《高等数学》(第三版)教案第五章全.doc

高等数学（第三版）教案第五章全5.1.1空间直角坐标系教学目标：（1）理解空间直角坐标系及其相关概念；（2）记住空间任意位置点的坐标的特征；（3）掌握空间两点间的距离公式。教学重点：（1）空间直角坐标系及其相关概念； （2）空间两点间的距离公式。教学难点：空间任意位置点的坐标的特征。授课时数： 1课时教学过程过程备注引言 介绍本章学习的主要内容。教师讲授3知识回顾高中阶段，我们学习了平面直角坐标系，平面上的点与有序实数组之间建立了一一对应关系于是，平面上的曲线与二元方程相对应例如，图51所示的抛物线与方程相对应；图52所示的椭圆与方程相对应 图51 图52 教师讲授与学生回答相结合6新知识设为空间的任意一点，以点为原点，做相互垂直的三条数轴轴、轴、轴，且它们的正方向构成右手系（图53），这样的坐标系称为空间直角坐标系轴、轴、轴分别称为横轴、纵轴、竖轴每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别称为面、坐标和面 三个坐标平面将空间分为八个卦限（如图54所示） 图53 图54如图55所示，过空间任意一点分别作面、面、面的垂线，垂足分别为、，则称点、分别为点在面、面、面上的投影图 55xyzOMFED由、这三条两两垂直的直线，形成的三个两两垂直的平面分别与轴、轴、轴交于、三点，称、三点分别为点在、坐标轴上的投影若在轴上的坐标为，在轴上的坐标为，在轴上的坐标为，则点与有序数组建立了一一对应关系，称有序数组为点的坐标、分别称为点的横坐标、纵坐标、竖坐标下面讨论空间任意位置点的坐标的特征设点为空间任意一点，则（1）当点M为x、y、z坐标轴上的点时，其坐标分别为，；（2）当点M为坐标原点时，其坐标为；（3）当点M为坐标平面、上的点的时，其坐标分别为，；（4）当点M为八个卦限内点的时，其坐标的符号特征如表51所示： 表51卦限内的点动画演示图5-4，教师讲授结合图形讲解 启发学生完成18知识巩固例1 说明下列各点在空间直角坐标系里的位置：；解 由空间直角坐标系点的坐标特点得：点在轴的负半轴上；点在坐标面上；点在轴正半轴上；点在第四卦限；点在第六卦限 例2 已知点，求点关于三个坐标轴的对称点、关于三个坐标平面的对称点及关于原点的对称点解 关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；关于坐标平面的对称点为；关于坐标平面的对称点为；关于坐标平面的对称点为；关于原点的对称点为教师讲授23知识回顾在平面直角坐标系中，点、间的距离为：点线段的中点，则，提问26新知识同样地，如图图56所示，在空间直角坐标系中，点、间的距离为 （5.1）设点线段的中点，则图56， （5.2）教师讲授30知识巩固例3 已知各顶点的坐标为：、，求三条边的长度及边上的中线长解 由两点间的距离公式得，三边的长分别为： ；边上的中点为，所以边上的中线长为在教师引领下共同完成35练习5.1.1已知点，求（1）点到原点的距离； （2）点关于轴的对称点；（3）点关于平面的对称点； （4）点到轴的距离；（5）点到平面的距离学生课上完成42小结 新知识：空间直角坐标系及其相关概念，空间任意位置点的坐标的特征，空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式。 作业 1. 梳理5.1.1学习的内容；2. 完成高等数学习题集“”。455.1.2空间向量及其坐标表示教学目标：（1）了解空间向量及其相关的概念，了解空间向量坐标表示；（2）会求非零向量的方向角与方向余弦；教学重点：空间向量及其相关的概念，空间向量坐标表示。教学难点：非零向量的方向角与方向余弦的理解。授课时数： 2课时.教学过程过程备注知识回顾中职阶段我们学习了平面向量大家知道，既有大小又有方向的量，称为向量，平面向量用平面的一条有向线段表示在平面直角坐标系中，设x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j，点对应向量（图57），把、分别叫做向量沿x轴、y轴方向的分向量.