矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律研究.pdf

五邑大学学报（自然科学版）JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY （Natural Science Edition）第 37 卷 第 4 期 2023 年 11 月 Vol.37 No.4 Nov.2023 文章编号：1006-7302（2023）04-0013-05 矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律研究 邱柏凤，熊志平（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）摘要：加权广义逆是矩阵理论与应用中不可或缺的一部分，它在线性偏微分方程、多元统计分析、线性控制理论等领域有着广泛的应用.本文利用广义 Schur 补的极大极小秩这一方法研究了 一 些 矩 阵 乘 积 的 加 权 广 义 逆 的 反 序 律，给 出 了 矩 阵 乘 积 的 加 权 广 义 逆 的 反 序 律33221112311,31,31,31,3AMAMAMA A AM和3423121,41,41,4AMAMAM 12341,4A A AM成立的充分必要条件.关键词：加权最小二乘广义逆；反序律；广义 Schur 补；秩等式；秩不等式 中图分类号：O151.21 文献标志码：A On Reverse Order Laws for the Weighted Least Square Generalized Inverses of Matrix Products QIU Bai-feng,XIONG Zhi-ping(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)Abstract:Abstract:The weighted generalized inverse is an indispensable part of the matrix theory and its application,which is widely used in linear partial differential equations,multivariate statistical analysis,the linear control theory and other fields.In this paper,we study the reverse order laws for the weighted generalized inverses of matrix products by using the maximal and minimal ranks of the generalized Schur complement.The necessary and sufficient conditions for the reverse order laws 33221112311,31,31,31,3AMAMAMA A AM and 3423121,41,41,4AMAMAM 12341,4A A AM are obtained.Key Key w words:ords:Weighted least squares generalized inverses;Reverse order laws;Generalized Schur complement;Rank equality;Rank inequality 1 引言及预备知识 加权广义逆广泛地应用于矩阵方程近似求解、微分方程数值解、应用统计学等领域的大规模科学计算当中.大规模科学计算问题的解决要利用加权最小二乘技术（WLS）2-3，该技术的最佳逼近 收稿日期：2023-05-12 基金项目：2021 年度广东省教育厅省级课程思政示范项目（DSZ2021009）；2022 年广东省大学生创新训练项目（202211349312）；2020 年五邑大学课程思政建设改革示范项目（邑大教202153 号）.作者简介：邱柏凤（2001），女，广东湛江人，在读硕士生，研究方向为矩阵与算子广义逆；熊志平，教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要从事矩阵与算子广义逆的理论与应用研究.五邑大学学报（自然科学版）2023 年 14 解可以用矩阵乘积的加权广义逆来计算，在计算过程中会产生一个关键问题：矩阵乘积的加权广义逆的反序律是否成立？20 世纪 60 年代中期以来，矩阵乘积的广义逆的反序律受到极大的关注，并且得到了一些有趣的研究结果以及应用算法3-6.近年来，矩阵乘积的加权广义逆的反序律理论与应用研究得到了长足的发展，逐渐成为了一个热点的前沿研究课题.设m nC表示复数域中的所有m n阶复矩阵构成的集合，mC表示复数域中的所有m维复向量构成的集合，m n0表示m n阶零矩阵的全体，mI 表示m阶单位矩阵，对于任意矩阵m nAC来说，*,rAA分别表示矩阵A的共轭转置矩阵和矩阵A的秩，R A表示矩阵A的值域，N A表示矩阵A的零空间.设m nAC，M和N分别为m阶和 n 阶的 Hermite 正定矩阵，满足下列 4 个方程：(1)AXAA，(2)XAXX，*(3)()MMAXMAX，*(4)()NNXANXA.的矩阵n mXC称为A的加权广义逆，记,M NA.对于集合1,2,3,4MN的一个子集,i jk来说，,i jkA表示满足方程 i，,jk的所有矩阵的集合.