2022年专升本高数知识点1-10章全.doc

2022年专升本高数知识点汇总1-10章全

第一章 函数、极限和连续
【考试要求】
一、函数
1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．
2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．
3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．
4．掌握函数的四则运算与复合运算．
5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．
6．了解初等函数的概念．
二、极限
1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．
2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．
3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（，，）时函数的极限．
4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．
5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．
6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．
7．熟练掌握分段函数求极限的方法．
三、连续
1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．
2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．
3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．
4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．
5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．
【考试内容】
一、函数
（一）函数的概念
1．函数的定义：设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为，，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域．
说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“”、“”、“”等，相应的，函数可记作，，等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作，这一点应特别注意．
2．函数的解析（公式）表示法
（1）函数的显式表示法（显函数）：形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如，等．
（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式．
说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．
（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如
是由两个解析式表示的定义域为的一个函数．
（4）由参数方程确定的函数：如果自变量与因变量的关系是通过第三个变量联系起来 （为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 表示的图形即为圆心在原点，半径为的圆．
（二）函数的几种特性
1．有界性
设函数的定义域为，数集，如果存在正数，使得对任一都成立，则称函数在上有界．如果这样的不存在，就称函数在上无界．
说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数是函数的一个界，则比大的数都是函数的界．
2．单调性
设函数的定义域为，区间．如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调增加的；如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．
3．奇偶性
设函数的定义域关于原点对称．如果对于任一，恒成立，则称为偶函数．如果对于任一，恒成立，则称为奇函数．例如：、都是偶函数，、是奇函数，而则为非奇非偶函数．
偶函数的图形关于轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．
说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证．
4．周期性
设函数的定义域为．如果存在一个正数，使得对于任一有，且恒成立，则称为周期函数，称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数、都是以为周期的周期函数，函数是以为周期的周期函数．
（三）函数的运算
1．和差积商运算
设函数，的定义域依次为，，，则我们可以定义这两个函数的下列运算：
（1）和（差）：，；
（2）积：，；
（3）商：，．
2．反函数（函数的逆运算）
对于给定的是的函数，若将当作自变量而当作因变量，则由关系式所确定的函数称为函数的反函数，记为，叫做直接函数．
若直接函数的定义域为，值域为，则反函数的定义域为，值域为．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线对称．
3．复合函数（函数的复合运算）
设函数的定义域为，函数的定义域为，且其值域，则由下式确定的函数，称为由函数与函数构成的复合函数，它的定义域为，变量称为中间变量．
说明：与能构成复合函数的条件是函数的值域必须含在函数的定义域内，即，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．
（四）基本初等函数与初等函数
1．基本初等函数
幂函数：（是常数）；
指数函数：（且）；
对数函数：（且，特别当时记为）；
三角函数：，，，，，；
反三角函数：，，，．
以上五类函数统称为基本初等函数．
说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．
（1）反正弦函数：是由正弦函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．
（2）反余弦函数：是由余弦函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．
（3）反正切函数：是由正切函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．
（4）反余切函数：是由余切函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．
2．初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：，，，等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．