并把有序实数对叫做向量的坐标.起点A ，终点B 的向量的坐标为 图57 图58教师讲授与学生回答相结合10新知识下面将平面向量的概念拓展到空间用空间有向线段表示的向量叫做空间向量以为起点、为终点的有向线段（如图58）记作（或a）有向线段的长度叫做向量的模，记作（或|a|），有向线段的方向表示向量的方向.模等于的向量称为单位向量. 模等于零的向量称为零向量如果一组向量用同一起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，那么称这组向量共线；否则称不共线如果一组向量用同一起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一个平面内上，那么称这组向量共面；否则称不共面在空间直角坐标系中，设x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j，z轴的单位向量为k，点对应向量（如图59），把、分别叫做向量沿x轴、y轴、z轴方向的分向量.并把并把有序实数对叫做向量的坐标，记作= 图59 在空间中，起点为点，终点为的向量的坐标为 （5.3）因为，所以由公式（5.1）知 （5.4）在空间任取一点，做有向线段，则向量与向量正方向所夹最小正角，称为两向量与的夹角，记作（图510）向量与的夹角的范围是分别用、表示非零向量与轴、轴、轴之间的夹角（如图512所示），设显然有， .图 510 图511非零向量与轴、轴、轴之间的夹角、称为非零向量的三个方向角； 、称为非零向量的三个方向余弦。设，则其坐标表达式分别为; .显然 . (5.5)教师讲授结合图形或事物演示55知识巩固例4 如图512所示，已知点，沿方向的作用力的大小为求力在、轴上的分力 解 设力与、轴正方向的夹角分别为、，由题意得，则，图 512 ，所以 ， ， 因此，力在、轴上的投影分别为，在教师引领下完成65练习5.1.21.设向量与轴、轴、轴之间的夹角分别为、，且方向余弦分别满足:,. 判断向量与坐标轴及坐标平面之间的关系. 2. 已知空间两点与，求向量的坐标、模、方向余弦及方向角.学生课上完成85小结 新知识：空间向量及其相关的概念，空间向量的坐标表示。作业 1.对照平面向量记忆空间向量的相关知识；2.完成高等数学习题集“”。905.2.1向量的线性运算教学目标：（1）掌握用坐标表示进行向量的线性运算；（2）会用两向量共线的条件判断两向量是否共线。教学重点：（1）向量的线性运算； （2）两向量共线的条件。教学难点：数乘向量的概念、向量的运算律的理解。授课时数： 1课时.教学过程过程备注知识回顾高中阶段我们学习过平面向量的线性运算，知道向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，其运算的结果仍为向量教师讲授5新知识平面向量线性运算的概念及法则，对于空间向量依然成立1向量的加法（1）平行四边形法则（见图513）； （2）三角形法则（见图514）；图 514图 5132向量的减法 三角形法则 （见图515）或 （见图516）图 515图 516 3数乘向量 实数与向量的乘积仍是一个向量，记作，它的模是，则 （1）时，与方向一致，且； （2）时，与方向相反， 且； （3）时， ，且 由此不难得到以下结论： 向量与非零向量共线 存在唯一实数，使 4运算律 （1）交换律 ；（2）结合律 ， ；（3）分配律 ， 5. 用坐标表示的向量的线性运算设向量，则（1）； （5.7）（2） （5.8）6.共线向量 设向量，则由 ，可得 （5.9） 教师讲授20知识巩固例1 设向量，求，解 ； 例2 已知向量，且，求、的值解 依题意有 . 解得 ，在教师引领下完成30练习5.2.1设向量，求，,学生课上完成40小结新知识：向量的线性运算，两向量共线的条件。 作业完成高等数学习题集“”。