如果矩阵,i jkXA，则称X为A的一个,i jk逆，记为,i j kXA.满足方程(1)和(3)M 的所有 n m阶矩阵可以用集合1,3AM表示，1,3AM中的元素X为A的一个1,3M逆，记为1,3MXA，此时X也称为A的一个加权最小二乘广义逆.本文利用广义 Schur 补的极大极小秩，参见文献7和一些经典的秩等式与秩不等式8，给出了3 个矩阵乘积 的加权 广义逆 的如 下反序 律：33221112311,31,31,31,3AMAMAMA A AM和34231212341,41,41,41,4AMAMAMA A AM成立的充分必要条件.引理 1126 设L和M是nC上的两个互补子空间，,L MP表示沿着M到L上的投影算子，则 ,L MRPAAAL，（1）,L MAPAN AM.（2）引理 2128-31 设m nAC，n mXC；M和N分别为 m阶和 n 阶的 Hermite 正定矩阵，则*1,3XAMA MAXA M，（3）1*1*1,4XANXANANA，（4）*11,41,3XANXAN.（5）引理 37 设m nAC，m kBC，l nCC和l kDC；m mMC为 Hermite 正定矩阵，则 1,3*1,3maxmin,MrrrrMABA MAA MBDCABADCD，（6）1,41*1,41*maxmin,NrrrrNAANABDCABC DACNAD.（7）引理 48 设m nAC，m kBC，r nCC则有下列矩阵的秩等式及秩不等式：,rrrrrABA BAE BBE A，（8）rrrrrACAACFCAFC，（9）rrrAACC，,rrrA BAB.（10）其中AmEIAA和AnFIA A.第 37 卷 第 4 期 15 邱柏凤等：矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律研究 2 主要结果 这一节中，我们将给出 3 个矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律成立的充分必要条件，相关结论在下面的定理中呈现.定理 1 设211mmAC，322mmAC，343mmAC且iimmiMC，1,2,3i 是 3 个 Hermite 正定矩阵，则 33221112311,31,31,31,3AMAMAMA A AM*3*223*1*13211123321112rrr00AAAAA A A M A A MA A A M A M.证明 由引理 2 式（3）和矩阵的秩的定义可知，对于任意的1(1,3)1111,3MAAM，2(1,3)2221,3MAAM，3(1,3)3331,3MAAM，下面 3 个公式等价：33221112311,31,31,31,3AMAMAMA A AM，（11）3211,31,31,3*32111233213211MMMA A A M A A A AAAA A A M，（12）3211,31,31,33213211,31,31,3*32113211123321maxr 0MMMMMMAAAA A A MA A A M A A A AAA.（13）利用引理 3 式（6）（令*3211DA A A M，321,31,3*321112332MMCA A A M A A A AA，1mBI，1AA），可得 3211,3111,31,31,3*32113211123321max rMMMMAA A A MA A A M A A A AAA 132*111111*1,31,3*32113211123323211min,mrrrMMIA M AA MAA A A MA A A M A A A AAA A A M 321,31,3*321112332321111min,rmMMA A A M A A A AAA A A M A 321,31,3*32111233232111rMMA A A M A A A AAA A A M A.（14）根据引理 4 和公式（14），并且利用引理 3 式（6）（令*32111DA A A M A，31,3*32111233MMCA A AA A A A，2mBI，2AA），可得 3211,31,321211,31,31,3*32113211123321maxrMMMMMAAA A A MA A A M A A A AAA 321,3221,31,3*32111321112332max rMMMAA A A M AA A A M A A A AA 23*222222*1,3*321113211123332111min,mrrrMIA M AA MAA A A M AA A A M A A A AA A A M A 3*22221,3*3211123332111232111min,rrm0MA MAA A A M A A A AA A A M A AA A A M A 3*2221,3*132111233321112321112min,rrm0MAAA A A M A A A AA A A M A AA A A M A M 3*21,3*13211123332111232111220,min,rmMAA A A M A A A AA A A M A A A A A M A MF 3*21,3*132111233321112321112,rMAA A A M A A A AA A A M A A A A A M A MF.