二、极限
（一）数列的极限
1．数列极限的定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（）．如果不存在这样的常数，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在．
说明：数列极限中自变量的趋向只有一种，即，虽然含义表示正无穷，但不要写做，注意与函数极限的区别．
2．收敛数列的性质
性质（1）：（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一．
性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界．
说明：对于数列，如果存在正数，使得对一切，都有，则称数列是有界的，否则称数列是无界的．
性质（3）：（收敛数列的保号性）如果，且（或者），那么存在正整数，当时，都有（或）．
（二）函数的极限
1．函数极限的定义
（1）时函数的极限：设函数在点的某个去心邻域内有定义．如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）．
说明：函数的左极限或；右极限或；左极限与右极限统称单侧极限．函数当时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即．
（2）时函数的极限：设函数当大于某一正数时有定义．如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）．
说明：此定义包含和两种情况．
2．函数极限的性质（以为例）
性质（1）：（函数极限的唯一性）如果存在，那么这极限唯一．
性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果，那么存在常数和，使得当时，有．
性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果，且（或），那么存在常数，使得当时，有（或）．
（三）极限运算法则
1．如果，，则有
（1）；
（2）；
（3），其中；
（4），其中为常数；
（5），其中为正整数．
2．设有数列和，如果，，则有
（1）；
（2）；
（3），其中（）且．
3．如果，而，，则．
4．复合函数的极限运算法则：设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则．
说明：本法则以为例，其他趋向下亦成立．
（四）极限存在准则
1．准则 如果数列、及满足下列条件：
（1）从某项起，即，当时，有，
（2），，
那么数列的极限存在，且．
准则 如果函数、及满足下列条件：
（1）当（或）时，，
（2），，
那么存在，且等于．
说明：准则及准则称为夹逼准则．
2．准则 单调有界数列必有极限．
准则 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）
（五）两个重要极限
1．，可引申为，式中不管自变量是哪种趋向，只要在此趋向下即可（或时亦成立）．
2． 或 ，可引申为（或时亦成立）或（或时亦成立）．
说明：数列亦有第二种极限形式，即．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．
（六）无穷小和无穷大
1．定义
（1）无穷小的定义：如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小．
说明：以后我们再提到无穷小时，把数列当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量的某一趋向下才有意义．
（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，则称函数为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．
说明：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小且，则为无穷大．
2．无穷小的比较
设，均为自变量同一趋向下的无穷小，且，
（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记作；
（2）如果，则称是比低阶的无穷小；
（3）如果，则称与是同阶无穷小；
（4）如果，则称与是等价无穷小，记作；
（5）如果，，则称是关于的阶无穷小．
3．无穷小的性质
（1）有限个无穷小的和是无穷小．
（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．
（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．
（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设，，，均为自变量同一趋向下的无穷小，且，，存在，则（表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．
说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．
时，可引申为时，；
时，可引申为时，；
时，可引申为时，；
时，可引申为时，；
时，可引申为时，；
时，可引申为时，；
时，可引申为时，．
三、连续
（一）连续的概念
1．连续的定义
连续性定义（1）：设函数在点的某一邻域内有定义，如果
，
则称函数在点连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．
连续性定义（2）：设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点连续．
2．左连续、右连续及区间连续
（1）左连续：存在且等于，即；
（2）右连续：：存在且等于，即；
（3）区间连续：若函数在区间每一点都连续，则称为该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．
说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
（二）函数的间断点
1．定义：设函数在点的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：
（1）在处没有定义；
（2）虽在处有定义，但不存在；
（3）虽在处有定义，且存在，但，
则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点．
2．分类：
（1）第一类间断点：如果是函数的间断点，但左极限和右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点．时称为可去间断点，时称为跳跃间断点．
（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．
（三）闭区间上连续函数的性质
1．有界性与最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．
2．零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使得．
3．介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得（）．

【典型例题】
【例1-1】求复合函数．
1．设，求．
解：求就是用代替然后化简，得
．
2．设 ，，求．
解：当即时，，
当即时，，
故 ．
【例1-2】求函数的定义域．
1．．
解：由可得，即；由可得，即，；由可得，即，故原函数的定义域为三部分的交集，即．
2．．
解：由可得，即；由即可得且；由可得，，故原函数的定义域为三部分的交集，即为．
【例1-3】判断函数的奇偶性．
1．设和为任意函数，定义域均为，试判定下列函数的奇偶性．
（1）
解：由奇偶性的判定可知，与均为偶函数，故其和亦为偶函数．
（2）
解：由奇偶性的判定可知，为奇函数，为偶函数，故其和为非奇非偶函数．
2．判定函数的奇偶性．
解：因
，故原函数为奇函数．
【例1-4】计算下列极限．
1．．
解：当时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：
．
2．．
解：因，并且，，故原极限值为．（夹逼准则）
3．．
解：．
4．．
解：．
【例1-5】计算下列极限．
1．．
解：当时，为无穷小，虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得．
说明：本极限与意义是一样的．
2．．
解：

