减，在区间单调递增， 因此是 最小值点，最小值为 ，因此在(0,1上， 因此在(0,1上和总有交点，由于在单调递减，因此k最小值为1。 19.【答案】D 【解析】由于 ，因此 ， 因此 ，选D 20.【答案】C 【解析】.由于，因此 ，因此 ， 21.【答案】A 【解析】由已知 是0,2上凸函数， 和g(x)互为反函数，因此它们图像有关y=x对称，g(x)过(1,0)、(2,2)，因此 为、x轴 及x=2所围成图形面积，由于此图像在BC所在 直线(y=2x-2)下方，故，因此。 22.【答案】D 【解析】 =具有 项为和，因此项系数是-4. 23.【答案】B 【解析】 ，(ii) 对的； 又，(B) 对的。 24.【答案】A 【解析】对方程组增广矩阵实行行变换： 显然当 即时方程组有解。 25.【答案】D 【解析】由于 A和B相似，由B知A特性值为2、2、0， 有两个线性无关非零解，即，对A作行变换得：