渐近周期函数的Tauberian定理及其在抽象Cauchy问题中的应用.pdf

Malhemitica数学物理学报2023,43A(6):1699-1709http:/渐近周期函数的Tauberian定理及其在抽象Cauchy问题中的应用1,2简伟刚1龙薇*（江西师范大学数学与统计学院南昌330 0 2 2；2 豫章师范学院数学与计算机学院南昌330 10 3)摘要：周期函数的有界原函数是周期函数，而渐近周期函数的有界原函数未必是渐近周期函数.该文引入了缓慢周期函数的概念，并证明了渐近周期函数的有界原函数是缓慢周期函数有趣的是，缓慢周期函数恰好是一类特殊的S-渐近周期函数，而 S-渐近周期函数早在15年前就被引入且近年来被广泛研究.在此基础上，建立了渐近周期函数的Tauberian 定理及两个相关Tauberian定理此外，将所得Tauberian定理应用到非齐次抽象Cauchy问题，得到了Cauchy问题的解具有 S-渐近周期性的谱集判定定理该文建立的渐近周期函数的 Tauberian 定理和抽象Cauchy问题的谱集判定定理的结论虽然比渐近周期性略弱，但彻底去掉了文献2 3中的遍历性假设，最后，构造了一个具体的Cauchy问题作为例子。值得一提地是，该Cauchy问题的非齐次项是渐近周期函数，但它的解却不是渐近周期的而是S-渐近周期的。这说明了S-渐近周期函数是一些微分方程解的“自然”函数类。关键词：渐近周期；缓慢周期；S-渐近周期；抽象Cauchy问题；Tauberian定理；Beurling谱.MR(2020)主题分类：34G10;43A60;47D06文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-16 99-111引言本文主要利用Tauberian定理考察非齐次Cauchy问题u(t)=Au(t)+(t),t E R的解在无穷远处的渐近周期状态，这里A是Banach空间X上的Co-算子半群的生成元，是从 R到X的连续映射所谓Tauberian定理是指从函数的某些平均性质（例如函数的谱集性质）推导出它在无穷远处的渐近性态Tauberian定理通常是一些简单结果的逆定理例如，函数f在无穷远处趋近于零，则易见该函数的平均值函数 F(t)=Jf(s)ds也是在无穷远处趋近于零的，但是反过来不一定成立要用函数的平均状态推导出函数的渐近性态，往往需要添加一些附加的条件，这些条件通常称为Tauberian条件，而这类定理通常称为Tauberian定理。关于Tauberian定理的更多内容，读者可以参见文献2 1,第9章或文献2，第4章.收稿日期：2 0 2 3-0 1-16；修订日期：2 0 2 3-0 4-10E-mail:;基金项目：国家自然科学基金(118 6 10 37)、江西省双千计划(jxsq2019201001)和江西省自然科学基金重点项目(2 0 2 12 ACB201003)Supported by the NSFC(11861037),the Two Thousand Talents Program of Jiangxi Province(jxsq2019201001)and the Jiangxi Provincial Natural Science Foundation(20212ACB201003)*通讯作者Jcientia6中图分类号：O177.7文献标识码：A(CP)1700一类典型Tauberian 定理是利用函数的谱集性质来刻画函数的渐近周期状态1-6,18,2 3,2 4例如，在1995年，Ruess和Vu23给出了如下关于渐近周期函数（即周期函数和Co函数的直和）的 Tauberian 定理.定理1.12 3,命题6.2)设w0,fEBUC(R,X).若于的谱集sPAP。(f)CZ且f在每一个点入ESPAP（f）处是一致遍历的，即极限ca+tlime-i入sf(t-tJf(s)ds关于0一致存在，则f是渐近周期函数.Tauberian定理在判断Cauchy问题（简记为（CP)）解的渐近状态时起着桥梁作用简单来说，考虑（CP）的特殊情况，当非齐次项三0 时，经过一些技术性处理之后，我们可以推出算子A的谱集(A)和（CP）解u的谱集sp(u）有着如下关联（证明过程详见文献1,p373)(1.1)利用（1.1）式和定理1.1，在满足一定遍历性条件下，当算子A的谱集在虚轴的部分包含于2 Z时，我们就可以推导出方程的解u是渐近周期函数.虽然Ruess 和Vu研究（CP）解的渐近周期性的方法很有效，但在大多实际情况中，往往只知道算子A的谱集性质，而很难判断解是否具有遍历性因此，本文将采用不同的思路研究，试图把定理1.1中的遍历性假设去掉具体来说，我们先考虑（CP）的一种特殊情况，即当A=0时,则（CP)变成了求解非齐次项的原函数问题(1.2)从（1.2）式可以看出，非齐次项函数在无穷远处的渐近周期状态与方程（1.2)的解u（即的原函数）在无穷远处的渐近周期状态必然具有某种关联性例如，周期函数的有界原函数一定是周期函数，但是渐近周期函数的有界原函数却不一定是渐近周期函数（见例2.1).从这个现象出发，我们直接定义了一类新的函数空间，缓慢周期函数空间（见定义2.3)我们不但证明了渐近周期函数的有界原函数是缓慢周期函数（见定理2.1)，而且还发现了缓慢周期函数的差分也正好是渐近周期函数（见定理2.2)更为有趣地是，我们定义的缓慢周期函数是一类特殊的S-渐近周期函数（见定义2.4)。