高等数学习题集-第十章重积分.doc

第十章 重积分
一. 将二重积分化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下:
1. D: 由与所围之区域.
2. D: 由x = 3, x = 5, x－2y + 1 = 0及x－2y + 7 = 0所围之区域.
3. D: 由, y ³ x及x > 0所围之区域.
4. D: 由|x| + |y| £ 1所围之区域.
解. 1.
2.

3.

4.

二. 改变下列积分次序:
1. 2.
3.
解: 1.
2.
3.
=

三. 将二重积分化为极坐标形式的累次积分, 其中:
1. D: a2 £ x2 +y2 £ b2, y ³ 0, (b > a > 0)
2. D: x2 +y2 £y, x ³ 0
3. D: 0 £ x +y £ 1, 0 £ x £ 1
解. 1.
2.
3.
+

四. 求解下列二重积分:
1.
2.
3. , D: 由y = x4－x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形
4. , D: y ³ x及1 £ x2 + y2 £ 2
解.
1.
=
=
=
2.
==
3. , D: 由的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形.
解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以

4. , D: y ³ x及1 £ x2 + y2 £ 2.
解. 使用极坐标变换

= 0

五. 计算下列二重积分:
1. , D: .
解. 令, .雅可比行列式为

2. , D: , 并求上述二重积分当时的极限.
解.
=
所以.
3.
解.
=
=
4. , D: x2 + y2 £ 1, x ³ 0, y ³ 0.
解.

=.

六. 求证: , 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.
证明: 令u = xy, y = vx. 即, . . 所以

七. 求证:
证明: 令, . . 所以

=

八. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证:

证明: 左 =
=右

九. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明:

证明: 区域 D既对x轴对称, 又对y轴对称.
当m为奇数时为对于x的奇函数, 所以二重积分为0;
当n为奇数时为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.

十. 设函数, 证明:

解: 先计算

所以
十一. 计算:
解. 因为不能积成有限形式, 所以必须更换积分次序. 四面体A为所求的积分区域.

A

1
B

1 C D

由图知
=

十二. , W: 由 , , 及 (y ³ 0, a > 0)所围成.
解. 令. 则
. 于是

=
==

十三. 计算下列三重积分:
1. , W: 由x + y + z = 1, x = 0, y = 0及z = 0所围成.
解.

=
=
=
2. , W: y = 1, y =－x, x = 0, z = 0及z =－x所围形体.
解. z
C

D
B
O A y
1
x
四面体为积分区域.

=
=
3. , W: z = xy, x + y = 1及z = 0所围形体.
1
解.

=
4. 围成的空间区域.
解.

解 得.
方法一:
+
=+

=－+－
=
==
方法二: 用球坐标变换

=
=

十四. 求由下列曲线所围图形的面积.
a/2 2a
1. (a > 0)
解:

求解联立方程, 得. 所以面积S为
S =
=.
2. , (a > 0)
解. 由表达式可知图形关于y轴对称, 所以总面积为上半平面部分的面积的二倍. 化成极坐标, 得

因为r > 0, 所以

求解 或 , 且0 £
解得 . 于是面积S为

=+

+
=.

十五. 求曲面夹在二曲面之间的部分的面积.
解. 该曲面在xoy平面上的投影区域为

所以所求面积为

=

十六. 求用平面x + y + z = b与曲面相截所得的截断面之面积.
解. 作变换

上式是正交变换, 所以也是直角坐标系. 在新坐标系下平面方程为

反解变换式可得

代入曲面方程后得到

正交变换不改变面积, 所以

十七. 求下列曲面所围形体的体积.
1. z = xy, x + y + z = 1, z = 0.
解. 曲顶的曲面为z = xy及x + y + z = 1. 所以所求体积必须分成二部分. 该二部分在xoy平面上的投影区域分别为D1, D2. 于是体积V为

=
=
2.
解.
=.
3.
解. 解联立方程, 得z = 4.
= 16p.

十八. 将三重积分化为柱面坐标的累次积分, 其中W是由, z = 1及z = 4所围成.
解.
+

十九. 改变下列三重积分的积分次序:
1. , 2.
解. 1. 因为. 应该注意最后这个积分的积分区域和y有关, 因此内层的二重积分为y的函数.
当x取自[0, 1]时, 该积分区域V在yoz平面上的投影区域如图:
于是 z
x2+1
= x2
由于x, y的轮换对称性, 立即可得
0 1 y
=
该题的积分区域如下图:

z

1 y

1
x
对于, 当x = 0, y = 1时, z = 1; 当x = 1, y = 0时, z = 1. 当x = 1, y = 1时, z = 2. 所以当z取自[0, 1]时, V在xoy平面上的投影如左图; z取自[1, 2]时, V在xoy平面上的投影如右图.

1 1 Dxy
Dxy
－1

1 1
于是

=
+
由x, y的对称性, 直接可得

=
+
2. 积分区域如下图:

当x取自[0, 1]时积分区域V在yoz平面的投影如图:
z

1

x
1－x y
于是

=
当z取自[0, 1]时, V在xoy平面的投影区域如图:
y
1
x+y=1
z

z=x+y
z 1 x

=

二十. 已知质量为M, 半径为a的球上任一点的密度与该点到球心的距离成正比, 求球关于切线的转动惯量.
解. 设直线l和z轴平行，l和xoy平面的交点坐标为x1和y1，则物体绕l的转动惯量为：
Il= (1)
将球心放在原点，则密度 r（x,y,z）=kr，r为点（x,y,z）到球心的距离。因为球的质量为M，所以

所以 ，
取球的切线为平行于z轴，与xoy平面的交点坐标为（0，R），该切线为l，球体绕l转动的转动惯量为

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