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高等数学习题集题库带答案第一章作业1.1.11求下列函数的定义域.(1) ； (2) ；(3) 解 （1）解不等式得或；故函数定义域为；（2）解不等式得，由知；故函数定义域为；（3）分段函数的定义域为各段取值范围的并集，故定义域为2. 设，求解 ；3. 设，求，解 ；4. 求下列函数的反函数，并在同一个坐标系中作出它们的图像（1）； （2），解 （1）函数的定义域和值域都是R，由得，故其反函数为，它们的图像为第4（1）题图（2）函数的定义域为，值域为，由得故其反函数为，它们的图像为第4（2）题图作业1.1.21写出下列函数的复合过程. (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解 （1），；（2），；（3），；（4）2写出各函数复合而成的函数并求其定义域 . (1) , , ； (2) ， .解 （1），定义域为（2），定义域为作业1.1.31市场对某种商品的需求量满足：，其中P为商品价格，而生产商对此商品的供应量S满足：，求该种商品的市场均衡价格和均衡数量解（1）= 得 =60，将=60代入得=802已知某商品的成本函数（单位：万元）为，其中Q为该商品的产量 （1）该商品的计划售价为12万元/件，那么该商品的盈亏平衡点（保本点）Q0是多少件？（2）求生产50件时的成本和平均成本为多少？（3）当该商品以计划售价的五折出售时，能否盈利？ 解（1）Q0=15（件）；（2）（万元）；（3）不会盈利，会造成亏空3某商品的销售价格为100元，月销售量为4000件，当销售价格每提高2元，月销售量会减少50件，在不考虑其他因素情况下，（1）求这商品月销售量与价格之间的函数关系；（2）当价格提高到多少元时，这商品会卖不出去？ 解（1）；（2）260元作业1.2.11.通过观察对应函数图像，讨论下列极限：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6） （7）； （8）设，求解 做出相应的函数图像（略）（1）观察函数的图像知，；第1（1）题图 第1（2）题图（2）观察函数的图像知，；（3）观察函数的图像知，； 第1（3）题图 第1（4）题图（4）观察函数的图像知，；（5）观察函数的图像知，； 第1（5）题图 第1（6）题图（6）观察函数的图像知，（7）观察函数的图像知，； 第1（7）题图 第1（8）题图（8）观察函数的图像知，=1；作业1.2.21.计算下列极限：（1）；（2）；（3）解 （1）；（2）；（3）2.计算下列极限：（1）； （2）；（3）.解（1）；（2）；（3）.3.作出函数 的图像(1) 写出和；(2) 写出和；(3) 判断是否存在，若存在求出来解 函数图像如图下：第3题图（1）观察函数图像知，；（2），；（3）因为=0，所以存在，且4. 已知函数,求解 ，故 =2.5. 利用微软高级计算器计算下列各极限（1）；（2）；（3）；（4）解（1）； （2）；（3）； （4）作业1.2.31.判断下列命题是否正确（正确的填“”，错误的填“”）（1）是无穷小； （ ）（2）当时，10是无穷小； （ ）（3）当时，0是无穷小； （ ）（4）当时，是无穷小； （ ）（5）当时，是无穷小； （ ）（6）当时，是无穷小 （ ）2.比较下列各组无穷小.（1）当时，与;（2）当时， 与;（3）当时，与.解 （1）因为，且，所以当时，是比较高阶的无穷小（2）因为，且，所以，当时， 与是同阶无穷小（3）因为，且，所以，当时，为比较高阶的无穷小3.确定函数为无穷小的条件解 由于，故函数为无穷小的条件为“ ”。作业1.3.11. 考察函数 在，处的连续性，并作出函数的图像.解 函数图像如下：第1题图观察函数图像知，函数在处与处连续，在处不连续2. 讨论函数 在点处的连续性.解 ，故不存在所以，函数在处不连续3. 设函数 ，试确定值，使在其定义域内连续.解 ；由于函数在定义域内连续，故在点处连续，因此必有所以，作业1.3.21.计算下列极限：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）2. 利用微软高级计算器求方程的近似解（精确到0.0001）解 作业 1.41. 在我国，以中国人民银行对国家专业银行和其他金融机构规定的存贷款利率为基准利率。最新资料显示，依据基准利率，工商银行五年期的存款年利率为4.75%，而三至五年（包括五年）的贷款年利率为6.40%。（1）现某甲将二十万元现金存入工行五年，以年为期分别计算单利和复利方式五年后的本利和为多少万元？（2）同期某乙为了投资需要向工行贷款二十万元五年，以季为期按复利方式计算五年后连本带利应该归还银行多少万元？ （3）若五年后想得到100万元，以年为期按复利计算，则现在应存入银行多少万元？解（1）24.75（万元），25.223198（万元）；（2）27.472878（万元）；（3）79.292086（万元）2某丙现持有一年到期的票据300元和三年到期的票据500元，若银行贴现率为6%，现去银行进行一次性转让，银行要付多少贴现金额？ 解 702.83（元）高等数学章节练习题及答案第二章作业2.1.11.用定义求函数的导数解（1）求函数增量；（2）算比值；（3）取极限所以 2用定义求函数在处的导数解 （1）求函数增量；（2）算比值；（3）取极限 所以 3设存在，按照导数定义观察下列极限，指出字母A的含义：（1）；解 ；(2) 解 4. 求曲线在的切线方程.解 处切线方程的斜率为，代入，求得切点坐标为由点斜式求切线方程，即 5 .求曲线上切线平行轴的点解 曲线上任意一点切线斜率因为切线平行于轴，所以即，因此所求点为6求曲线在处切线方程解 在处切线斜率为，又当时，由点斜式切线方程为，即7.(1) 用定义求函数的导数解（1）；（2）算比值 ；（3）取极限 (2)求曲线在处切线方程解 在处切线斜率为，又时，所以切线方程为 8.在曲线上求一点，使得该点处切线平行于解 曲线上切线斜率为，因为切线平行于，所以 ，代回原函数，即所求点为9. 已知物体的运动规律为，求（1）物体在至这段时间内的平均速度（2）物体在时的瞬时速度.解（1）；（2）作业2.1.2.(1)一、 填空题1设函数，则= 解。2设函数，则= 解 3 曲线在处切线斜率为 解 4如果函数和对于区间内每个点都有，则在区间内必有= 解 二、 解答题1求下列函数的导数.(1)； (2)；解 解 (3)；(4) . 解 解 (5) 解 2. 求下列函数在给定点的导数.(1)，在及处；解 ，代入和得(2)，在及处；解 ，代入和得(3),在处解 ，代入 得3.曲线在N处切线平行于轴，求N点的坐标解 N点处切线斜率，因为切线平行于轴，所以 即所以N点的坐标 4求曲线在处的切线方程 解 在处的切线斜率为，又当时所求切线方程为 5 求曲线在处切线方程解 在处切线斜率为又当时所求方程为 作业2.1.2.(2)一、 填空题 1设，则= 解 。 2设，则= 解 。 3设，则= 解 ，二、 解答题1求下列函数的导数. (1)； 解 (2)； 解。(3)；解 (4)解。（5）； 解 (6)；解。（7） ； 解 (8) ；解 (9) ；解 （10）解 2. 利用微软高级计算器求下列函数的导数.(1)； 解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到(2)；解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到(3)；解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得(4)； 解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得(5) ； 解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得（6） 解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得3求函数在处的导数 解 ，4求函数在处的导数 解 ，5已知曲线在切线斜率为2，求 解 ，当时，代入，得 6.求曲线在处的切线方程 解 ，所以斜率为 由点斜式得切线方程为作业2.1.2.(3)1 求下列隐函数的导数.(1) ；解 两边同时对求导，得故 (2) ；解 两边同时对求导得所以 (3) ； 解 两边同时对求导得所以(4) ；解 两边同时对求导得，故(5) ；解 两边同时对求导得，故(6) 解 两边同时对求导得，故2求在处的切线方程解 由于，所以曲线在处的切线斜率为，故切线方程为3利用软件matlab求下列隐函数的导数 （1）操作：在命令窗口中输入： Dy_dx=maple(implicitdiff(tan(x+y)+ x*y =2*x,y,x)按Enter键，显示：Dy_dx= -(-1+tan(x+y)2+y)/(1+tan(x+y)2+x)即 （2）操作：在命令窗口中输入： Dy_dx=maple(implicitdiff(x(2/3)+ y(2/3) = a(2/3),y,x)按Enter键，显示：Dy_dx= -y(1/3)/x(1/3)即 作业2.1.31求下列函数的二阶导数(1) ；解 ，(2) ；解。