S-渐近周期函数的概念最早是由Pierri 等13,19提出的至今为止,S-渐近周期函数的概念受到了越来越多学者的关注，S-渐近周期函数理论已经非常丰富并且广泛运用于各类微（积）分方程当中7-11,13-15,17-2 0,2 4本文给出了一系列Tauberian定理（见定理3.1,3.2 和3.3).利用本文所得到的Tauberian定理，我们给出了一个判断（CP）方程的解具有渐近周期性的谱集条件（见定理4.1)，并将此结果运用于一个具体的非齐次微分方程。特别值得一提地是，该方程的非齐次项是渐近周期函数，但是它的解却不是渐近周期的而是S-渐近周期的这充分说明S-渐近周期函数是渐近周期函数的一类自然扩充.本文的结构大致如下：第2 节，我们介绍了本文的基本记号，并回顾一些函数空间的基本概念和性质；第3节，研究并建立关于S-渐近周期等函数的Tauberian定理；第4节，我们将主要结果运用于研究Cauchy问题解的渐近周期性并举例说明.2预备知识在本文中，分别用C,R，Z和N表示复数集，实数集，整数集和正整数集记X为一个复数学物理学报sp(u)C o(A)n iR.u(t)=d(t),t E R.Vol.43 ANo.6Banach空间，用BUC(R,X）表示所有从IR到X有界且一致连续函数的全体在上确界范数IlIl。意义下构成的Banach空间.设 t E R,记S(t):BUC(R,X)BUC(R,X),称S(t)是BUC(R,X）上的位移算子.易见S(t)：t E R)是一个 Co-群,用B表示它的生成元.若 BUC(R,X)的子空间F满足则称 F 是 BUC(IR,X）的平移不变的子空间.设 n E R,记 Qn:BUC(R,X)BUC(R,X),下面，我们回顾一下几类函数空间的定义.记和Pu(R,X)=(f E BUC(R,X):对于任意 t E R 有 f(w+t)-f(t)=O),这里w0.定义 2.16 设f E BUC(R,X),若对于任意w0,有S(w)f-f e Co(R,X),则称f是从R到X的缓慢变化函数，用 SV(R,X）表示所有这样函数构成的全体.定义 2.2 2 3 设 f BUC(R,X)和w0,若存在 g E Pu(R,X)和 E Co(R,X)使得f=g，则称f是从 R到X的渐近w-周期函数，用 AP(R,X)表示所有这样函数构成的全体由APw(R,X）的定义，不难验证定义 2.3 设 f BUC(R,X)和 w0,若存在 gn E Pu(R,X)和 n E SV(R,X)使得极限在BUC(R,X）中收敛到f，则称f是从 R到 X的缓慢w-周期函数，用 SPw(R,X)表示所有这样函数构成的全体.定义 2.413设 E BUC(R,X)和w0,若则称f是从R到X的S-渐近w-周期函数，用 SAPw(R,X）表示所有这样函数构成的全体.简伟刚等：渐近周期函数的Tauberian定理及其在抽象Cauchy问题中的应用(S(t)f)(s)=f(t+s),f e BUC(R,X),s E R,(Qnf)(t)=eintf(t),t E R,f E BUC(R,X).Co(R,X)=(f e BUC(R,X):lim f(t)=0)Q2k元/wAPw(R,X)=APw(R,X),k E Z.S(w)f-f E Co(R,X),1701S(t)FCF,tE R,tolim.(gn+on)n(2.1)1702由 SAPw(R,X)的定义,不难验证由以上定义，易见 SV(R,X)，A Pu(R,X),SPw(R,X）和SAPw(R,X）都是BUC(R,X）的闭子空间，且我们有(2.3)Co(IR,X)C APw(R,X)C SPw(R,X)C SAPu(R,X).(2.4)接下来，为了说明（2.3）和（2.4）式中的包含号都可以是真包含号，我们引入如下几个定理和例子.定理2.1 设w0和f ESPu(R,X),则对于任意tER,有 S(t)f-f E AP(R,X).特别地,若 f可导且 fE BUC(R,X),则fEAPw(R,X).证设 f E SPu(R,X),则存在 gn E Pw(R,X)和 n E SV(R,X)使得f=lim(gn+on).n-o于是，对于任意tE R，我们有S(t)gn-gn E Pu(R,X)和 S(t)on-n E Co(R,X),n E N.由于 S(t)是有界线性算子,则S(t)f-f=S(t)lim(gn+n)-lim(gn+n)=,lim(S(t)gn-gn+S(t)on-n)E APw(R,X).n-8特别地,若f可导且fEBUC(R,X),由文献2,引理4.5.5知=limE APw(R,X).t0t证毕.定理 2.2 设w0 和 f E APu(R,X),若 F(t)=J f(s)ds有界,则 F e SPu(R,X).证设f=g+P,g E Pu(R,X)和 p E Co(R,X).记 G(t)=Jo g(s)ds 和(t)=Jog(s)ds.由于F有界，据文献2 2,引理4.6 知G也是有界的.由于w-周期函数的有界原函数也是w-周期函数，于是GE Pw(R,X).因此,也是有界的.对于任意T0,我们有I(T+t)-(t)I p(s)dsT,sup,l(s).t0,记 pr E L1(R,C)满足易见supppr-2r,2r且引理3.1以下命题成立(i)设 f E BUC(R,X),则_limf*pr=f.(ii)设fBUC(R,X),若f 的原函数有界，则_limf*pr=0.