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1、 《高等数学》（第三版）教案第七章全 7.1.1 级数的概念 教学目标： （1）学习无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和等概念； （2）掌握级数的基本性质，熟记几何级数的敛散性； （3）会用级数的概念及基本性质判断一些级数的敛散性； 教学重点： （1）无穷级数的概念及基本性质； （2）判断一些级数的敛散性。 教学难点： 无穷级数的概念及基本性质的正确应用。 授课时数：1课时 教学过程 过程 备注 引言 介绍本章学习的主要内容。 教师讲授 3′ 知识回顾 在等比数列中，当公比时，前n项和为 . 叫做一般项或通项. 引导
2、学生回答 6′ 新知识 无穷数列的各项和（即所有项的和） ， 叫做无穷级数，简称级数．记作.即 ． 其中第n项叫做级数的一般项或通项. 例如，级数,的一般项是. 如果是常数，那么级数叫做常数项级数，如果是变量(或其他变量)的函数，那么级数叫做函数项级数．例如，级数，级数都是常数项级数；而级数，级数都是函数项级数. 首先研究常数项级数． 级数的前项之和叫做级数的部分和．如果当时，有极限，即 ， 那么，称级数收敛，并把极限值叫做这个级数的和.即 ． 如果当时，的极限不存在，那么称这个级数发散. 教师讲授
3、 15′ 知识巩固 例1 判别级数是否收敛．若收敛求其和. 解 这个级数是公比为的等比数列的各项和，叫做等比级数．其部分和为 ， 所以 . 因此，级数收敛，其和为． 说明：等比级数，当时， . 故级数收敛，且其和为；当时，级数发散. 例2 判别级数的敛散性. 解 级数的部分和为 ， 因为 ， 所以级数发散. 在教 师引 领下 共同 完成 22
4、′ 新知识 利用极限的性质可以得到级数下列面性质(证明略). 性质 1 如果级数收敛，其和为S，那么级数也收敛，其和为（C为常数）. 性质2 如果级数与级数都收敛，其和分别为和，那么级数也收敛，其和为. 性质 3 如果一个级数收敛，那么去掉、加上或改变有限项得到的级数仍然收敛． 教师讲授 26′ 知识巩固 例3 判别级数是否收敛，如果收敛，求出级数的和. 解 级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为 ， 级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为 ， 因此级数收敛，并且和为. 在教 师引 领下 共
5、同 完成 30′ 链接软件 利用在Matlab软件可以判断级数是否收敛，如果收敛可以求出和，方法详见实验7. 计算例3的操作为输入： clear syms n f=(2+（－1）^(n-1))/3^n; I=symsum(f,n,1,inf) 显示： . 说明 如果级数发散，则显示结果为inf(即). 演示 35′ 1. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和． (1)； (2)； 2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和. 学生课上完成 42′ 小结
6、 新知识：无穷级数的概念及基本性质，判断一些级数的敛散性。 作业 1. 通过复习级数的概念，总结7.1.1学习的内容； 2. 完成高等数学习题集“”。 45′ 7.1.2 幂级数 教学目标： （1）记住幂级数的一般形式及相关概念； （2）学会求一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。 教学重点： （1）幂级数的一般形式及相关概念； （2）一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。 教学难点： 幂级数概念的理解。 授课时数： 1课时. 教学过程 过程 备注
7、探究 下面研究函数项级数． 观察等比级数 . 级数的部分和为 ， 所以 因此，级数当时，收敛且其和为；当时发散. 提问 5′ 新知识 形如 的函数项级数叫做的幂级数（其中，是常数）. 当时，上述的幂级数成为 ． 可以看到，等比级数是幂级数. 使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点.使函数项级数发散的点叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如幂级数的收敛域为. 函数项级数对于收敛域内的某一个点，都有一个确定的和数与之对应，这样在收敛域内，函
8、数项级数的和是的函数，叫做函数项级数的和函数，记作.即 =. 例如幂级数的和函数为，即=，. 教师讲 授 12′ 知识巩固 例4 求幂级数的收敛域与和函数. 解 该幂级数是公比为的等比级数，其部分和为 . 根据上面的讨论，当，即时，级数收敛．并且 . 故级数的收敛域为，和函数为.即 ，. 教师 讲授 17′ 新知识 幂级数的收敛性一般有以下三种情形： （1） 仅在点x＝0处收敛， （2） 在（−∞，＋∞）内处处收敛， （3） 存在一
9、个正数R，当|x|
