《高等数学》(第三版)教案第七章全.doc

《高等数学》（第三版）教案第七章全
7.1.1 级数的概念

教学目标：
（1）学习无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和等概念；
（2）掌握级数的基本性质，熟记几何级数的敛散性；
（3）会用级数的概念及基本性质判断一些级数的敛散性；
教学重点：
（1）无穷级数的概念及基本性质；
（2）判断一些级数的敛散性。
教学难点：
无穷级数的概念及基本性质的正确应用。
授课时数：1课时
教学过程

过程
备注
引言
介绍本章学习的主要内容。
教师讲授
3′
知识回顾
在等比数列中，当公比时，前n项和为
.
叫做一般项或通项.
引导学生回答
6′
新知识
无穷数列的各项和（即所有项的和）
，
叫做无穷级数，简称级数．记作.即
．
其中第n项叫做级数的一般项或通项.
例如，级数,的一般项是.
如果是常数，那么级数叫做常数项级数，如果是变量(或其他变量)的函数，那么级数叫做函数项级数．例如，级数，级数都是常数项级数；而级数，级数都是函数项级数.
首先研究常数项级数．
级数的前项之和叫做级数的部分和．如果当时，有极限，即
，
那么，称级数收敛，并把极限值叫做这个级数的和.即
．
如果当时，的极限不存在，那么称这个级数发散.

教师讲授

15′

知识巩固
例1 判别级数是否收敛．若收敛求其和.
解 这个级数是公比为的等比数列的各项和，叫做等比级数．其部分和为
，
所以 .
因此，级数收敛，其和为．
说明：等比级数，当时，
.
故级数收敛，且其和为；当时，级数发散.
例2 判别级数的敛散性.
解 级数的部分和为
，
因为 ，
所以级数发散.

在教
师引
领下
共同
完成

22′
新知识
利用极限的性质可以得到级数下列面性质(证明略).
性质 1 如果级数收敛，其和为S，那么级数也收敛，其和为（C为常数）.
性质2 如果级数与级数都收敛，其和分别为和，那么级数也收敛，其和为.
性质 3 如果一个级数收敛，那么去掉、加上或改变有限项得到的级数仍然收敛．

教师讲授

26′
知识巩固
例3 判别级数是否收敛，如果收敛，求出级数的和.
解 级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为
，
级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为
，
因此级数收敛，并且和为.

在教
师引
领下
共同
完成

30′
链接软件
利用在Matlab软件可以判断级数是否收敛，如果收敛可以求出和，方法详见实验7.
计算例3的操作为输入：
clear
syms n
f=(2+（－1）^(n-1))/3^n;
I=symsum(f,n,1,inf)
显示： .
说明 如果级数发散，则显示结果为inf(即).

演示

35′

1. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和．
(1)；
(2)；
2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.

学生课上完成

42′
小结
新知识：无穷级数的概念及基本性质，判断一些级数的敛散性。

作业
1. 通过复习级数的概念，总结7.1.1学习的内容；
2. 完成高等数学习题集“”。

45′

7.1.2 幂级数

教学目标：
（1）记住幂级数的一般形式及相关概念；
（2）学会求一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。
教学重点：
（1）幂级数的一般形式及相关概念；
（2）一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。
教学难点：
幂级数概念的理解。
授课时数： 1课时.
教学过程

过程
备注
探究
下面研究函数项级数．
观察等比级数
.
级数的部分和为 ，
所以
因此，级数当时，收敛且其和为；当时发散.

提问

5′
新知识
形如

的函数项级数叫做的幂级数（其中，是常数）.
当时，上述的幂级数成为
．
可以看到，等比级数是幂级数.
使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点.使函数项级数发散的点叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如幂级数的收敛域为.
函数项级数对于收敛域内的某一个点，都有一个确定的和数与之对应，这样在收敛域内，函数项级数的和是的函数，叫做函数项级数的和函数，记作.即
=.
例如幂级数的和函数为，即=，.

教师讲 授

12′

知识巩固
例4 求幂级数的收敛域与和函数.
解 该幂级数是公比为的等比级数，其部分和为
.
根据上面的讨论，当，即时，级数收敛．并且
.
故级数的收敛域为，和函数为.即
，.