引理3.1的证明读者可以参见文献2，引理1.3.3和文献16，引理2,p89.定义 3.12 5)设 C BUC(R,X)是平移不变的闭子空间,n E R 和 E BUC(R,X).若对于任意 0,存在 L(R,C)且 supp(n-,n+e),使得则称n是关于F的谱点.记 sPF(f）为所有这样的点组成的集合.特别地，当F=0)时,称n是f的Beurling谱点，将 sP(o)(f）记为sPB(f)为简便起见，当=SV(R,X）时，我们将 sPsv(R,x)(f）简记为 sPsv(f),其它情况也类似简记.由定义3.1易见sP(f）是闭集，且我们有sPsAP.(f)C sPsP(f)C sPsv(f)C sPco(f)C sPB(f)c R和SPsAP.(f)C SPsP(f)C sPAP.(f)C sPc(f)C SPB(f)C IR.关于Beurling谱集的更多内容，参见文献2,16,2 5.数学物理学报(h*f)(t):=/，入ER,pi()=1,入E-1,1,pr(t)=rpi(rt),t E R.pr()=1,入e-r,r.十f*&F,Vol.43 A(3.1)0+No.6命题 3.1 设 f BUC(R,X),E LI(R,C),C BUC(R,X)是平移不变的闭子空间.则(i)sPF(f)=O 当且仅当 f E F.(i)对于任意tER,EC且0,有(ii)spf(f*)C spr(f)n supp p.(iv)spr(f-f*)C spr(f)nsupp(1-).(v）*f spanS(t)f：t R),这里的闭包是在 BUC(R,X）中取闭包.命题3.1中(i)-(iv）的证明，参见文献2 5,3.5节;（v)的证明，参见文献3，引理1.2.1或者文献2 5,引理5.4,p252.引理 3.2 16)设于 BUC(R,X)。若 spB(f)紧,则对于任意 n EN,于(n)存在且 f(n)BUC(R,X),这里f(n)表示f 的n阶导函数.关于引理3.2 的证明，参见文献16,p88.定理 3.1 设w0,f E BUC(R,X).则 sPsP(f)C(0)当且仅当f E SPu(R,X).证充分性由命题3.1(i）易见成立下面用反证法证明必要性.设sPsP（f)C 0).假设fSPu(R,X)由命题3.1(i)知sPsP(f)0.于是sPsP（f)=0).根据定义3.1,存在ELI(R,C)且supp是紧集，使得(3.2)由命题3.1(i)知 sPB(p*f)C supp紧,据引理3.2 得*f可导且g:=（*f)BU C(R,X).我们断言(3.3)为了证明（3.3）式成立，下面我们证明R)sPsP(o*f)C RIsPAPu(g).设入RsPsP(*f)。据定义3.1得，存在 0,对于任意L(R,X）且supp(入-,入+),有(3.4)利用定理2.1和(3.4)式得*g=*(*f)=b*(*f)E APu(R,X).因此,入ERsPAP(g).故断言成立.由命题3.1(ii）知，spsP（p*f）Cs Ps P（f).于是再根据（3.3）式，我们有利用（3.1）和（3.5)式，据命题3.1(iv)，对于任意r0,我们有简伟刚等：渐近周期函数的Tauberian定理及其在抽象Cauchy问题中的应用sPr(f)=sPr(S(t)f)=sP(f).0*f$SP(R,X).sPAP.(g)C spsP(*f).*(*f)E SPw(R,X).sPAP.(g)C sPsP.(0*f)C sPsPa(f)C(0).sPAP.(g-pr*g)C sPAP(g)n supp(1-pr)=0.1705(3.5)1706于是，由命题3.1(i)知g-Pr*gEAPu(R,X).根据引理3.1(ii)，我们有因此，由定理2.2 得*fESP(R,X),这与(3.2)式矛盾.证毕.易见一个C函数的有界原函数一定是缓慢变化函数。因此，参照定理3.1的证明过程，可以类似证明如下一个关于缓慢变化函数的 Tauberian 定理.定理 3.2 设 f E BUC(R,X).则 sPsv(f)C(0)当且仅当 f E SV(R,X).接下来，我们结合（2.1）和（2.2）式，给出关于渐近周期函数的Tauberian定理.定理 3.3 设w0,f e BUC(R,X).若 sPAP(f)C Z,则 f E SAPu(R,X).证我们用归纳法分四步给出证明.第一步，当sPAP（f)C2 k o 元/w)时,这里ko EZ.根据(2.1)式，不难验证由于 sPsPa(（Q-2 k o /w）CSPA P。(Q-2 k o 元/uf)C0),根据定理 3.1,我们有再由(2.2)式知 f E SAPw(R,X).第二步,当sPAP(f)C2k1元/w,2k2元/w)时,这里k1,k2 EZ且 ki0,uE BUC(R,X)是(CP)方程的温和解.则(i)若E SV(R,X)且(A)n iR C O),则 uE SV(R,X);(ii)若 E SPw(R,X)且(A)niR C 0),则 u E SPw(IR,X);(ii)若E APu(R,X)且(A)niR C 2iZ,则 u E SAPw(R,X).注4.1(a)当uEBUC(R,X)时，定理4.1(i)的条件ESV(R,X)比文献5,引理4)的条件E Co(R,X)更弱，但结论完全一致.