10、 . 所以 . 由，即得．故幂级数的收敛区间. 说明 求幂级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间端点处是否收敛．如本题中，级数在x＝－1处收敛，在x＝1处发散，因此级数的收敛域是[－1，1）．在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成． 教师引领学生完 成 33′ 链接软件 利用matlab软件可以将一个函数展开为幂级数，方法详见实验7. 例如：将函数展开为幂级数，写出展开至5次幂项的操作为：
11、 clear syms x f=sin(x); taylor(f) 显示：f = sin(x) ans = x-1/6*x^3+1/120*x^5 即 ． 演示 37′ 练习7.1.2 1. 求下列幂级数的收敛区间与和函数． 2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 （1）；（2）. 学生 课上 完成 43′ 小结 新知识：幂级数的一般形式及相关概念，一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。 作业 1.记忆幂级数
12、的一般形式，梳理求幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。 2.完成高等数学习题集“”中的1，2，4。 45′ 7.2.1周期为2π的函数展开为傅里叶级数 教学目标： （1）了解傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件； （2）学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。 教学重点： 将周期为的函数展开为傅里叶级数。 教学难点： 傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件。 授课时数： 2课时. 教学过程 过程 备注 新知识 设是一个以为周期的函数，且能展开成级数，即 ． 叫做
13、函数的傅立叶级数，其中 ， ， （7.1） . 系数叫做函数的傅立叶系数. 设是以为周期的函数，如果函数在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点 ，并且至多只有有限个极值点，可以证明函数的傅立叶级数收敛，并且 (1)当是的连续点时，级数收敛于； (2)当是的间断点时，级数收敛于. 实际问题中我们所遇到的周期函数，一般都能满足上述定理的条件，因而都能展开为傅立叶级数. 教师 讲授 10′ 知识巩固 例1 设是以为周期
14、的函数，它在上的表示式为 将展开为傅立叶级数. 解 计算傅立叶系数： ， . 因此得到的傅立叶级数为 在函数的间断点处，它的收敛于 . 所以展开为傅立叶级数 （，） 和函数的图像如图7-1所示. 图7－1 说明：为简单起见，本章后面讨论周期函数展开为傅立叶级数，不再讨论间断点处的收敛情况. 例2 设是以为周期的函数，它在上的表示式为 ， 将展开为傅立叶级数. 解 因为， ， . 所以的傅立叶级数为 . 教师讲授
15、 在教 师引 领下 完成 35′ 新知识 如果是周期为的奇函数,那么它的傅立叶系数中 ，， ，. 于是的展开为傅立叶级数 傅立叶展开式中只有正弦项,这样的级数叫做正弦级数. 如果是的偶函数,那么它的傅立叶系数中 ， ，，， 于是的展开为傅立叶级数 傅立叶展开式中只有余弦项,这样的级数叫做余弦级数. 首先判断函数的奇偶性，有时候会给函数的傅立叶级数展开带来便利． 教师
16、讲授 45′ 知识巩固 例3 设是以为周期的函数，它在上的表示式为 将展开为傅立叶级数. 解 因为周期函数为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数 ， ，. 所以的傅立叶级数为 ． 在教 师引 领下 完成 55′ 练习7.2.1 1.设是周期为的函数，它在上的表示式为 其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数. 2.设是周期为的函数，它在上的表示式为 将展开为傅立叶级数. 学生 课上 完成 85′
17、 小结 新知识：傅里叶级数的概念，将函数展开成傅里叶级数的条件，周期为的函数展开为傅里叶级数。 作业 1.熟记傅里叶系数公式，总结周期为的函数展开为傅里叶级数的步骤。 2.完成高等数学习题集“”。 90′ 7.2.2周期为2l的函数展开成傅里叶级数 教学目标： 学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。 教学重点： 将周期为的函数展开为傅里叶级数。 教学难点： 周期为的函数变换为周期为的函数过程的理解。 授课时数： 1课时. 教学过程 过程 备注 探究 设函数的周期为，令,则当在区间上取值时，就在上取值.设 ， 则是以为周
18、期的函数.将展开为傅立叶级数 ， 其中 ； ； . 在以上各式中，把变量换回并注意到，可以得到以周期为的函数的傅立叶级数展开式. 教师讲授 5′ 新知识 周期为的函数的傅立叶级数展开式. ， 其中 ， ， （7.2） 类似地，如果是奇函数，则它的傅立叶级数是正弦级数，即 ， 其中 . 如果是偶函数，则它的傅立叶级数是余弦级数，即 ， 其中 ，.