45 5.2.2数量积与向量积教学目标：（1）理解向量的数量积与向量积的概念，并会进行运算；（2）会求两个向量夹角，会判断两个向量是否垂直或平行。教学重点：（1）向量的数量积与向量积的概念及其运算；（2）两个向量夹角，两个向量垂直或平行的条件。教学难点：向量积概念的理解。授课时数： 2课时.教学过程过程备注1数量积新知识平面向量向量数量积的概念可以推广到空间一般地，设、为两个空间向量，它们的模与夹角的余弦之积称为向量与的数量积（或点积、内积），记作 即 （510）对于空间向量，下面几个重要结论同样成立：（1）； （2）； （3）（、为非零向量）空间向量的数量积满足以下运算律：（1）交换律 ； （2）结合律 ；（3）分配律 设有两个向量与，则. （5.11）并有以下重要结论：（1）； （5.12）（2）； （5.13）（3） （5.14）教师讲授10知识巩固例3 已知 ，求（1），；（2）；（3）解 （1），；（2）；（3）例4 设， 求解 ， 而 ，.所以 在教师引领下共同完成20链接软件利用微软高级计算器可以方便的计算向量的数量积计算例3（2）的操作为：（1）在计算器面板点击“线性代数”“内积”，则输入窗格显示“inner(”；（2）利用键盘输入“（-1,2,-3），（-2,1,2）”，再输入“）”；（3）点击“输入”，则在功能区显示出结果：演示25练习 1、已知空间三点：，求（1）与的数量积；（2）与的夹角2、计算以下各组向量的数量积： （1）与； （2）与学生课上完成352向量积的定义新知识设、为两个向量，若向量满足（1）；（2）垂直于、所决定的平面，它的正方向符合右手法则（图517）则向量称为向量与向量积（或叉积、外积），记作，即图 518图517向量积的模，在几何上表示以、为邻边的平行四边形的面积（如图518所示），即 由定义可以得到： （515）向量积满足下列运算律：（1）反交换律 （无交换律）；（2）结合律 ；（3）分配律 设与，则由于 ，因此 .为了帮助记忆，利用二阶行列式，即上式可写成. （5.16）即 （5.17）教师讲授50知识巩固例5 已知，求 解 例6 求以，为顶点的的面积解 由向量的向量积的几何意义知， ，而 ，所以 在教师引领下共同完成65链接软件利用微软高级计算器可以方便的计算向量的向量积（叉积）计算例14，计算的操作为：（1）在计算器面板点击“线性代数”“叉积”，则输入窗格显示“inner(”；（2）按照提示利用键盘向量的坐标；（3）点击“输入”，则在功能区显示出结果：演示70想一想向量的数量积与向量积主要区别为什么？75练习5.2.2.21、已知空间三点：，求（1）与的向量积；（2）的面积2、计算以下各组向量的向量积： （1）与； （2）与学生课上完成85小结新知识：向量的数量积与向量积的概念及其运算，两个向量夹角，两个向量垂直或平行的条件。作业 完成高等数学习题集“”。905.3.1平面的点法式方程教学目标：学会求平面的点法式方程。教学重点：平面的点法式方程的求法。教学难点：建立平面的点法式方程过程的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注知识回顾在立体几何的学习中，我们知道（1）如果直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内的所有直线；（2）过直线上的一个点P，有唯一确定的一个平面与直线垂直教师引领5新知识与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量显然，平面的法向量不是唯一的在空间直角坐标系中，设平面过点，其法向量为，点为平面上任意一点（图519），因为向量平面，平面，所以由向量垂直的充要条件知，而 ， 因此有 图519三元一次方程 （不全为） （518） 称为平面的点法式方程其中向量为平面的一个法向量，点为平面内的一个点教师讲授18知识巩固例1 已知平面过点，其法向量为，求该平面的方程解 由平面的点法式方程得所求平面方程为 ， 即所求平面方程为 例2 求过点且与轴垂直的平面方程（图520）解 取法向量 ，则所求平面方程为 . 