教师
讲授

17′
新知识
幂级数的收敛性一般有以下三种情形：
（1） 仅在点x＝0处收敛，
（2） 在（−∞，＋∞）内处处收敛，
（3） 存在一个正数R，当|x|<R时收敛，当|x|>R时发散．称正数R为级数的收敛半径，区间叫做收敛区间．
经常使用下面的方法进行判定：
对于幂级数，设an≠0，如果＝ρ，那么
（1）当0＜ρ＜＋∞时，收敛半径R＝；
（2）当ρ＝0时，收敛半径R＝＋∞；
（3）当ρ＝＋∞时，收敛半径R＝0．

教师
讲授

25′
知识巩固
例5 求幂级数的收敛半径及收敛区间．
解 由于an＝，an+1＝，因此
＝＝＝1＝ρ．
则收敛半径R＝＝1，收敛区间为（－1，1）．
例6 求幂级数的收敛区间.
解 令，于是原幂级数变为.
.
所以 .
由，即得．故幂级数的收敛区间.
说明 求幂级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间端点处是否收敛．如本题中，级数在x＝－1处收敛，在x＝1处发散，因此级数的收敛域是[－1，1）．在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成．

教师引领学生完 成

33′
链接软件
利用matlab软件可以将一个函数展开为幂级数，方法详见实验7.
例如：将函数展开为幂级数，写出展开至5次幂项的操作为：
clear
syms x
f=sin(x);
taylor(f)
显示：f =
sin(x)
ans =
x-1/6*x^3+1/120*x^5
即 ．

演示

37′
练习7.1.2
1. 求下列幂级数的收敛区间与和函数．
2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
（1）；（2）.

学生
课上
完成

43′

小结
新知识：幂级数的一般形式及相关概念，一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。

作业
1.记忆幂级数的一般形式，梳理求幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。
2.完成高等数学习题集“”中的1，2，4。

45′

7.2.1周期为2π的函数展开为傅里叶级数

教学目标：
（1）了解傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件；
（2）学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。
教学重点：
将周期为的函数展开为傅里叶级数。
教学难点：
傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件。
授课时数： 2课时.
教学过程

过程
备注
新知识
设是一个以为周期的函数，且能展开成级数，即
．
叫做函数的傅立叶级数，其中
，
， （7.1）
.
系数叫做函数的傅立叶系数.
设是以为周期的函数，如果函数在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点
，并且至多只有有限个极值点，可以证明函数的傅立叶级数收敛，并且
(1)当是的连续点时，级数收敛于；
(2)当是的间断点时，级数收敛于.
实际问题中我们所遇到的周期函数，一般都能满足上述定理的条件，因而都能展开为傅立叶级数.

教师
讲授

10′
知识巩固
例1 设是以为周期的函数，它在上的表示式为

将展开为傅立叶级数.
解 计算傅立叶系数：
，

.
因此得到的傅立叶级数为

在函数的间断点处，它的收敛于
.
所以展开为傅立叶级数

（，）
和函数的图像如图7-1所示.

图7－1
说明：为简单起见，本章后面讨论周期函数展开为傅立叶级数，不再讨论间断点处的收敛情况.
例2 设是以为周期的函数，它在上的表示式为
，
将展开为傅立叶级数.
解 因为，

，

.
所以的傅立叶级数为

.

教师讲授

在教
师引
领下
完成

35′
新知识
如果是周期为的奇函数,那么它的傅立叶系数中
，，
，.
于是的展开为傅立叶级数

傅立叶展开式中只有正弦项,这样的级数叫做正弦级数.
如果是的偶函数,那么它的傅立叶系数中
，
，，，
于是的展开为傅立叶级数

傅立叶展开式中只有余弦项,这样的级数叫做余弦级数.
首先判断函数的奇偶性，有时候会给函数的傅立叶级数展开带来便利．

教师讲授

45′
知识巩固
例3 设是以为周期的函数，它在上的表示式为

将展开为傅立叶级数.
解 因为周期函数为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数
，

，.
所以的傅立叶级数为
．

在教
师引
领下
完成

55′
练习7.2.1
1.设是周期为的函数，它在上的表示式为

其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.
2.设是周期为的函数，它在上的表示式为

将展开为傅立叶级数.