．
说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：
．
3．．
解：因当时，，，
故 ．
说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：
．
4．．
解：（时，）．
5．．
解：．
6．．
解：
．
【例1-6】已知是多项式，且，，求．
解：利用前一极限式可令，
再利用后一极限式，得 ，则 ，，
故．
【例1-7】当时，比较下列无穷小的阶．
1．比．
解：因 ，故与是同阶无穷小．
2．比．
解：因 ，故是比高阶的无穷小．
3．比．
解：因
，故与是等价无穷小．
4．比．
解：因 ，
故是比低阶的无穷小．
说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解．
【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．
1． 在处的连续性．
解：因，，
，从而，故函数在处不连续．
2． 在处的连续性．
解：因，，
，从而，故函数在处连续．
【例1-9】当常数为何值时，函数 在处连续？
解：因，，
，故由连续性可得，，即，故．
【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型．
1． ．
解：所给函数在处无定义，故是间断点．又，，故是的第二类间断点．
2． ．
解：所给函数在（）处无定义，故、（）是间断点．又，故是第一类间断点，且是可去间断点；，故是第二类间断点，且是无穷间断点．
3． ．
解：所给函数在处无定义，故是间断点．又，，故是的第一类间断点且是跳跃间断点．
4． ．
解：该题是分段函数的连续性问题，因时是初等函数，故在时是连续的，所以该题主要考虑分界点处的连续性．
由，，可知是的第一类间断点且是跳跃间断点．
【例1-11】证明方程在区间内至少有一个根．
证：函数在闭区间上连续，又，，根据零点定理，在内至少有一点，使得，即 （），该等式说明方程在区间内至少有一个根是．
【例1-12】证明方程至少有一个小于的正根．
证：由题意，函数在区间上连续，又，，根据零点定理，在内至少有一点，使得，即 （），该等式说明方程在区间内至少有一个小于的正根．

【历年真题】
一、选择题
1．（2010年，1分）函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：因 ，故 ， ，所以
，故选（D）．
2．（2010年，1分）极限等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：，故选（D）．
3．（2009年，1分）极限（ ）
（A） （B） （C） （D）不存在
解：，故选（A）．
4．（2009年，1分）若 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）不存在
解：因 ，，
，故不存在，选（D）．
5．（2009年，1分）是函数的（ ）
（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点
解：因 ，故是函数的可去间断点，选（B）．
6．（2008年，3分）设 ，则等于（ ）
（A） （B）不存在 （C） （D）
解：，故选（D）．
7．（2008年，3分）当时，是的（ ）
（A）高阶无穷小 （B）同阶无穷小，但不等价
（C）低阶无穷小 （D）等价无穷小
解：因 ，故选（B）．
8．（2007年，3分）当时，是（ ）
（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）与同阶的无穷小 （D）与等价的无穷小
解：因 ，故选（C）．
9．（2006年，2分）设 ， ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：当时，；
当时，，故选（C）．
10．（2005年，3分）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：由，得，选（C）．
11．（2005年，3分）设是无穷大，则的变化过程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：时，，，；
时，，，；故选（B）．
二、填空题
1．（2010年，2分）若函数 在处连续，则 ．
解：，，
因在点处连续，故，即，．
2．（2010年，2分）是函数的第 类间断点．
解：因 ，故是函数的第一类间断点．
3．（2009年，2分）设 ，，则 ．
解：因 ，故 ，所以 ．
4．（2009年，2分）在处是第 类间断点．
解：因时，， 没有极限，故 是第二类间断点．
5．（2008年，4分）函数的定义域为 ．
解：由题意， ，故原函数的定义域为 ．
6．（2008年，4分）设数列有界，且，则 ．
解：数列可看作特殊的函数，因数列有界，数列为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，．
7．（2008年，4分）函数的反函数为 ．
解：由可得，，，故反函数为 ．
8．（2007年，4分）函数的定义域为 ．
解：由得，，即，所以定义域为．
9．（2007年，4分） ．
解：．
10．（2006年，2分）若函数 在处连续，则 ．
解：，
，
因在处连续，故，即，故．
三、计算题
1．（2010年，5分）求极限 ，其中为常数．
解：．
2．（2010年，5分）求极限 ．
解：．
说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：
．
3．（2009年，5分）求极限 ．
解：此题为“”型的极限，解法如下：
．
4．（2009年，5分）求极限 ．
解：．
5．（2008年，5分）求极限 ．
解：．
6．（2007年，5分）求极限 ．
解：．
说明：时，．
7．（2006年，4分）求极限 ．
解：
．
8．（2006年，4分）设，，求．
解：因时，，，
且 ，，
故
．
9．（2005年，5分）求极限 ．
解：
．

