特殊四边形的辅助线.doc

特殊四边形的辅助线
一、分割面积
1. （2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．

（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

二、补全线段
补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。
2. （2008•山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

3. （2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

4. （2007•莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．

中线
5. 在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，∠AEF=54°，则∠B=　 　．

6. （2011•鞍山）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．
求证：DE=DF．

中位线
7. （2013•沙坪坝区模拟）如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．
（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；
（2）求证：AB=2OE．

垂线

8. （2013•宁夏）在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

角平分线
9. （2007•哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：EF+AC=AB；
（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

正方形对角线
10. （2005•湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=　　．（结果不取近似值）

11. （2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

12. （2011•防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．

13. （2014•安徽）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=　 　；
②求证：PM+PN=3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．

三、制造全等三角形
14. （2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．

15. （2014•南平）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．
（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为　 　°．
（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为　 　°．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为　 °．
（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．

16. 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O．BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG=OH；
②连接OP，若AP=4，OP=，求AB的长．

17. 已知Rt△ABC和Rt△ADE，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，P为线段BD的中点，连接PC，PE．
（1）如图1，若AC=AE，C、A、E依次在同一条直线上，则∠CPE=　 　；PC与PE存在的等量关系是　 　；

（2）如图2，若AC≠AE，C、A、E依次在同一条直线上，猜想∠CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，并写出你的结论；（不需要证明）　 　；
（3）如图3，在图2的基础上，若将Rt△ADE绕点A逆时针任意旋转一个角度，使C、A、E不在一条直线上，试探究∠CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，写出你的结论并说明理由．

18. （2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

19. （2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为　7　．

四、构造四边形，等腰三角形
构造平行四边形
20. （2008•旅顺口区）两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上．操作：在图中，在CB边上截取CM=AB，连接DM，交AC于N．请探究∠AND的大小，并证明你的结论．

21. 则在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
75°
22. 如图，已知□ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．

23. （2010•本溪）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

参考答案
一、分割面积
7．（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．

（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

考点：
正方形的性质；矩形的性质；梯形．菁优网版权所有
专题：
压轴题；探究型．
分析：
正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以S△ADE+S△BCE=S△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征，就不一定成立．
解答：
解：①S△ADE+S△BCE=S△CDE
方法1：同底同高
S△ADE+S△BCE=．
方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形
所以S△AED=S△EFD，S△EBC=S△EFC，
所以S△ADE+S△BCE=S△EFD+S△EFC=S△DEC．

②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上
当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．

③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．
理由如下：
设S△ADE=S1，S△BCE=S2，S△DEC=S3，
梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．
则=
如果S△ADE+S△BCE=S△DEC，则有，a（h1﹣h2）=b（h1﹣h2）．
如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1≠h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．

点评：
解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系．

二、补全线段
补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。

5．（2008•山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．
（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．
解答：
解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．

∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60度．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60度．
∴△ABE≌△ACF．

（2）四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．

（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=．
∴S四边形ABEF=EG•（AB+EF）=（6+4）=10．

点评：
此题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂．

22．（2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；探究型．
分析：
（1）要求△FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明△DGH≌△CFG得出．
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得；
（3）若S△FCG=1，由S△FCG=6﹣x，得x=5，此时，在△DGH中，HG=．相应地，在△AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上．故不可能有S△FCG=1．
解答：
解：（1）∵正方形ABCD中，AH=2，
∴DH=4，
∵DG=2，
∴HG=2，即菱形EFGH的边长为2．
在△AHE和△DGH中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，
∴△AHE≌△DGH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，
同理可以证明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，
从而S△FCG=×4×2=4．（2分）

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，

∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S△FCG=×2×（6﹣x）=6﹣x．（6分）

（3）若S△FCG=1，由（2）知S△FCG=6﹣x，得x=5，
∴在△DGH中，HG=，
∴在△AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上．
∴不可能有S△FCG=1．（9分）
另法：∵点G在边DC上，
∴菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时：
∵点E在AB边上且满足AE=2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，
∴最大值为HE=2．
此时，DG=2，故0≤x≤2．
∵函数S△FCG=6﹣x的值随着x的增大而减小，
∴当x=2时，S△FCG取得最小值为6﹣2．
又∵6﹣2=1，
∴△FCG的面积不可能等于1．（9分）

点评：
解答本题要充分利用正方形的特殊性质．搞清楚菱形、正方形中的三角形的三边关系，同时考查了全等三角形的判定和性质．

24．（2007•莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题；动点型；探究型．

分析：
（1）过Q作QQ'⊥AB于Q'，则∠MQ′Q=90°，证明四边形AMND为矩形，然后又证明四边形MNOQ′为矩形，最后可证明△BAE≌△QQ′P后可证得AE=MP+NQ．
（2）画出图形可得若点E在DA的延长线上时，结论为AE=QN﹣MP
（3）画出辅助线，可得若点E1在线段DH上时，结论为AE1=MP1+NQ1；当点E2在射线HG上时，推出AE2=MP2﹣NQ2．
解答：
解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2分）
证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，
则∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四边形MNQQ′为矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3分）
在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
∴∠Q′QP=∠ABE，（4分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
∴AE=MP+NQ．（6分）
（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN﹣MP．（8分）
（3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1．（10分）
若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2﹣NQ2．（12分）