(3) ；解 (4) ；解 ， (5) ； 解 , (6)；解 (7) ； 解，(8) 解 ，2 求下列函数在指定点处的二阶导数（1） ，求；解 ， （2），求解 ，所以（3） ，求解 , ，所以3利用高级计算器求函数在处的二阶导数解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得在输入窗格内输入1，点击按钮“store”,在输入窗口显示,输入x，点击“输入”，然后双击功能区内所显示的结果“”，则显示结果说明：此操作赋变量x的值为1，结束操作后，应该点击查看存储变量，在显示的存储变量中，清除“x:=1”，否则再输入x，仍然保持赋值的状态作业2.1.41将适当的函数填入下列括号，使等式成立（1）； （2）；解 ； 解 ；（3）； （4）；解 ； 解 ；（5）解 2求下列函数的微分 (1) ； 解 ；(2) ；解 ； (3)； 解 ；(4) 解 3求函数在时的增量及微分解 4函数在处，当时的微分解 ，5利用高级计算器求下列函数的微分（1） 解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得，所以（2） 解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得 所以6求下列由参数方程确定的函数的导数（1） 解 （2）； 解 （3）； 解 (4) ； 7求由参数方程在处切线方程解 切线斜率为，又当时时， ，由点斜式得切线方程为作业2.2.1一 、填空1曲线在区间 内是单调增加函数解 ，所以在内是单调增加函数2 函数的单减区间为 解 ，当时，所以函数的单减区间为3设在内，可导，且，则 解 因为，所以函数单调递增即，又，所以即二、 解答题1求下列函数的增区间（1）； 解 令得，所以在上单调增加（2）解令得，所以在上单调增加2求下列函数的单调区间.(1) 解 函数的定义域为， ，所以函数在定义域上单调递增 (2) ； 解 函数的定义域为， ，令，得列表得：00从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加 (3)； 解 函数的定义域为，令，得列表得：-10从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加 （4）解 函数的定义域为，令，得列表得：-2-1+0-0+从表中可以看出，函数在上单调递增，在区间上单调递减（5）解 函数的定义域为，令，得列表得00从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加 （6）解 函数的定义域为，令，得 列表得：02-0+0-从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加（7）解 函数的定义域为，令，得 列表得：-11+0-0+从表中可以看出，函数在上单调递增，在区间上单调递减作业2.2.2一 、填空题1函数的极小值是 解 ，当时，当时，所以有极小值2函数的极值点是 解 ，当时，当时，所以是极小值点3是可导函数在点取得极值的 条件解 若在点取得极值，且在该点导数存在，则必有 ，是可导函数在点取得极值的必要条件4函数在上的最大值为 解 ，令，得因为，所以最大值为二、 求下列函数的极值点和极值. (1) ； 解 函数的定义域为 ，令，得列表得 ：-101-0-0+0+无极值极小值1无极值从表中可以看出，函数有极小值为（2） 解：函数的定义域为，令，得列表得： 0+0-极大值-1从表中可以看出，函数有极大值为(3) ； 解 函数的定义域为，令，得列表得 ：02+0-0+极大值7极小值3从表中可以看出，函数有极大值为，极小值为 (4) ；解：函数的定义域为 ，令，得列表得：-11-0+0-极小值-1极大值1从表中可以看出，函数有极小值为，极大值为 （5）； 解：函数的定义域为 ，令，得，当时不存在列表得： 08-不存在+0-极小值0极大值4从表中可以看出，函数有极小值为 ，极大值为 三、 求下列函数的最大值、最小值.(1) ，；解 , 令，得因为，所以最大值为，最小值为(2) ，;解，令，得因为，所以最大值为，最小值为四、解答题1某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设长方形的宽为，则长为小屋面积， ，求得唯一驻点所以砌成长为10，宽为5的长方形才能使这间小屋的面积最大2做一个圆锥型的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，高应当为多少？解 设圆锥的高为，圆锥底面半径为由于，所以令得唯一驻点因此若使漏斗体积最大，高应为作业2.2.4（1）1设某产品的成本函数为 求产量Q=100单位时的平均成本和边际成本解 平均成本为10，边际成本为2. 2某公司生产某产品，每天的收益（单位：元）与产量（单位：元）的函数关系为，成本函数，求当每天生产15吨、20吨、25吨时的边际利润，并说明经济意义. 解 时，边际利润，它的经济意义为在产量为15吨的基础上，再多生产一吨产品，总利润增加100元.