二维耗散非线性薛定谔方程解的时间衰减估计.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 9 3 0基金项目:吉林省教育厅科学技术研究项目(J J KH 2 0 2 2 0 5 2 7 K J)第一作者:郭佳鑫(1 9 9 9),女,硕士研究生,研究方向为微分方程及其应用.通信作者:李春花(1 9 7 7),女(朝鲜族),博士,副教授,研究方向为微分方程及其应用.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 2 8 3-0 5二维耗散非线性薛定谔方程解的时间衰减估计郭佳鑫,李春花(延边大学 理学院,吉林 延吉 1 3 3 0 0 2)摘要:研究了一类二维耗散非线性薛定谔方程初值问题解的时间衰减估计,其中非线性项为 vp-1v,为复常数,并且满足强耗散条件22.关键词:非线性薛定谔方程;初值问题;强耗散;Lq时间衰减估计中图分类号:O 1 7 5.2 9 文献标志码:AT i m e d e c a y e s t i m a t e s o f s o l u t i o n s t o d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s i n t w o s p a c e d i m e n s i o n sGUO J i a x i n,L I C h u n h u a(C o l l e g e o f S c i e n c e,Y a n b i a n U n i v e r s i t y,Y a n j i 1 3 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:T i m e d e c a y e s t i m a t e s o f s o l u t i o n s t o t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m o f n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s i n t w o s p a c e d i m e n s i o n s w e r e s t u d i e d,w h e r e t h e n o n l i n e a r t e r m w a s vp-1v,w a s a c o m p l e x c o n s t a n t a n d s a t i s f i e d t h e s t r o n g d i s s i p a t i v e c o n d i t i o n 22.K e y w o r d s:n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s;i n i t i a l v a l u e p r o b l e m;s t r o n g d i s s i p a t i o n;Lq-t i m e d e c a y e s t i m a t e s0 引言本文考虑如下二维耗散非线性薛定谔方程的初值问题:i tv+12v=vp-1v,v(0,x)=(x).(1)其中:v是未知的复值函数,xR2,t0,=1+i2,1R,2R,1p2.若20,则称20为耗散条件;若20,2p-12p1,则称20,2p-12p1为强耗散条件.目前,已有较多学者在耗散条件下对非线性薛定谔方程初值问题(1)解的L2时间衰减估计和L延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 时间衰减估计进行了研究1-1 0,其中部分研究是在强耗散条件下进行的.例如:文献7的作者研究了一维强耗散非线性薛定谔方程初值问题(1)解的长时间渐近行为;文献8的作者利用不同的方法研究了文献7 中的初值问题解的时间衰减估计,并改进了文献7 中初值问题解的L时间衰减估计中的p值下界;文献9 的作者在临界和亚临界条件下(p(n)0.4)定 义R2上 的 勒 贝 格 空 间Lq(R2)范 数 为Lq(R2)=R2(x)qdx 1/q(1 q),L(R2)=e s s.xR2s u p(x).5)设m,s0,r1,定义R2上的加权索伯列夫空间Hm,sr(R2)为:Hm,sr(R2)=fS(R2):fHm,sr(R2)=(I-)m/2(1+x2)s/2fLr(R2),其中S(R2)为速降函数空间.6)定义R2上的函数空间X1,T(R2)为:X1,T(R2)=y;U(-t)yC(0,T);H0,1(R2)H1,0(R2),yX1,T(R2),其中yX1,T(R2)=s u p0t0.为了书写方便,本文对一些符号做了简化,即令fLq(R2)=fLq,q1,Hm,s2(R2)=Hm,s,Hm,0=Hm,同时用同一个C表示常数.2 主要结果及其证明定理1设n=2,p1,且强耗散条件(22,1.7 8 0 83+1 74p2时,初值问题(1)的解满足v(t)Lq C(1+t)2q-1+(1-1p-1)的时间衰减估计,其中t0,2-pp-11q,01.为了证明定理1,本文首先引入如下引理.482 第4期郭佳鑫,等:二维耗散非线性薛定谔方程解的时间衰减估计引理19设vX1,是初值问题(1)的全局解,则v满足如下的估计:?v(t)L2?L2,J v(t)L2xL2,v(t)L2L2.引理21 1设q、r、j、m满足1q,r,0jm.如果fHm,0r(Rn)Lq(Rn),则有:(-)j/2fLp(Rn)C(-)m/2faLr(Rn)f1-aLq(Rn),(2)其中1p=jn+a(1r-mn)+1-aq,ajm,1,C是仅和q、r、j、m、n、a有关的常数.如果m-j-nr是非负整数,则上述估计仅对 ajm,1)成立.定理1的证明 由文献9 中定理1可知,初值问题(1)存在唯一全局解vX1,.下面证明解v的时间衰减估计.对式(1)两端作用U(-t)可得:U(-t)(i tv+12v)=U(-t)(vp-1v).(3)对式(3)左端的U(-t)(i tv+12v)进行计算可得U(-t)(i tv+12v)=i t(U(-t)v).对式(3)右端的U(-t)(vp-1v)进行计算可得U(-t)(vp-1v)=U(-t)(vp-1v).对上式右端应用U(-t)=M-1F-1D-1tM-1可得U(-t)(vp-1v)=M-1F-1D-1tM-1(vp-1v).令u(t)=U(-t)v(t),即v(t)=U(t)u(t),由 此 可 得i tu=M-1F-1D-1tM-1(U(t)up-1U(t)u).在 上 式 右 端 应 用U(t)=MDtF M 可得i tu=M-1F-1D-1tM-1(MDtF Mup-1MDtF Mu),即i tu=M-1F-1D-1t(DtF Mup-1DtF Mu).