19、 教师讲授 10′ 知识巩固 例4 设是周期为4的函数，它在上的表示式为 其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数. 解 计算傅立叶系数. ， ， 所以的傅立叶级数为 . 在教 师引 领下 完成 20′ 练习7.2.2 1.设是周期为2的函数，它在上的表示式为 将展开为傅立叶级数 2.将周期为4的函数，展开为傅立叶级数. 学生 课上 完成 42′ 小结 新知识：周期为的函数展开为傅里叶级数。
20、 作业 完成高等数学习题集“”。 45′ 7.3.1拉氏变换的概念 教学目标： （1）理解拉氏变换的概念； （2）学会用拉氏变换表求函数的拉氏变换； （3）认识单位阶梯函数和狄拉克函数。 教学重点： （1）拉氏变换的概念； （2）用拉氏变换表求函数的拉氏变换； 教学难点： 拉氏变换的概念的理解。 授课时数： 1课时. 教学过程 过程 备注 新知识 设函数的定义域为，若广义积分在的某一范围内收敛，则此积分就确定了一个参数为的函数，记作，即 . 函数叫做的拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换(或叫做的像函数)，用记号表示，
21、即 (7.3) 关于拉氏变换定义的几点说明： (1)定义中只要求在时有定义，假定在时，； (2)在自然科学和工程技术中经常遇到的函数，总能满足拉氏变换的存在条件，故本章略去拉氏变换的存在性的讨论. 教师 讲授 8′ 知识巩固 例1 求指数函数()的拉氏变换. 解 由公式(7.3)得 . 当时，此积分收敛，故 . 在教 师引 领下 共同 完成 13′ 新知识 在实际应用中，直接用定义的方法求函数的拉氏变换比较繁琐.为了应用方便，我们将常用的
22、函数的拉氏变换分别列表如下，供读者使用. 表7-1 常用函数的拉氏变换表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 教师 讲授 20′ 知识巩固 例2 求下列函数的拉氏变换： (1)；(2)；(3) 解 (1)由拉氏变换表中 得 .
