高等数学习题集-第十章重积分.doc

第十章 重积分一. 将二重积分化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下:1. D: 由与所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x2y + 1 = 0及x2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由, y x及x 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| 1所围之区域.解. 1. 2. 3. 4. 二. 改变下列积分次序:1. 2. 3. 解: 1. 2. 3. =三. 将二重积分化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a2 x2 +y2 b2, y 0, (b a 0)2. D: x2 +y2 y, x 03. D: 0 x +y 1, 0 x 1解. 1. 2. 3. +四. 求解下列二重积分:1. 2. 3. , D: 由y = x4x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形4. , D: y x及1 x2 + y2 2解. 1. = = =2. =3. , D: 由的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形.解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以 4. , D: y x及1 x2 + y2 2.解. 使用极坐标变换 = 0五. 计算下列二重积分:1. , D: .解. 令, .雅可比行列式为 2. , D: , 并求上述二重积分当时的极限.解. =所以.3. 解. = = 4. , D: x2 + y2 1, x 0, y 0.解. =.六. 求证: , 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x 0, y 0)所围成之区域.证明: 令u = xy, y = vx. 即, . . 所以 七. 求证: 证明: 令, . . 所以 =八. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证: 证明: 左 = =右九. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明: 证明: 区域D既对x轴对称, 又对y轴对称.当m为奇数时为对于x的奇函数, 所以二重积分为0;当n为奇数时为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.十. 设函数, 证明: 解: 先计算 所以 十一. 计算: 解. 因为不能积成有限形式, 所以必须更换积分次序. 四面体A为所求的积分区域. A 1 B 1 C D 由图知 =十二. , W: 由 , , 及 (y 0, a 0)所围成.解. 令. 则 . 于是=十三. 计算下列三重积分:1. , W: 由x + y + z = 1, x = 0, y = 0及z = 0所围成.解. = = =2. , W: y = 1, y =x, x = 0, z = 0及z =x所围形体.解. z C D B O A y 1 x四面体为积分区域. = =3. , W: z = xy, x + y = 1及z = 0所围形体.1解. =4. 围成的空间区域.解.解 得. 方法一: + =+ =+ = =方法二: 用球坐标变换 = =十四. 求由下列曲线所围图形的面积.a/2 2a1. (a 0)解:求解联立方程, 得. 所以面积S为 S = =.2. , (a 0)解. 由表达式可知图形关于y轴对称, 所以总面积为上半平面部分的面积的二倍. 化成极坐标, 得 因为r 0, 所以 求解 或 , 且0 解得 . 于是面积S为 =+ + =.十五. 求曲面夹在二曲面之间的部分的面积.解. 该曲面在xoy平面上的投影区域为所以所求面积为 =十六. 求用平面x + y + z = b与曲面相截所得的截断面之面积.解. 作变换 上式是正交变换, 所以也是直角坐标系. 在新坐标系下平面方程为 反解变换式可得 代入曲面方程后得到 正交变换不改变面积, 所以 十七. 求下列曲面所围形体的体积.1. z = xy, x + y + z = 1, z = 0.解. 曲顶的曲面为z = xy及x + y + z = 1. 所以所求体积必须分成二部分. 该二部分在xoy平面上的投影区域分别为D1, D2. 于是体积V为 = =2. 解. =.3. 解. 解联立方程, 得z = 4.= 16p.十八. 将三重积分化为柱面坐标的累次积分, 其中W是由, z = 1及z = 4所围成.解. +十九. 改变下列三重积分的积分次序:1. , 2. 解. 1. 因为. 应该注意最后这个积分的积分区域和y有关, 因此内层的二重积分为y的函数.当x取自0, 1时, 该积分区域V在yoz平面上的投影区域如图:于是 z x2+1 = x2由于x, y的轮换对称性, 立即可得 0 1 y=该题的积分区域如下图: z 1 y 1 x对于, 当x = 0, y = 1时, z = 1; 当x = 1, y = 0时, z = 1. 当x = 1, y = 1时, z = 2. 所以当z取自0, 1时, V在xoy平面上的投影如左图; z取自1, 2时, V在xoy平面上的投影如右图. 1 1 Dxy Dxy 1 1 1于是 = +由x, y的对称性, 直接可得 = +2. 积分区域如下图: 当x取自0, 1时积分区域V在yoz平面的投影如图: z 1 x 1x y于是 =当z取自0, 1时, V在xoy平面的投影区域如图: y 1 x+y=1 z z=x+y z 1 x =二十. 已知质量为M, 半径为a的球上任一点的密度与该点到球心的距离成正比, 求球关于切线的转动惯量.解. 设直线l和z轴平行，l和xoy平面的交点坐标为x1和y1，则物体绕l的转动惯量为：Il= (1)将球心放在原点，则密度 r（x,y,z）=kr，r为点（x,y,z）到球心的距离。因为球的质量为M，所以所以 ，取球的切线为平行于z轴，与xoy平面的交点坐标为（0，R），该切线为l，球体绕l转动的转动惯量为15