即 在教师引领下共同完成28练习5.3.1求满足下列条件的平面方程：（1）过原点且与向量垂直的平面；（2）过点且与向量垂直的平面；（3）过点且与x轴垂直的平面；（4）过原点且与平面平行的平面学生课上完成42小结新知识：平面的点法式方程。作业 1. 通过图 520记忆求平面的点法式方程步骤;2. 完成高等数学习题集“作业”。455.3.2平面的一般式方程教学目标：（1）学会求平面的一般式方程；（2）了解平面的截距式方程，会分析特殊位置的平面的特点；（3）会求点到平面的距离。教学重点：（1）平面的一般式方程； （2） 点到平面的距离。教学难点：分析特殊位置的平面的特点。授课时数：2课时.教学过程过程备注新知识将平面的点法式方程化简，得，其中，为常数.设，则 （不全为） （519）方程（519）称为平面的一般方程 不难看出，若一个平面的方程为，则其一个法向量为教师讲授5知识巩固例3 求过，的平面方程（图521）图 521解 设所求平面方程为 ，则有x解得 ，于是所求平面方程为 ，即 说明 方程反映了平面在坐标轴的截距，称为平面的截距式方程根据截距式方程很容易画出该平面的图像教师讲授15探究分析方程当的系数取特殊值时，平面的对应空间位置发现：当系数时，方程为，法向量为垂直于x轴，故方程表示平行于x轴的平面同样，系数时,方程表示平行于y轴的平面；系数时，方程表示平行于z轴的平面当系数时，方程为，表示经过坐标原点的平面当时，方程为，其法向量为同时垂直于x轴与y轴，即平行于面的平面教师讲授20知识巩固例4 指出下列平面的位置特点： （1）； （2）； （3）； （4）解 （1）方程中，所以方程表示过原点的平面； （2）方程中，所以方程表示过轴的平面； （3）方程中，所以方程表示与坐标面平行的平面； （4）方程中， 所以方程表示平行于轴的平面例5 求满足下列条件的平面方程：（1）经过点和轴；（2）经过点、，且平行于轴；解 （1）设所求平面方程为，又该平面过点，于是有 ，即，所以所求平面方程为 ，由已知分析知，故所求平面方程为（2）设所求平面方程为 ，则解得 ，故所求平面方程为 由已知分析得，因此所求平面方程为 图 522例6 求平面与三个坐标平面所围成的空间立体的体积解 原方程可化为 故平面在x、y、z轴的截距依次为6、4、3（图522）故所求空间立体的体积为 （立方单位）在教师引领下共同完成提问学生完成共同完成62知识回顾在平面解析几何中，我们学习过点到直线的距离公式为：提问65新知识在空间解析几何中，也有类似的点到平面的距离公式： （520）教师讲授70知识巩固例7 求点到平面的距离 解 由点到平面的距离公式得，所求距离为在教师引领下完成75链接软件利用微软高级计算器可以绘制平面的空间图形例如，在绘图选型卡中输入方程，点击作图，则显示平面空间的图形（图523）图523演示80练习5.3.21求满足下列条件的平面方程：（1）过点及轴的平面；（2）过点且与平面平行的平面2求点到平面的距离学生课上完成87小结 新知识：平面的一般式方程，平面的截距式方程，特殊位置的平面的特点，点到平面的距离。作业完成高等数学习题集“作业”。905.4.1空间直线的方程教学目标：（1）知道空间直线一般式方程、点向式方程、参数方程的概念及在表示方法上的不同；（2）会求空间直线的方程。教学重点：求空间直线的方程。教学难点：把直线的参数方程成一般式方程或点向式方程的方法。授课时数： 2课时.