第二章 导数与微分
【考试要求】
1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．
2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．
3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．
4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．
5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数．
6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．
【考试内容】
一、导数
（一）导数的相关概念
1．函数在一点处的导数的定义
设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即
，
也可记作，或．
说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和 ；式中的即自变量的增量．
2．导函数
上述定义是函数在一点处可导．如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在区间内可导．这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数的导函数，记作，，或．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．
3．单侧导数（即左右导数）
根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此存在（即在点处可导）的充分必要条件是左右极限 及 都存在且相等．这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作和，即，．现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等．
说明：如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导．
4．导数的几何意义
函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角．如果在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线．
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程和法线方程分别为：
切线方程：；
法线方程：．
5．函数可导性与连续性的关系
如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导．
（二）基本求导法则与导数公式
1．常数和基本初等函数的导数公式
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ．
2．函数的和、差、积、商的求导法则
设函数，都可导，则
（1） ；
（2）（是常数）；
（3） ；
（4） （）．
3．复合函数的求导法则
设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ．
（三）高阶导数
1．定义
一般的，函数的导数仍然是的函数．我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或 ．相应地，把的导数叫做函数的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作
，，， 或 ，，， ．
函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导．如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．
（四）隐函数的导数
函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：
1．方程两边对求导，求导时要把看作中间变量．
例如：求由方程所确定的隐函数的导数．
解：方程两边分别对求导， ，
得 ， 从而 ．
2．一元隐函数存在定理 ．
例如：求由方程所确定的隐函数的导数．
解：设 ，
则 ．
（五）由参数方程所确定的函数的导数
一般地，若参数方程 确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为 ，上式也可写成 ．
其二阶导函数公式为 ．
（六）幂指函数的导数
一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：
1．复合函数求导法
将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为的形式．
例如：求幂指函数的导数．
解：因 ，故．
2．对数求导法
对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数．
例如：求幂指函数的导数．
解：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得 ，故 ．
二、函数的微分
1．定义：可导函数在点处的微分为 ；可导函数在任意一点处的微分为．
2．可导与可微的关系
函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，即可微必可导，可导必可微．
3．基本初等函数的微分公式
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ．
4．函数和、差、积、商的微分法则
设函数，都可导，则
（1） ；
（2）（是常数）；
（3） ；
（4） （）．
5．复合函数的微分法则
设及都可导，则复合函数的微分为 ．由于，所以复合函数的微分公式也可写成 或 ．
由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式并不改变．

【典型例题】
【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么．
1．．
解：根据导数的定义式，因时，，故
，
即 ．
2．设，其中，且存在．
解：因，且存在，故
，即．
3．．
解：根据导数的定义式，因时，，故

，即 ．
【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．
1．讨论函数 在处的可导性．
解：根据导数的定义式，
，
，
故在处的左导数，右导数不存在，所以在处不可导．
2．讨论函数 在处的可导性．
解：因 ，
故函数在处可导．
3．已知函数 在处连续且可导，求常数和的值．
解：由连续性，因，，
，从而①
再由可导性，，
，而由①可得，代入，得，再由可得，代入①式得．
【例2-3】已知 ，求．
解：当时，，当时，，当时的导数需要用导数的定义来求．
，
，
，故 ，从而 ．
【例2-4】求下列函数的导数．
1．．
解：