（15）根据引理 4 和公式（15），并且再次利用引理 3 式（6）（令*2*1321112321112,ADA A A M A AA A A M AM F，五邑大学学报（自然科学版）2023 年 16*3211123CA A A M A A A，3,m0BI，3AA），可得 3211,31,31,33213211,31,31,3*32113211123321maxrMMMMMMAAAA A A MA A A M A A A AAA 3*1,32331,3*132111233321112321112max,rMMAAA A A M A A A AA A A M A AA A A M A M F 3*31,32331,3*1*32111232111232111233max,mAr0MMAA A A M A AA A A M A M FA A A M A A A AI*23*2*33333*13*3211123211123321112*1321112321112,minmrrr00AAA M AA MAA A A M A M FA A A M A A AA A A M A AIA A A M A AA A A M A M F*2*2*33*13*321112321112*13321112,minArrmr0AA MAA A A M A M FA A A M A AA A A M A MF*2*3*13*13211123211123Arr0AAA A A M A M FA A A M A A M.（16）结合公式（14）、（15）、（16）和引理 4，可得 3211,31,31,33213211,31,31,3*32113211123321maxrMMMMMMAAAA A A MA A A M A A A AAA*2*3*1*133211123321112ArrF0AAA A A M A A MA A A M A M*3*223*1*13211123321112rrr00AAAAA A A M A A MA A A M A M.（17）结合公式（11）、（12）、（13）和（17），可得 33221112311,31,31,31,3AMAMAMA A AM*3*223*1*1321112332111200rrrAAAAA A A M A A MA A A M A M.根据引理 1，引理 4 和定理 1，很容易得出下列推论 推论 1 设211mmAC，322mmAC，343mmAC且iimmiMC，1,2,3i 是 3 个 Hermite 正定矩阵，则下列说法等价：,3243322111231*33*2223*32111232111*2111233311123221*1*3332111233211123221,31,31,31,32134MIMImrrrRRRR00）AMAMAMA A AMA MA MAAA A A M A AA A A M AA A M A A AM AA M A A AM AA AMA A M A A AMA A M A A AA A,且,且31*1*211123211123.mMA M A A AMA M A A A 由引理 2 可知1,4XAN当且仅当11,3XAN，因此根据定理 1，很容易给出下述定理和推论，证明省略.第 37 卷 第 4 期 17 邱柏凤等：矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律研究 定理 2 设211mmAC，322mmAC，343mmAC且iimmiMC，2,3,4i 是 3 个 Hermite 正定矩阵，则 34231212341,41,41,41,4AMAMAMA A AM 1*2234321112*1*2334321rrr00M A A MA A AAAAAM A MA A A.推论 2 设211mmAC，322mmAC，343mmAC且iimmiMC，2,3,4i 是 3 个 Hermite 正定矩阵，则下列说法等价：,2134231212341*1*23432121121*1*32343211*1*1*1*2343212134321321*1*1123432123431,41,41,41,42341ImrrrRRRR00）MAMAMAMA A AMA A MA A AMAAAMAA MA A AA A MA A AMAA MA A AMAAA A A MA A AA A MA,且,32*1*1*21223432134321.ImMA AAA A MA A AA MA A A且 3 结论 对任意的矩阵1iimmiAC,1,2,3i 及给定的 Hermite 正定矩阵iimmiMC,1,2,3,4i，本文利用广义 Schur 补的极大极小秩等方法，给出了三个矩阵乘积的加权最小二乘-g逆的反序律和加权极小范数-g逆的反序律成立的充分必要条件.后续我们将研究这些反序律在加权最小二乘问题（WLS）的迭代求解当中的应用.参考文献 1 王国荣.矩阵与算子广义逆M.北京：科学出版社，1994.2 WANG G R,WEI Y M,QIAO S Z.Generalized inverse:theory and computations M.Beijing:Science Press,2004.3 BEN-ISRAEL A,GREVILLE T N E.Generalized inverse:theory and applications M.2nd.New York:Springer-Verlag,2003.4 XIONG Z P,QIN Y Y.A note on the reverse order law for reflexive generalized inverse of multiple matrix products J.Applied 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