(b）定理4.1(ii）成功地把文献2 3，定理6.3(i】中的一致遍历性（uniformlyconvergentmeans）条件去掉了虽然定理4.1(ii）的结论略弱（即解u是渐近周期的减弱到 S-渐近周期的)，但下面的例子说明这种减弱是“自然 的.例4.1设 T(t):tE R)是BUC(R,P2元(R,C)上的平移群,A是其生成元,则o(A)=iZ(参见文献12,p254).记v(t)=eit,t E R,则vE P2元(R,C)且 Av=iv.考虑非齐次 Cauchy问题(4.1)u(0)=(ei+1)v,这里非齐次项+t2)-eiei(1+t2)4,d(t不难验证E AP2元(R,P2元(R,C)且方程（4.1)的解为简伟刚等：渐近周期函数的Tauberian定理及其在抽象Cauchy问题中的应用1707(CP)isp(u)C o(A)n iR,u(t)=Au(t)+(t),t E R,v+ie2itv,tE R.易见 u E BUC(R,P2元(R,C).据定理 4.1(i)知 uE SAP2元(R,P2元(R,C).参照例 2.1()中的过程可以证明u SP2元(R,P2元(R,C),当然 AP2元(R,P2元(R,C).1708有意思的是，在例4.1中，该方程的非齐次项是渐近周期函数，但是它的解却不是渐近周期函数而是S-渐近周期函数.这充分说明S-渐近周期函数是渐近周期函数的自然扩充且是一些微分方程解的“自然”函数类.数学物理学报Vol.43 A参考文献1 Arendt W,Batty C J K.Almost periodic solutions of first-and second-order Cauchy problems.J DifferentialEquations,1997,137:3633832 Arendt W,Batty C J K,Hieber M,Neubrander F.Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy 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periodic.In this paper,we introducethe concept of slowly periodic functions and prove that the bounded primitive function of an asymptot-ically periodic function is slowly periodic.Interestingly,slowly periodic functions are just a special classof S-asymptotically periodic functions,which were introduced 15 years ago and extensively studied inrecent years.On this basis,a Tauberian theorem for asymptotically periodic functions and two relatedTauberian theorems are established.Moreover,we apply our Tauberian theorems to the nonhomoge-neous abstract Cauchy problem,and obtain the spectral condition under which the solution of Cauchyproblem is S-asymptotically periodic.In our Tauberian theorem for asymptotically periodic functionsand its application to abstract Cauchy problem,we completely remove the ergodic assumption in 23although the conclusions are slightly weaker than asymptotical periodicity.Finally,we construct aconcrete Cauchy problem as an example.It is worth mentioning that the inhomogeneous term of thisCauchy problem is asymptotically periodic and its solution is S-asymptotically periodic rather thanasymptotically periodic.This demonstrates that S-asymptotically periodic functions are the“naturalclass for solutions to some differential equations.Key words:Asymptotically periodic;Slowing periodic;S-asymptotically periodic;Abstract Cauchyproblem;Tauberian theorem;Beurling spectrum.MR(2020)Subject Classification:34G10;43A60;47D06