．
2．．
解：

．
3．．
解：

．
4．．
解：

．
【例2-5】求下列幂指函数的导数．
1． （）．
解：

．
说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得
，
故 ．
2． （）．
解：

．
说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得
，
故 ．
【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．
1． （）．
解：等式两边取对数，得，两边对求导，注意是的函数，得
，整理得 ，
则 ．
2． ．
解：等式两边取对数，得 ，
即 ，
也即 ，
两边对求导，注意是的函数，得 ，
故 ．
【例2-7】求下列抽象函数的导数．
1．已知函数可导，求函数的导数．
解：
．
2．设函数和可导，且，试求函数的导数．
解：
．
【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数．
1．．
解：方程两边分别对求导，得 ，
整理得 ，故 ．
说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，
则 ．
2．．
解：方程两边分别对求导，得 ，
整理的 ，故 ．
说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，
则 ．
【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数．
1． ．
解： ．
2． ．
解： ．
【例2-10】求下列函数的微分．
1．．
解：因 ，
故 ．
2．．
解：因 ，
故 ．
3．．
解：因 ，
故 ．
4．．
解：因，
故 ．
【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程．
解：，，故曲线在点处的切线方程为，即 ；法线方程为 即 ．
【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程．
解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有 ，即 ；由导数的几何意义，曲线在点处的斜率为 ，故曲线在点处的切线方程为 ，即 ；法线方程为 ，即 ．
【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程．
解：将代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又，切线斜率为 ，故所求切线方程为 ，即 ；所求法线方程为 ，即 ．

【历年真题】
一、选择题
1．（2010年，1分）已知，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：根据导数的定义，
，选（D）．
2．（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为
，即 ，选（B）．
3．（2010年，1分）设函数在点处不连续，则（ ）
（A）存在 （B）不存在
（C）必存在 （D）在点处可微
解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B）正确．
4．（2009年，1分）若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：

，选项（B）正确．
5．（2008年，3分）函数，在点处（ ）
（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导 （D）连续可导
解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C）正确．
说明：的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．
6．（2008年，3分）设在处可导，且，则不等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：根据导数的定义，选项（C）符合题意．
7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：选项（A），选项（C），
选项（D），故选（B）．
8．（2007年，3分）若可导，且，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：因，故选项（B）正确．
9．（2006年，2分）设，为可导函数，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：，选（B）．
10．（2005年，3分）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：当时，中除项外，其他全为零，故
，选项（A）正确．
11．（2005年，3分）设，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：由可得，，，，
，，对比可知，选项（C）正确．
12．（2005年，3分）（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：，选项（D）正确．
二、填空题
1．（2010年，2分）若曲线在点处的切线平行于直线，则 ．
解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故．
2．（2010年，2分）设，则 ．
解：．
3．（2008年，4分）曲线在点的切线的斜率等于 ．
解：由导数的几何意义可知，切线斜率．
4．（2008年，4分）由参数方程 确定的 ．
解：．
5．（2006年，2分）曲线在点处的切线方程是 ．
解：切线的斜率，故切线方程为，即 ．
6．（2006年，2分）函数不可导点的个数是 ．
解： ，显然，当时，可导；
当时，，
，故 ．
故函数的不可导点的个数为．
7．（2006年，2分）设，则 ．
解：因
，故 ．
三、计算题
1．（2010年，5分）设函数由方程所确定，求．
解：方程两边对求导，考虑到是的函数，得
，整理得 ，
故 ．当时，代入原方程可得，所以
．
说明：当得到后，也可直接将，代入，得
，故 ．
2．（2010年，5分）求函数（）的导数．
解：
．
3．（2009年，5分）设，求．
解：因 ，故
．
4．（2006年，4分）设可导，且，求．
解：
．
5．（2005年，5分）已知 ．
（1）在处连续，求；
（2）求．
解：（1）因 ，故由在处连续可得，，即 ．
（2）当时，；
当时，
．
故 ．
第三章 微分中值定理与导数的应用
【考试要求】
1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．
2．熟练掌握洛必达法则求“”、“”、“”、“”、“”、“”和“”型未定式极限的方法．
3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式