于是再由(Dt)(x)=1it(xt)可得i tu=t-(p-1)M-1F-1(F Mup-1F Mu).将上式作用F 后,将u(t)=U(-t)v(t)代入其中可得:i t(FU(-t)v)=t-(p-1)F M-1F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)=t-(p-1)FU(-t)vp-1FU(-t)v+F M-1F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)-(4)FU(-t)vp-1FU(-t)v=t-(p-1)FU(-t)vp-1FU(-t)v+R(t),其中R(t)=t-(p-1)F M-1F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)-FU(-t)vp-1FU(-t)v.引理3设vX1,是 初 值 问 题(1)的 全 局 解,则 对 于t 1,有 估 计R(t)LqC t-(p-1)-s2/2xpL2成立,其中q=2s2,0s21.证明 对R(t)进行计算后R(t)可表示为:R(t)=t-(p-1)(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)-FU(-t)vp-1FU(-t)v+F(M-1-1)F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v).由引理1和引理2可得R(t)中(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)-FU(-t)vp-1FU(-t)v的Lq范数满足如下估计:(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)-FU(-t)vp-1FU(-t)vLq C(F MU(-t)vp-1L+FU(-t)vp-1L)F(M-1)U(-t)vLq CJ vp-1L2?s1F(M-1)U(-t)vL2C t-s2/2J vp-1L2xs1+s2U(-t)vL2 C t-s2/2J vpL2C t-s2/2xpL2,(5)其中0s11,s1+s2=1,q=2s2.用同样的方法可得R(t)中F(M-1-1)F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)的Lq范数满足如下估计:F(M-1-1)F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)Lq582延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 C?s1F(M-1-1)F-1(F MU(-t)vp-1F MU(-t)v)L2 C t-s2/2?s1+s2F MU(-t)vp-1F MU(-t)vL2(6)C t-s2/2F MU(-t)vp-1L?F MU(-t)vL2C t-s2/2J vpL2C t-s2/2xpL2,其中0s11,s1+s2=1,q=2s2.将式(5)和(6)代入到R(t)中可得R(t)LqC t-(p-1)-s2/2xpL2,由此可知引理3得证.由式(4)可得12tFU(-t)v2=(I m)t-(p-1)FU(-t)vp+1+I m(R(t)FU(-t)v),因此有:tFU(-t)v-(I m)t-(p-1)FU(-t)vpC R(t).(7)由于方程(I m)-1tp-1H-pdH-dt=0,因此求解此方程可得:H(t,)=()L()p-1t2-p+Lp-1)1/(p-1),(8)其中L=2-pI m(p-1)1/(p-1).在式(7)左、右两端同时乘以H-p可得:t(H-pFU(-t)v)I m t-(p-1)(p H-1FU(-t)v-(H-1FU(-t)v)p)+C H-pR(t).(9)于是再由Y o u n g不等式AB1pAp+1p Bp(1p+1p=1)可得:pH-1FU(-t)v=(p1/pH-1FU(-t)v)p1-1/p(H-1FU(-t)v)p+(p-1p)p.将上式应用到式(9)中可得d(H-pFU(-t)v)(p-1p)pI m t-(p-1)dt+CH-pR(t)dt.对上式从1到t进行积分后再将式(8)代入其中可得:H-p(t,)FU(-t)v(t,)H-p(1,)FU(-t)v(1,)+C t2-p+Ct1s(2-p)pp-1R(s,)ds.由上式可得FU(-t)v(t,)CHp(t,)(t2-p+t1s(2-p)pp-1R(s,)ds).由于 Hp(t,)C t-(2-p)()/()Lp-1t2-p+1)1/(p-1),因此可得:FU(-t)v(t,)C t-(2-p)t-(2-p)p-1()1-(t2-p+t1(2-p)pp-1R(,)d)C()1-(t-(2-p)p-1+t-(2-p)p-1-(2-p)t1(2-p)pp-1R(,)d),其中02,01,0s1.经过计算可得当t+时,t2-pp-1-(p-1)-s22+10成立,其中p满足1.7 8 0 83+1 74p2,故有FU(-t)v(t)LqC t-(2-p)p-1=C t(1-1p-1).682 第4期郭佳鑫,等:二维耗散非线性薛定谔方程解的时间衰减估计另外,由U(t)=MDtF M可得v(t)Lq MDtFU(-t)v(t)Lq+MDtF(M-1)U(-t)v(t)Lq.对上式右侧的第2项进行计算可得MDtFU(-t)v(t)Lq=t2q-1FU(-t)v(t)Lq.于是再应用引理3的证明方法可得MDtF(M-1)U(-t)v(t)Lq=t2q-1F(M-1)U(-t)v(t)LqC t2q-1-1qxL2,q=2s2,0 s2 1.基 于 该 结 果 可 进 一 步 得v(t)LqC t2q-1(t(1-1p-1)+t-1qxL2)C t2q-1+(1-1p-1),其中2-pp-11q,1.7 8 0 83+1 74p2,01.定理1证毕.