数学物理方程调和省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程第四章第四章 调和方程调和方程1 方程建立和定解条件 2 格林公式、调和函数及其基本性质 3 格林函数 4 用电象法求解特殊区域狄氏问题 第1页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程二、拉普拉斯方程边值问题提法1 第一边值问题（狄氏问题）2 第二边值问题（牛曼问题）3、狄氏外问题4、牛曼外问题1 方程建立和定解条件调和函数：含有二阶偏导数而且满足拉普拉斯方程连续函数。一、方程建立第2页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程三、泊松方程边值问题泊松方程边界条件定义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，组成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，组成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，组成第三边值问题第3页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 1奥高公式 设 及 和 是在 上连续，在 内有连续偏导数任意函数,则有以下奥-高公式其中 是 在 点 处外法向量 2 格林公式、调和函数及其基本性质一、格林公式第4页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 2格林第一公式 在上述奥-高公式中令 ，注意到显然恒等式：我们就有以下格林第一公式或第5页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 3格林第二公式格林第二公式 在上述格林第一公式中，交换 位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。然后两式消减，我们就得到格林第二公式：原有第6页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程由物理学家狄拉克首先引进用以讨论物理学中一切点量质点点电荷瞬时力脉冲等定义 d d 函数是指含有以下性质函数：4 4、d d 函数第7页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程如对一维问题:设在无穷直线上 区间内有均匀电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图，则电荷密度函数为物理意义：集中量密度函数若 f(x)在 内连续，由中值定理有对于 有第8页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程对于 在 连续，有或者表示是任意阶可微函数极限，通常意义下没有意义，只在积分运算中才有意义。当 时，得到点电荷密度函数此积分应了解为第9页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 相关d d 函数等式应该在积分意义下了解。第10页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程令两边微商，得因为由傅里叶逆变换，得拉普拉斯变换对二、三维一样有 函数 二维：处有一个单位点电荷，密度分布函数为 三维：处有一个单位点电荷，密度分布函数为 第11页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程求证：，其中 证实:要证实 ，就是要证实积分意义下例例第12页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 当 时，有三式相加，可得第13页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 当 时，不可导，将 V 取为整个三维空间第14页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程令 ，上式积分与 a 无关从而有所以即第15页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程二、泊松方程基本积分公式建立点源泊松方程奇异，不能化为面积分。在 V 中 点挖掉半径 小球 。小球边界 。第16页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程在 ，。和连续。第17页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程这么，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程基本积分公式。基本积分公式。令f=0,即得调和方程基本积分公式：基本积分公式：调和函数在区域内任一点值能够经过积分表示式用这个函数在区域边界上值和边界上法向导数来表示。第18页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程1、调和方程基本解三、调和函数基本性质2、调和方程基本积分表示式第19页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程3、牛曼内问题有解必要条件4、平均值公式（定理）5、极值原理取 狄氏问题解唯一确定，牛曼问题解除了相差一常数外也是唯一确定。6、拉普拉斯方程解唯一性问题调和函数最大、最小值只能在边界上到达第20页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程 3 格林函数若u，v均为调和函数若v不但为调和函数，且满足由格林公式两式相加令则第21页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程对泊松问题对拉普拉斯问题所以求解狄氏问题就转化为求此区域格林函数，即第22页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程4 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解主要困难还在于怎样确定格林函数本身用格林函数法求解主要困难还在于怎样确定格林函数本身 一个详细定解问题，需要寻找一个适当格林函数，对一些详一个详细定解问题，需要寻找一个适当格林函数，对一些详细问题能够给出构建格林函数方法细问题能够给出构建格林函数方法 这方法是基于这方法是基于静电学镜像原理来构建格林函数静电学镜像原理来构建格林函数，所以，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）在区域外找出区域内一点关于边界象点，在这两个点放置适当电荷，这两个电荷产生电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成电位就是所要求格林函数。电象法求格林函数第23页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程物理模型：若在物理模型：若在 处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设负则虚设负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy 上半平面上半平面电位分布也就是本问题格林函数，电位分布也就是本问题格林函数，即为即为 1、上半平面区域拉普拉斯方程第一边值问题求解第24页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程据此可求解上半平面区域定解问题据此可求解上半平面区域定解问题例例1 定解问题：定解问题：【解解】依据第一边值问题，构建格林函数满足依据第一边值问题，构建格林函数满足 处处放置于一个正和一个放置于一个正和一个负负点点电电荷（或点源）荷（或点源）构构建格林函数建格林函数为为 第25页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程边界外法线方向为负轴轴，故有，故有 代入到拉普拉斯第一代入到拉普拉斯第一边值问题边值问题解公式，解公式，则则由由得 或由互易性得到上式称为上半平面拉普拉斯积分公式上式称为上半平面拉普拉斯积分公式第26页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程例例2 在上半空间内求解拉普拉斯方程第一内求解拉普拉斯方程第一边值问题边值问题【解解】构建格林函数构建格林函数满满足足2、上半空间内求解拉普拉斯方程第一边值问题、上半空间内求解拉普拉斯方程第一边值问题依据物理模型和无界区域格林函数能够构建为依据物理模型和无界区域格林函数能够构建为第27页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程为为了把了把代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一第一边值问题边值问题解公式解公式需要先计算需要先计算即即为为 即有 第28页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程代入代入 即得到即得到 这这公式叫作公式叫作半空间拉普拉斯积分半空间拉普拉斯积分第29页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程例3 求解以下定解问题解：第30页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程3、球内格林函数 M0点处点电荷电量 ，M1点处点电荷电量 第31页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程例4球内第一边值问题在球面上第32页数学物理方程数学物理方程第第4 4章章 调和方程调和方程第33页