教学过程过程备注1直线的一般式方程知识回顾由立体几何知识的学习知道，如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有的公共点的集合是过这个点的一条直线提问5新知识空间直线可以看成为两个平面的交线，因此联立两个平面方程组成的方程组来表示空间直线一般地，由平面与平面相交而成的直线方程可以由方程组 （521）表示，方程组（521）称为直线的一般式方程例如：直线 表示平面与平面的交线教师讲授152直线的点向式方程新知识与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量图 524设已知直线过点，其方向向量为，为直线上任意一点（如图524），则有 ，而 ，于是 （522）方程（522）称为直线的点向式方程说明 当方程（522）中的个别分母为零时，相应的分子也为零例如时，直线方程为 ，此时该方程应理解成直线方程为 再如时，直线方程为 ，此时该方程应理解成直线方程为 教师讲授25知识巩固例1 求下列直线的方程（1）过点，的直线方程；（2）过点，且与直线平行的直线方程；（3）过点，且与平面垂直的直线方程解 （1）取方向向量 ，所求直线方程为 （2）取方向向量，所求直线方程为 （3）因为所求直线与平面垂直，所以取方向向量，所求直线方程为 在教师引领下完成453直线的参数方程新知识如果在方程（522）中，令，就得到直线的参数方程： (为参数) (523)该方程表示过点，且方向向量为教师讲授60知识巩固例2 已知直线：（1）将该方程化为点向式方程和参数方程；（2）求该直线的一个方向向量；（3）求过点且与垂直的平面的方程解 （1）由方程组消去，得 ，解得 由方程组消去，得 ，解得 于是，直线的点向式方程为 令，则直线的参数方程为 (为参数) （2）由直线的点向式方程知，直线的一个方向向量为（3）取，则所求平面方程为，即 教师讲授与学生回答相结合651 求满足下列条件的直线方程：（1）过原点且与向量平行的直线；（2）过点且与平面垂直的直线；（3）过点且与轴平行的直线；2求过点且与直线平行的直线 3求过点且与直线垂直的平面在教师提示下完成85小结 新知识：空间直线的方程。90作业 1.梳理将空间直线方程的三种不同形式互化的思路及步骤。2.完成高等数学习题集“作业”。5.4.2直线与直线位置关系，5.4.3两条直线的夹角教学目标：1 理解判定直线与直线的位置关系；2 知道条直线夹角的概念，学会求两条直线的夹角。教学重点：直线与直线位置关系的判定。教学难点：求两条直线夹角的方法。授课时数：1课时.教学过程过程备注新知识设直线的方向向量，直线的方向向量，则（1）与平行 ，且不过同一点；（2）与重合 ，且过同一点；（3）与垂直 教师讲授5知识巩固例3 判别直线与下列各直线的位置关系： （1）； （2）解 （1）因为 ，且，所以 （2）因为，且，又直线、都过点，所以直线与直线斜交在教师引领下共同完成10练习5.4.2判别直线与下列各直线的位置关系：（1）； （2）；（3）学生课上完成15知识回顾立体几何中曾研究过空间两条直线的夹角对于两条相交直线来说，其夹角是这两条直线相交所成的最小的正角；对于两条异面直线来说，其夹角是经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线的夹角两条直线的夹角范围是提问18新知识和立体几何类似，我们把两直线的方向向量所夹的范围的角称为两直线的夹角两条直线平行或重合时其夹角规定为；两条直线垂直时其夹角为设直线的方向向量，直线的方向向量，与的夹角为则 (524)教师讲授25知识巩固例4 求直线：与直线：的夹角解 由于可化为，所以 ，于是 ，又，所以，即两直线的夹角为在教师引领下共同完成33练习5.4.31求直线：与直线：的夹角2求直线：与直线：的夹角学生课上完成42小结新知识：直线与直线位置关系的判定,两直线夹角的概念及其求法。作业 完成高等数学习题集“作业”与“作业”中的1。455.5.1常见的二次曲面及其方程教学目标： （1）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面（2）认识几种常见的母线平行于坐标轴的柱面及方程；（3）会求球面的方程。教学重点： （1）曲面方程的概念，球面方程的求法；（2）以坐标轴为旋转轴的旋转曲面； （3）几种常见的母线平行于坐标轴的柱面及方程。教学难点： 旋转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等概念的理解。