参考文献:1 K I TA N,S H I MOMUR A A.A s y m p t o t i c b e h a v i o r o f s o l u t i o n s t o S c h r d i n g e r e q u a t i o n s w i t h a s u b c r i t i c a l d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r i t yJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 0 7,2 4 2(1):1 9 2-2 1 0.2 OGAWA T,S A TO T.L2-d e c a y r a t e f o r t h e c r i t i c a l n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n w i t h a s m a l l s m o o t h d a t aJ.N o n l i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 2 0,2 7:1 8.3 S A T O T.L2-d e c a y e s t i m a t e f o r t h e d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n i n t h e G e v r e y c l a s sJ.A r c h i v d e r M a t h e m a t i k,2 0 2 0,1 1 5(5):5 7 5-5 8 8.4 K I TA N,S A T O T.O p t i m a l L2-d e c a y o f s o l u t i o n s t o a n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n w i t h s u b-c r i t i c a l d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r i t yJ.N o n l i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 2 2,2 9:4 1.5 K I TA N,S A T O T.O p t i m a l L2-d e c a y o f s o l u t i o n s t o t h e d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n i n h i g h e r s p a c e d i m e n s i o n sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 2 3,3 5 4:4 9-6 6.6 KA T AYAMA S,L I C H,S UNA GAWA H.A r e m a r k o n d e c a y r a t e s o f s o l u t i o n s f o r a s y s t e m o f q u a d r a t i c n o n l i n-e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s i n 2 DJ.D i f f e r e n t i a l I n t e g r a l E q u a t i o n s,2 0 1 4,2 7(3/4):3 0 1-3 1 2.7 K I TA N,S H I MOMUR A A.L a r g e t i m e b e h a v i o r o f s o l u t i o n s t o S c h r d i n g e r e q u a t i o n s w i t h a d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r i-t y f o r a r b i t r a r i l y l a r g e i n i t i a l d a t aJ.J o u r n a l o f t h e M a t h e m a t i c a l S o c i e t y o f J a p a n,2 0 0 9,6 1(1):3 9-6 4.8 J I N G Z,J I N Y F,L I C H.T h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m f o r n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s w i t h a d i s s i p a t i v e n o n l i n-e a r i t y i n o n e s p a c e d i m e n s i o nJ.J o u r n a l o f E v o l u t i o n E q u a t i o n s,2 0 1 6,1 6(4):9 8 3-9 9 5.9 HAYA S H I N,L I C H,NAUMK I N P I.T i m e d e c a y f o r n o n l i n e a r d i s s i p a t i v e S c h r d i n g e r e q u a t i o n s i n o p t i c a l f i e l d sJ.A d v a n c e s i n M a t h e m a t i c a l P h y s i c s,2 0 1 6,2 0 1 6:3 7 0 2 7 3 8.1 0 L I U X,Z HAN G T.M o d i f i e d s c a t t e r i n g f o r t h e o n e-d i m e n s i o n a l S c h r d i n g e r e q u a t i o n w i t h a s u b c r i t i c a l d i s s i p a t i v e n o n l i n e a r i t yJ.J o u r n a l o f D y n a m i c s a n d D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 2 3.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 0 0 7/s 1 0 8 8 4-0 2 3-1 0 2 7 2-4.1 1 HAYA S H I N,NAUMK I N P I.A s y m p t o t i c s f o r l a r g e t i m e o f s o l u t i o n s t o t h e n o n l i n e a r S c h r d i n g e r a n d H a r t r e e e q u a t i o n sJ.Am e r i c a n J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s,1 9 9 8,1 2 0(2):3 6 9-3 8 9.782