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第三节 正交试验设计及其方差分析
在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.
1.正交试验设计的基本方法
正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.
正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：
表9-17
列号
试验号
1 2 3
1
2
3
4
1 1 1
1 2 2
2 1 2
2 2 1
(1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.

列数
↓
L4 （23）
↑ ↑
行数 水平数
（2） L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.
最多能安排的因素数
↓
L4 (23)
↑ ↑
试验次数 水平数
(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.
L4 (23)
↑ ↑
实际试验数 理论上的试验数
正交表的特点：
（1） 表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.
（2） 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表Lp（nm）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.
例9.7 提高某化工产品转化率的试验.
某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.
表9-18
水平
因素
1 2 3
A:反应温度（℃）
60 70 80
B:反应时间（小时）
2.5 3.0 3.5
C:原料配比
1.1∶1 1.15∶1 1.2∶1
D:真空度（毫米汞柱）
500 550 600
分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
解 本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.
表9-19
列号
水平
试验号
A B C D
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
2 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.
表9-20
列号
水平
试验号
A B C D
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)
1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)
1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600)
2(70) 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3(80) 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：
反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.
由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.
表9-21
列号
水平
试验号
A B C D
试验结果（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)
1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)
1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600)
2(70) 1 2 3
2 2 3 1
2 3 1 2
3(80) 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
38
37
76
51
50
82
44
55
86
2.试验结果的直观分析
正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.
例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A3B3C2D1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析.
（1） 极差计算
在代表因素A的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T11，求得T11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T21，求得T21=183.
一般地，定义Tij为表9-21的第j列中，与水平i对应的各次试验结果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).记T为9次试验结果的总和，Rj为第j列的3个Tij中最大值与最小值之差，称为极差.
显然T=，j=1,2,3,4.
此处T11大致反映了A1对试验结果的影响，
T21大致反映了A2对试验结果的影响，
T31大致反映了A3对试验结果的影响，
T12，T22和T32分别反映了B1，B2，B3对试验结果的影响，
T13，T23和T33分别反映了C1，C2，C3对试验结果的影响，
T14，T24和T34分别反映了D1，D2，D3对试验结果的影响.
Rj反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小，Rj越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表9-22.
表9-22
T1j
T2j
T3j
151 133 175 174
183 142 174 163
185 244 170 182
T=519
Rj
34 111 5 19

(2) 极差分析(Analysis of range)
由极差大小顺序排出因素的主次顺序：
主→次
B；A、D；C
这里，Rj值相近的两因素间用“、”号隔开，而Rj值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T31=185；即取水平A3，同理可选B3C1D3.故例9.7中较好的因素水平搭配是A3B3C1D3.
例9.8 某试验被考察的因素有5个：A，B，C，D，E.每个因素有两个水平.选用正交表L8(27)，现分别把A，B，C，D，E安排在表L8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.
表9-23
列号
水平
试验号
A B C D E
1 2 3 4 5 6 7
试验结果
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2
1 2 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 2 1 2 1
2 2 1 1 2 2 1
2 2 1 2 1 1 2
14
13
17
17
8
10
11
15
T1j
T2j
61 45 53 50 56 54 52
44 60 52 55 49 51 53
T=105
Rj
17 15 1 5 7 3 1

试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表9-23的极差Rj的大小顺序排出因素的主次顺序为
主 → 次
A、B；D；C、E
最优工艺条件为A2B1C1D2E1.
表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差Rj应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.
3.方差分析
正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.
设有一试验，使用正交表Lp(nm),试验的p个结果为y1,y2,…,yp,记
T=, =，
ST=
为试验的p个结果的总变差；
Sj=
为第j列上安排因素的变差平方和，其中r=p/n.可证明
ST=
即总变差为各列变差平方和之和，且ST的自由度为p-1，Sj的自由度为n-1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的Sj之和就是误差的变差平方和Se，这时Se的自由度fe也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取Sj中的最小值作为误差的变差平方和Se.
从以上分析知，在使用正交表Lp(nm)的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：
F=.
当因素作用不显著时，
F~F(n-1,fe),
其中第j列安排的是被检因素.
在实际应用时，先求出各列的Sj/(n-1)及Se/fe,若某个Sj/(n-1)比Se/fe还小时，则这第j列就可当作误差列并入Se中去，这样使误差Se的自由度增大，在作F检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的Sj全并入Se后得新的误差变差平方和，记为SeΔ,其相应的自由度为feΔ,这时选用统计量
F= ~F(n-1,feΔ).
例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.
解 由表9-23的最后一行的极差值Rj，利用公式Sj=,得表9-24.
表9-24

A B C D E
1 2 3 4 5 6 7

Rj
17 15 1 5 7 3 1

Sj
36.125 28.125 0.125 3.125 6.125 1.125 0.125
ST=74.875
表9-24中第3，6列为空列，因此Se=S3+S6=1.250,其中fe=1+1=2,所以Se/fe=0.625,而第7列的S7=0.125，S7/f7=0.1251=0.125比Se/fe小，故将它并入误差.
SeΔ=Se+S7=1.375,feΔ=3.整理成方差分析表9-25.
表9-25
方差来源
Sj
fj

F=
显著性
A
36.125
1
36.125
78.818

B
28.125
1
28.125
61.364

C
3.125
1
3.125
6.818

D
6.125
1
6.125
13.364

EΔ
0.125
1
0.125

e
1.1250
2
0.625

eΔ
1.375
3
0.458

由于F0.05(1,3)=10.13, F0.01(1,3)=34.12,故因素A，B作用高度显著，因素C作用不显著，因素D作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F检验法要求选取Se，且希望fe要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A和B的交互作用A×B.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.