授课时数：3课时.教学过程过程备注实例日常生活中我们经常会看到一些曲面如图525所示：大家熟悉的吃饭用的碗、卫星接收天线、太阳能灶、煮汤的锅、发电厂的散热塔、国家大剧院的屋顶等这些曲面是怎么设计出来的？它们有哪些数学特征？这就是下面要研究的问题 （1） （2） （3） （4） （5） （6）图525教师演示5新知识任何曲面都可以看作点的轨迹如果空间曲面上任意一点的坐标都满足方程，而满足的值都在曲面上，则称为曲面的方程，称曲面为方程的图形若方程是二次方程，则所表示的曲面称为二次曲面我们主要研究几种常见的二次曲面1球面 在空间中，到定点的距离为定长的点的轨迹为球面其中定点称为球心，定长称为半径设点为球心，为半径，为球面上任意一点（如图526），则由，得图 526于是得到球面方程为 （525） 特别地，当球心在原点，半径为时，球面方程为教师讲授15知识巩固例1 已知点、，求以线段为直径的球面方程解 球心为线段的中点，故其坐标为半径为所以，球面方程为 例2 判别方程表示怎样的曲面？解 将原方程配方整理，得 这是球面方程，表示球心在，半径为的球面教师引领下共同完成25链接软件利用微软高级计算器可以画出球面输入例2的方程，可以得到其表示的球面图形（图527）图527演示302母线平行于坐标轴的柱面 新知识将一直线沿某一给定的平面曲线平行移动，直线的轨迹形成的曲面，称为柱面其中，动直线称为柱面的母线，曲线称为柱面的准线下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面设柱面的准线是面上的曲线，柱面的母线平行于轴，在柱面上任取一点，过点做平行于轴的直线，交曲线于点（如图528）故点的坐标满足方程，由于方程不含变量，而点与有相同的横坐标与纵坐标，所以点的坐标也满足此方程，因此，方程就是母线平行于轴的柱面方程例如，方程表示母线平行于轴，在面上的准线为的柱面（平面）方程，如图529所示可以看出，母线平行于轴的柱面的方程中不含变量yxzoCL11图 529yxzoLC图 528同理，不含的方程或不含的方程，分别表示母线平行于轴或轴的柱面方程方程表示母线平行于轴，准线为平面上的圆的柱面方程此柱面称为圆柱面（如图530）；方程表示母线平行于轴，准线为平面上的椭圆的柱面方程称为椭圆柱面（如图531）；方程表示母线平行于轴，准线为平面上的抛物线的柱面方程称为抛物柱面（如图532）图 532图 530图 531下面将几种常见的柱面及方程（以母线平行于轴为例）列表如下表 52名称圆柱面椭圆柱面抛物柱面双曲柱面准线柱面图象动画演示柱面的形成教师讲授50练习5.5.1.11指出下列方程所表示的曲面名称及其主要特征：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）2求到点距离为2的点的轨迹3利用微软高级计算器画出第1题中的6个方程所表示的曲面4利用微软高级计算器画出方程所表示的曲面（此曲面称为双曲抛物面，俗称“马鞍面”）在教师提示下完成653旋转曲面新知识平面内曲线绕该平面内某定直线旋转所形成的曲面，称为旋转曲面（图533）其中，动曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的旋转轴 图533某一个坐标平面内曲线可以用一个方程组来表示例如面上的曲线，表示为我们仅讨论以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 将面上的曲线C：绕轴旋转一周，就得到一个以z轴为旋转轴的旋转曲面（图533）设为曲线C上的任一点，则 （1）当曲线C绕轴旋转时，点绕轴旋转到点，这时保持不变，且点M到z轴的距离将，代入方程（1），得到曲线C：绕轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为 （5.27）同样可以得到，将面上的曲线绕轴旋转一周，所就得旋转曲面的方程为