学生
课上
完成

85′
小结
新知识：傅里叶级数的概念，将函数展开成傅里叶级数的条件，周期为的函数展开为傅里叶级数。

作业
1.熟记傅里叶系数公式，总结周期为的函数展开为傅里叶级数的步骤。
2.完成高等数学习题集“”。

90′

7.2.2周期为2l的函数展开成傅里叶级数

教学目标：
学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。
教学重点：
将周期为的函数展开为傅里叶级数。
教学难点：
周期为的函数变换为周期为的函数过程的理解。
授课时数： 1课时.
教学过程

过程
备注
探究
设函数的周期为，令,则当在区间上取值时，就在上取值.设
，
则是以为周期的函数.将展开为傅立叶级数
，
其中 ；
；
.
在以上各式中，把变量换回并注意到，可以得到以周期为的函数的傅立叶级数展开式.

教师讲授

5′
新知识
周期为的函数的傅立叶级数展开式.
，
其中 ，
， （7.2）

类似地，如果是奇函数，则它的傅立叶级数是正弦级数，即
，
其中 .
如果是偶函数，则它的傅立叶级数是余弦级数，即
，
其中 ，.

教师讲授

10′
知识巩固
例4 设是周期为4的函数，它在上的表示式为

其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.
解 计算傅立叶系数.
，
，

所以的傅立叶级数为
.

在教
师引
领下
完成

20′
练习7.2.2
1.设是周期为2的函数，它在上的表示式为

将展开为傅立叶级数
2.将周期为4的函数，展开为傅立叶级数.

学生
课上
完成

42′
小结
新知识：周期为的函数展开为傅里叶级数。

作业
完成高等数学习题集“”。

45′

7.3.1拉氏变换的概念

教学目标：
（1）理解拉氏变换的概念；
（2）学会用拉氏变换表求函数的拉氏变换；
（3）认识单位阶梯函数和狄拉克函数。
教学重点：
（1）拉氏变换的概念；
（2）用拉氏变换表求函数的拉氏变换；
教学难点：
拉氏变换的概念的理解。
授课时数： 1课时.
教学过程

过程
备注
新知识
设函数的定义域为，若广义积分在的某一范围内收敛，则此积分就确定了一个参数为的函数，记作，即
.
函数叫做的拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换(或叫做的像函数)，用记号表示，即
(7.3)
关于拉氏变换定义的几点说明：
(1)定义中只要求在时有定义，假定在时，；
(2)在自然科学和工程技术中经常遇到的函数，总能满足拉氏变换的存在条件，故本章略去拉氏变换的存在性的讨论.

教师
讲授

8′
知识巩固
例1 求指数函数()的拉氏变换.
解 由公式(7.3)得 .
当时，此积分收敛，故
.

在教
师引
领下
共同
完成

13′
新知识
在实际应用中，直接用定义的方法求函数的拉氏变换比较繁琐.为了应用方便，我们将常用的函数的拉氏变换分别列表如下，供读者使用.

表7-1 常用函数的拉氏变换表

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

教师
讲授

20′
知识巩固
例2 求下列函数的拉氏变换：
(1)；(2)；(3)
解 (1)由拉氏变换表中 得
.
(2)由拉氏变换表中，得
，即.
(3)由，得
.

在教
师引
领下
共同
完成

26′
新知识
下面介绍两个自动控制系统中常用的函数.
1.单位阶梯函数
单位阶梯函数的表示形式为
(1)
如图7-4(1)所示.

