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线性代数在量子力学中的应用实例
作者：寿立夫
摘要：利用泡利自旋矩阵可以简化电子自旋这一双态系统，并且具备相当的普遍意义，可以适用于一般的量子系统；我们试图在N态系统中寻找一组基础态使之标准正交，为此我们仿照实对称矩阵的证明，证明含复数的哈密顿矩阵总是可以被相似对角化的，并且可以通过Gram-Schmidt法则将其化为标准正交向量组。在此基础上，我们研究了具有四个基础态的氢的超精细分裂问题并由所得结果计算出氢的两个超精细态之间的“21cm谱线“。
关键词：泡利矩阵 ；N态系统； 氢的超精细分裂；线性代数
引言
自海森堡创立矩阵力学以来，随着叠加原理在量子力学中的广泛使用，使得线性代数成为了描述和研究量子系统的强有力工具，在初步学习了相关线性代数知识后，我们已经有了足够的知识储备去探究量子世界的奥妙，在此选取几个例子粗浅地展示下线性代数在量子力学中的一些简单应用。
1 泡利自旋矩阵
1.1 背景知识
1.1.1 振幅与态矢量
由于量子力学本身的特殊性，所以它有一套独特的符号体系。下面引述维基百科的概念:
[1]在量子力学里，一个量子系统的量子态可以抽象地用态矢量来表示。态矢量存在于内积空间。定义内积空间为增添了一个额外的内积结构的矢量空间。态矢量满足矢量空间所有的公理。态矢量是一种特殊的矢量，它也允许内积的运算。态矢量的范度是1，是一个单位矢量。标记量子态的态矢量为。每一个内积空间都有单范正交基。态矢量是单范正交基的所有基矢量的线性组合：
；
其中，是单范正交基的基矢量，是单范正交基的基数，
是的分量，是投射于基矢量的分量，也是处于的概率幅。[1]维基百科“态矢量词条”.
换一种方法表达：
。
在狄拉克标记方法里，态矢量称为右矢。对应的左矢为，是右矢的厄米共轭，用方程表达为；其中，象征为取厄米共轭。设定两个态矢量，。定义,的内积为。结果是一个复数。
1.1.2 哈密顿矩阵
现在我们令表示时刻t处在基础态i的振幅，则在只考虑态矢随时间变化的简单情况下，我们可以得到以下齐次线性微分方程组：
①i=

因为量子系统的幺正性，所以.
1.2 泡利矩阵
1.2.1磁场中电子自旋的自旋方程
i=
i=

通过观察我们可以写出如下泡利自旋矩阵：
= =
1=
将哈密顿矩阵改写为：

若将视为向量，即则可以得到：

与经典物理中的磁矩为的磁体处在磁场为B中的能量的经典公式：
有相似的形式，这是因为经典力学是量子力学的近似的缘故。
1.2.2 泡利矩阵的性质
= 1

2 N态系统
2.1 N态系统的能级
因为①为齐次线性微分方程组，设，现在我们对其施加一个线性变换,则：

为使方程组无耦合项，则,哈密顿矩阵可以相似对角化，则=，为H的特征值，则①被化为如下形式：，可见为该N态系统的n个能级所具有的能量.
2.2 哈密顿矩阵的相似对角化
我们知道哈密顿矩阵具有性质，由于哈密顿矩阵可以为复数，事实上对于实对称矩阵而言，，所以我们猜测哈密顿矩阵也可以被相似对角化；现在我们根据这一性质仿造实对称矩阵相似对角化的证明来证明哈密顿矩阵也可以被相似对角化；
2.2.1 属于不同特征值的特征向量是正交的

2.2.2 基于数学归纳法的证明

2.3 基础态的选择
用Gram-Schmidt法则将H的特征向量组化为标准正交向量组，选其为基础态，显然，这组基础态满足正交化条件：

3 氢的超精细分裂
3.1 由两个自旋1/2粒子组成的系统的基础态
由基础的物理知识可知，氢原子包含一个位于质子附近的电子，电子具有“朝上”或者“朝下”的自旋，质子的自旋也可以“朝上”或者“朝下”。因此，原子的每一种动力学状态都存在这4种可能的自旋态，这四个状态是由于电子和质子磁矩之间的相互作用引起，这些能级的能量移动大约只有eV远小于基态与激发态之间的能级差，所以我们可以用上文的方程组来描述这些量子态；由于基础态或者说基的选择有无穷多种，我们选取物理意义最明显的一组：

电子自旋
质子自旋
态1：
+1/2
+1/2
态2：
+1/2
-1/2
态3：
-1/2
+1/2
态4：
-1/2
-1/2

3.2 氢原子基态的哈密顿
但却是有效的。我们假设有矢量算符,当它作用这四个基础态之一时，只相当于作用在电子的自旋上，同理有算符只作用于质子的自旋上，有如下表格：

从泡利自旋矩阵中获得的经验，我们可以知道哈密顿矩阵应等于：
H=A·
其中A= （）
因为现在有四个基础态，所以H为四维矩阵，所以和泡利矩阵并不完全一致，但我们同样可以分别从这两个算符作用于基础态之上的效果得出哈密顿矩阵，为节省篇幅省略中间的繁琐的计算，直接写出经过这些计算得到的哈密顿矩阵：

3.3能级
由N态系统的结论，我们只需解出哈密顿矩阵的特征值即可算出它各能级对应的能量值，解得， 所以能级差为4A,这就是说当原子从态1跃迁到态4时，会吸收频率为 的光子，反之，发射时也会放出这样频率的光子，根据理论，这个频率的光子的周期为= ,其实验所得数据为(1420405751.8000.028 )Hz ,这便是著名的氢的“21cm谱线”，是氢的两个超精细态之间1420兆周谱线的波长。通过捕捉这一谱线的射电望远镜，天文学家便可以观察氢原子气体浓集处的位置和速度。
4结束语
由于篇幅和水品所限，我们并未能对论题作深入而严谨的探讨，但通过以上这些例子，线性代数充分展现了其在量子力学中的强大作用，我们有理由相信线性代数在其他领域也有着不可或缺的作用；其次，我们可以发现原来复杂深奥的量子力学在用线性代数的语言表述变得十分简洁清晰，使我们能够构建出明析的物理图像。相信随着我们知识的增加，线性代数会帮我们更清晰的理解某些复杂概念与方法。
5参考文献
[1]R.P.Feynman,R.B.leighton,M.sands.The Feynman Lectures on Physics(Volume III).The New Millennium Edition.California Institute of Technology,2010.