作业2.2.4（2）1. 设某商品的需求函数为求时的需求价格弹性，并说明其经济意义. 解 ，表明当时，价格上涨，需求量减少6.932.设某商品需求函数为(1)求需求弹性函数；(2)求时的需求弹性；(3) 当时，若价格上涨，总收益增加还是减少？将变化百分之几？解 （1）；（2）1.846；（3）减少0.846% .高等数学章节练习题及答案第三章作业3.1.11若不定积分，求被积函数解 2已知是的一个原函数，求解 3已知，求函数解 4求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) 解 (1) ； (2) ； (3) 5求下列不定积分(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 6设一曲线通过点，且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程解 设所求曲线的方程为，由题意知，所以 由曲线过点，得，故所求曲线的方程为7一质点从原点开始作变速直线运动，其速度为，求该质点的运动方程解 设该质点的运动方程为，则，所以所以 当时，得，故所求的运动方程为作业3.1.21用凑微分法求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) ； (12) 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 2用分部积分法求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 解 (1) ；(2) ；(3) ；(4) ； (5) ； (6) 3设是的一个原函数,求解 由，得 4已知某曲线上任一点处切线的斜率,又知曲线经过点,求此曲线的方程.解 设所求曲线的方程为，由题意知，所以 由曲线过点，得，故所求曲线的方程为5 一电场中质子运动的加速度为.若时,速度.求质子的运动速度与时间的函数关系式.解 ，又时,，得，故质子的运动速度与时间的函数关系为.6用计算器求下列定积分.(1) ； (2) .解 (1) ； (2) 作业3.2.11用定积分表示由曲线，直线，围成的曲边梯形的面积解 2已知函数的图像如图所示，利用定积分的几何意义求下面定积分的值(1) ；(2) ；(3) 解 (1) ； (2) ；(3) 3利用定积分的几何意义求下列定积分的值第3-(1)题图(1) ； (2) ； (3) 第3-(3)题图第3-(2)题图解 (1) ； (2) 由图形的对称性可知；(3) 作业3.2.21已知，求的值解 2已知，求解 3已知，求的值解 因为 ，所以 4已知，求解 5已知是的一个原函数，求(1)；(2) 解 因为，所以 (1) ； (2) 作业3.2.31计算下列各定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) 解 (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) 2计算下列各定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解 (1) ；(2) ；(3) ； (4) 3计算下列各定积分(1) ； (2) 解 (1) ；(2) 4已知求解 5已知求解 6一质点作直线运动，其速度为，求从到这段时间内该质点经过的路程解 7用计算器求下列定积分(1) ； (2) 解 (1) ； (2) 作业3.2.4计算下列广义积分，并说明其敛散性(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 解 (1) ，故收敛；(2) ，故发散；(3) ，故发散；(4) ，故收敛(5) ，故收敛；(6) ，故发散；作业3.3.11利用定积分的微元法求如图所示的曲边梯形的面积，请指出：(1)积分变量及积分区间；(2)面积元素；(3)用定积分表示面积解 (1) 积分变量为，积分区间为； (2) ，(3) 2利用定积分的微元法求由曲线，直线，围成的曲边梯形的面积为若面积微元如图中阴影部分所示，请指出：(1)积分变量及积分区间；(2)面积元素及几何意义；(3)用定积分表示面积解 (1) 积分变量为，积分区间为； (2) ，以为长，为高的矩形面积；(3) 3有一质量非均匀的细棒，长度为取细棒的一端为坐标原点，并设细棒上任一点处的线密度为(1)写出细棒质量的微元，并给出的物理解释；(2)用定积分表示细棒的质量解 (1) ，长度为的一小段细棒质量的近似值；(2) 4设某产品在时刻总产量的变化率为，且从到这段时间内的总产量为(1)写出总产量的微元；(2)用定积分表示总产量解 (1) ；(2)作业3.3.21求阴影部分图形的面积(1) (2) (3)解 (1) 所求面积为(2) 解方程组得交点坐标为、，故所求面积为(3) 解方程组得交点坐标为、，故所求面积为2求下列由曲线和直线围成的平面图形的面积(1) ，； (2) ，； (3) ，第2-(1)题图第2-(2)题图第2-(3)题图解 (1) 解方程组得交点坐标为、，故所求面积为(2) 解方程组得交点坐标为，故所求面积为(3) 解方程组得交点坐标为、，故所求面积为3求阴影部分图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积(1) (2) (3)解 (1) 所求体积为 (2) 曲线与轴的交点为，故所求体积为 (3) 曲线与轴的交点为、，故所求体积为4求下列由曲线和直线围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积(1) ，；(2)，第4-(2)题图(3)，第4-(1)题图第4-(3)题图解 (1) (2) (3) 曲线与轴的交点为、，故所求体积为作业3.3.31求下列函数在给定区间上的平均值(1) ，； ，； ，解 (1) (2) (3) 2某城市在一天内的温度模型为，求到这一时间段内的平均温度解 3交流电压经半波整流后为 求在一个周期内电压的平均值解 高等数学章节练习题及答案第四章作业4.1.11.解下列微分方程(1) ；（2）；（3）.解 (1)变形得 ，两边积分得 ，所求微分方程的通解 .(2）两边积分，得 =，所求微分方程的通解 (3)变形得 ，两边积分得 =.所求微分方程的通解 .2.求下列微分方程满足初始条件的特解.（1），；（2），.解 （1）变形得 ，两边积分得 ，代入初始条件，得 .所求微分方程的特解 .（2）两边积分得 ，两边再积分得 ，代入初始条件，得.所求微分方程的特解 .作业4.1.21.解下列微分方程.(1); (2) ; （3）.解 (1)分离变量得 ，两边积分得 ， ，所求微分方程的通解 (2)分离变量 ， ，两边积分得 ，整理得，微分方程的通解 ，其中.(3)分离变量 ，两边积分得 ，所求微分方程的通解 .2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.(1)，; (2).解 (1)分离变量 ，两边积分得 ， ，得 ，所求微分方程的特解 .(2)分离变量 ，两边积分得 整理得 ，代入初始条件得 ，所求微分方程的特解 .作业4.2.11.解下列微分方程（1）; （2）.（3）.解 (1)因为， ，由通解公式得 =.所求微分方程的通解 .(2)变形，得 ，由于，所以， =，所求微分方程的通解 .（3）变形，得 ，由于，所以， =，所求微分方程的通解 . 2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.（1）,; （2） , .解 (1) 因为，由通解公式，得 ， 代入初始条件得， . 所求微分方程的特解 .（2）变形得 . 因为，由通解公式，得 =.代入初始条件得， .所求微分方程的特解 .作业4.2.21.求解下列微分方程(1) ；(2) ；(3) . 解 （1）因为，所以 = = =.所以原方程的通解是 .（2）因为，由公式，得 ， =.所求微分方程的通解 .（3）将原方程变形为 于是 ，代入公式得 .所求微分方程的通解为2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.(1) ，；(2) ；(3) ，.解 （1）将原方程变形为 于是 ，代入公式，得 代入初始条件，得.所求微分方程的特解为 .(2)因为,，.代入公式得， = = =代入初始条件， .所求微分方程的特解为 . (3)将原方程变形为于是 ，代入公式，得 代入初始条件，得.所求微分方程的特解为.作业4.3.11.解下列微分方程.(1)；(2)；(3).解 （1）微分方程对应的特征方程 .特征根 ，所求微分方程的通解 . （2）微分方程对应的特征方程 特征根 ，所求微分方程的通解 . （3）微分方程对应的特征方程 特征根 ， 所求微分方程的通解 .2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.（1），；（2），；解 （1）微分方程对应的特征方程 .特征根 ，微分方程的通解 .由初始条件，得，.所求微分方程的特解 . （2）微分方程对应的特征方程 .特征根 ， 微分方程的通解 .代入初始条件，得，.所求微分方程的特解 .作业4.3.21 解下列微分方程.(1) ； (2) .解 (1)微分方程对应的齐次方程的特征方程 ， 特征根 ，齐次方程的通解 .因为 （特征单根），设非齐次方程的特解 ，于是，.代人原方程，得 .所求微分方程的通解 .(2)微分方程对应的齐次方