点评：
本题考查全等三角形的判定定理以及正方形的性质的综合运用．

中线
9．（重点题）在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，∠AEF=54°，则∠B=　72°　．

考点：
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
解答：
解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；
∵BC=2AB，为AD的中点，
∴BG=AB=FG=AF，
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．
故答案为：72°．

点评：
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．

20．（2011•鞍山）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．求证：DE=DF．

考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题．
分析：
分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件证明△EMD≌△DNF即可．
解答：
证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，
∵D为AB中点，∠AEC=90°，∠BFC=90°，
∴EM=AC，FN=BC，
∵D是△ABC中AB边上的中点，
∴DN是△ABC的中位线．
∴DN=AC，
∴EM=DN=AC，FN=MD=BC，
∵DN∥CM且DN=CM，
∴四边形MDNC为平行四边形，
∴∠CMD=∠CND．
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，
即∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE=DF．

点评：
本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度中等综合性不小．

中位线
12．（2013•沙坪坝区模拟）如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．
（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；
（2）求证：AB=2OE．

考点：
平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠ADB，然后求出∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠BAE；
（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BF=AB，根据等边对等角可得∠ABD=∠BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFO=∠EOF，再根据等角对等边可得EF=OE，从而得证．
解答：
（1）解：在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠ABD=2∠DBC，∠ADB=25°，
∴∠ABD=2×25°=50°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE=90°﹣∠ABD=90°﹣50°=40°；

（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF=BF=AB，
∴∠ABD=∠BEF，
∵AO=CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC，
∴∠DBC=∠EOF，
根据三角形的外角性质，∠BEF=∠EFO+∠EOF，
又∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠EFO=∠EOF，
∴EF=OE，
∴OE=AB，
∴AB=2OE．

点评：
本题考查了平行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线是解题的关键．

垂线

20．（2013•宁夏）在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

考点：
四边形综合题．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长；
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系．
解答：
解：（1）延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，
∴DF=DE=4﹣x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE•CF，
即y=×x×（10﹣x）=﹣x2+5x，
配方得：y=﹣（x﹣5）2+（0≤x≤4），

当x=4时，y有最大值为12，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是12；

（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°==，
∴CM=CD，
∴CE=CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB．

点评：
此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究题．

角平分线
25．（2007•哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：EF+AC=AB；
（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题；动点型；探究型．
分析：
（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．
（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．
（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．
解答：
（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．
∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF，
又∵AF=AF，
∴Rt△AMF≌Rt△AEF，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，
∴MF=MB，MB=EF，
∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．

（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB
证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，
∵A1F1平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，
又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，
∴A1E1=A1P，
同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，
∴C1Q=C1E1，
由题意：A1A=C1C，
∴A1B+BC1=AB+A1A+BC﹣C1C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF1=QF1=QB，
∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，
即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，
∴E1F1+A1C1=AB．

（3）解：设PB=x，则QB=x，
∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，
Rt△A1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，
即（3+x）2+（2+x）2=52，
∴x1=1，x2=﹣6（舍去），
∴PB=1，
∴E1F1=1，
又∵A1C1=5，
由（2）的结论：E1F1+A1C1=AB，
∴AB=，
∴BD=．

点评：
本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．

正方形对角线

5．（2005•湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=　　．（结果不取近似值）

考点：
正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
易证△ABG∽△DBF，可得BD：AB=BF：BG=，从而得出结果．
解答：
解：连接BD，交GF于H；连接BF．
∵四边形ABCD与BEFG是正方形，
∴BD：AB=BF：BG=，∠ABD=∠GBF=45°，
∴∠ABG=∠DBF，

∴△ABG∽△DBF，
∴=．

点评：
解答本题要充分利用正方形的特殊性质．考查了相似三角形的判定和性质．

15．（2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）因为AG=AE⇒BF=DH．AB=AD，∠ABC=∠ADH⇒△ABF≌△ADH．（SAS）
（2）将△ADH绕点A顺时针旋转90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得结论．
（3）设BF=x，GB=y，根据线段之间的关系利用勾股定理求出xy的值．
解答：
（1）证明：连接AH、AF．
∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG与ABFE都是矩形，
∴DH=AG，AE=BF，
又∵AG=AE，
∴DH=BF．
在Rt△ADH与Rt△ABF中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，
∴Rt△ADH≌Rt△ABF，
∴AF=AH．

（2）证明：将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．

在△AMF与△AHF中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH﹣∠FAH=90°﹣45°=45°=∠FAH，
∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，
∴AG+AE=FH．

（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=1﹣x，AG=1﹣y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在Rt△GBF中，GF2=BF2+BG2=x2+y2
∵Rt△GBF的周长为1，
∴BF+BG+GF=x+y+=1
即=1﹣（x+y）
即x2+y2=1﹣2（x+y）+（x+y）2
整理得2xy﹣2x﹣2y+1=0
∴xy﹣x﹣y=﹣，
∴矩形EPHD的面积S=PH•EP=FC•AG=（1﹣x）（1﹣y）=xy﹣x﹣y+1=﹣，
∴矩形EPHD的面积是．

点评：
本题考查正方形的特殊性质，勾股定理以及正方形中的特殊三角形的应用．

29．（2011•防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所