23、 (2)由拉氏变换表中，得 ，即. (3)由，得 . 在教 师引 领下 共同 完成 26′ 新知识 下面介绍两个自动控制系统中常用的函数. 1.单位阶梯函数 单位阶梯函数的表示形式为 (1) 如图7-4(1)所示. （1） （2） 图7－4 将平移个单位如图7-7(2)所示，则有
24、 (2) 2.狄拉克函数 设 当时，的极限叫做狄拉克(Dirac)函数，简称为函数. 当，；当，，即 如图7-5所示， 图7－5 教师讲授 32′ 练习7.3.1 利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换 (1)； (2)； (3) ； (4) ，(5) ； (6)． 学生 课上 完成 42′ 小结 新知识：拉氏变换的概念，利用拉氏变换表求函数的拉氏变换。 45′ 作
25、业 1. 熟悉拉氏变换表中所列函数的拉氏变换； 2. 完成高等数学习题集“作业”。 7.3.2拉氏变换的性质 教学目标： （1）理解拉氏变换的性质； （2）学会用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。 教学重点： 用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。 教学难点： 拉氏变换的性质的理解。 授课时数：2课时. 教学过程 过程 备注 新知识 利用拉氏变换的性质，可以更方便求一些较为复杂的函数的拉氏变换. 性质1 (线性性质) 设，是任意常数，且，，则 . (7.4)
26、这个性质可以推广到有限个函数的情形，即 ， 其中为常数． 性质1表明，函数线性组合的拉氏变换等于各个函数拉氏变换的线性组合． 教师 讲授 8′ 知识巩固 例3 求函数的拉氏变换. 解 . 即 . 教师 讲授 15′ 新知识 性质2 （平移性质）设，则 . (7.5) 性质2说明：乘以的拉氏变换等于其像函数做位移个单位． 教师 讲授 20′ 知识巩固 例4 求. 解 因为， 根据平移性质，得， 同理可得 ． 在
27、教 师引 领下 共同 完成 23′ 新知识 性质3 （延滞性质）设，则 (7.6) 此性质表明，函数的拉氏变换等于的拉氏变换乘以. 教师 讲授 28′ 知识巩固 例5 求函数的拉氏变换. 解 因为，由延滞性质，得 . 例6 计算. 解 . 注意：不能直接使用上述性质，因为时，当时，不恒为零. 教师 讲授 在教 师引 领下 共同 完成 40′ 新知识 性质4 （
28、微分性质）设，在上连续，且连续， 则 . (7.7) 性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数，再减去函数的初始值. 同理 . 一般地 . 教师 讲授 50′ 知识巩固 例7 利用微分性质求. 解 设，那么，，，. 利用线性性质得. 由微分性质得 ， 有 ， 得 ， 同理可得 . 在教 师引 领下 共同 完成 60′ 链接软件 利用matlab软
29、件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7. 例如，求的操作为输入 syms t laplace(sin(x)) 显示： ans = 1/(s^2+1) 即 . 演示 65′ 练习7.3.2 求下列各函数的拉氏变换. (1)；(2)； (3)； (4)； (5). 学生 课上 完成 85′ 小结 新知识：利用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。 作业 1.在记忆拉氏变换的性质的同时总结其使用方法。 2.完成高等数学习题集“”。 90′ 7.3.3拉氏逆变换及其性质
30、教学目标： （1）理解拉氏逆变换的概念及性质； （2）学会应用拉氏逆变换性质及反查拉氏变换表求函数的拉氏逆变换。 教学重点： 求拉氏逆变换的方法。 教学难点： 拉氏逆变换的概念及性质的理解。 授课时数：1课时. 教学过程 过程 备注 新知识 前面我们讨论了由已知函数去求它的像函数的问题.但在实际问题中会遇到许多与此相反的问题. 如果是的拉氏变换，那么把叫做的拉氏逆变换(或的原像函数)，记作 ，即 . 例如，由知，． 一些简单的像函数，常常要从拉氏变换表中查找得到它的原像函数. 例如，查看表7－1第6行，这里，故 . 用拉氏变换表求逆变换时，经常需
31、要结合使用拉氏变换的下面三个性质. 性质1 (线性性质) (7.8) 性质2 (平移性质) (7.9) 性质3 (延滞性质) (7.10) 教师 讲授 10′ 知识巩固 例8 求下列函数的拉氏逆变换： (1)； (2)； (3). 解 (1)由性质1及拉氏变换表得： . (2)由性质2及拉氏变换表得： . (3) .
32、 在教 师引 领下 共同 完成 23′ 链接软件 利用matlab软件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7. 例如，求的操作为输入： >> syms s ilaplace((3*s+1)/(s^2+2*s+2)) 显示： ans = exp(-t)*(3*cos(t)-2*sin(t)) 即 ． 演示 28′ 练习7.3.3 求下列函数的拉氏逆变换 1.； 2. ； 3. ； 4.； 5. . 学生 课上 完成 43′ 小结 新知识：拉氏逆变换的概念、性质，求拉氏逆变换的方法。 作业 完成高等数学习题集“作业”。 45′
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