（1） （2）
图7－4

将平移个单位如图7-7(2)所示，则有
(2)
2.狄拉克函数
设

当时，的极限叫做狄拉克(Dirac)函数，简称为函数.
当，；当，，即

如图7-5所示，

图7－5

教师讲授

32′
练习7.3.1
利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换
(1)； (2)； (3) ；
(4) ，(5) ； (6)．
学生
课上
完成
42′
小结
新知识：拉氏变换的概念，利用拉氏变换表求函数的拉氏变换。

45′
作业
1. 熟悉拉氏变换表中所列函数的拉氏变换；
2. 完成高等数学习题集“作业”。

7.3.2拉氏变换的性质
教学目标：
（1）理解拉氏变换的性质；
（2）学会用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。
教学重点：
用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。
教学难点：
拉氏变换的性质的理解。
授课时数：2课时.
教学过程

过程
备注
新知识
利用拉氏变换的性质，可以更方便求一些较为复杂的函数的拉氏变换.
性质1 (线性性质)
设，是任意常数，且，，则
. (7.4)
这个性质可以推广到有限个函数的情形，即
，
其中为常数．
性质1表明，函数线性组合的拉氏变换等于各个函数拉氏变换的线性组合．

教师
讲授

8′

知识巩固
例3 求函数的拉氏变换.
解
.
即 .

教师
讲授

15′
新知识
性质2 （平移性质）设，则
. (7.5)
性质2说明：乘以的拉氏变换等于其像函数做位移个单位．

教师
讲授

20′
知识巩固
例4 求.
解 因为，
根据平移性质，得，
同理可得 ．

在教
师引
领下
共同
完成

23′
新知识
性质3 （延滞性质）设，则
(7.6)
此性质表明，函数的拉氏变换等于的拉氏变换乘以.
教师
讲授

28′
知识巩固
例5 求函数的拉氏变换.
解 因为，由延滞性质，得
.
例6 计算.
解
.
注意：不能直接使用上述性质，因为时，当时，不恒为零.

教师
讲授

在教
师引
领下
共同
完成

40′
新知识
性质4 （微分性质）设，在上连续，且连续，
则 . (7.7)
性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数，再减去函数的初始值.
同理
.
一般地 .

教师
讲授

50′
知识巩固
例7 利用微分性质求.
解 设，那么，，，.
利用线性性质得.
由微分性质得 ，
有 ，
得 ，
同理可得 .

在教
师引
领下
共同
完成

60′
链接软件
利用matlab软件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7.
例如，求的操作为输入
syms t
laplace(sin(x))
显示：
ans =
1/(s^2+1)
即 .

演示

65′
练习7.3.2
求下列各函数的拉氏变换.
(1)；(2)； (3)；
(4)； (5).
学生
课上
完成
85′
小结
新知识：利用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。

作业
1.在记忆拉氏变换的性质的同时总结其使用方法。
2.完成高等数学习题集“”。

90′

7.3.3拉氏逆变换及其性质

教学目标：
（1）理解拉氏逆变换的概念及性质；
（2）学会应用拉氏逆变换性质及反查拉氏变换表求函数的拉氏逆变换。
教学重点：
求拉氏逆变换的方法。
教学难点：
拉氏逆变换的概念及性质的理解。
授课时数：1课时.
教学过程

过程
备注
新知识
前面我们讨论了由已知函数去求它的像函数的问题.但在实际问题中会遇到许多与此相反的问题.
如果是的拉氏变换，那么把叫做的拉氏逆变换(或的原像函数)，记作 ，即
.
例如，由知，．
一些简单的像函数，常常要从拉氏变换表中查找得到它的原像函数.
例如，查看表7－1第6行，这里，故
.
用拉氏变换表求逆变换时，经常需要结合使用拉氏变换的下面三个性质.
性质1 (线性性质)
(7.8)
性质2 (平移性质)
(7.9)
性质3 (延滞性质)
(7.10)

教师
讲授

10′
知识巩固
例8 求下列函数的拉氏逆变换：
(1)； (2)； (3).
解 (1)由性质1及拉氏变换表得：
.
(2)由性质2及拉氏变换表得：
.
(3)

.

在教
师引
领下
共同
完成

23′
链接软件

利用matlab软件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7.
例如，求的操作为输入：
>> syms s
ilaplace((3*s+1)/(s^2+2*s+2))
显示：
ans =
exp(-t)*(3*cos(t)-2*sin(t))

即 ．

演示

28′
练习7.3.3
求下列函数的拉氏逆变换
1.； 2. ； 3. ；
4.； 5. .
学生
课上
完成

43′
小结
新知识：拉氏逆变换的概念、性质，求拉氏逆变换的方法。

作业
完成高等数学习题集“作业”。

45′