专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版).doc

专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法
一、知识点
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．平行四边形的性质：
性质
判定
四边形ABCD是平行四边形

4、平行四边形判定方法的选择

5、和平行四边形有关的辅助线作法
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.
求证: OE与AD互相平分.
说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.

（2）利用两组对边平行构造平行四边形
例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.
说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.

求证: ED+FG=AC.

（3）利用对角线互相平分构造平行四边形
例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，
和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例5、如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，
，，那么的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、

（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例6、已知：如图，四边形为平行四边形
求证：

（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例7、已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：

二、 课堂练习：
1、如图，是平行四边形的边的中点，与相交于点，若平行四边形
的面积为，则图中面积为的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 ___________四边形．

3、 如图，AD，BC垂直相交于点O，AB∥CD，BC=8，AD=6，
则AB+CD的长=___________。

4、已知等边三角形ABC的边长为a， P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF ∥AC，点D、E、F分别在 BC、AC、AB上，猜想：PD＋PE+PF=______，并证明你的猜想．

5、平行四边形ABCD中，分别是四条边上的点，且,
试说明：与相互平分．

6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分
别交AB、CD于G、H．
试说明：GF∥EH．

B
7、如图，已知，B是AD的中点，E是AB的中点．
试说明：

D
E

8、如图，E是梯形ABCD腰DC的中点．
试说明：

9、已知六边形ABCDEF的6个内角均为120°，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长．

10、已知是等腰三角形，AB=AC，D是BC边上的任一点，且
，垂足分别为E、F、H，
求 证：

11、 已知：在中，；在中，；连结，取的中点，
连结和．
（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，
求证：且；
（2）如果将图8-①中的绕点逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

图①

图-②

答案：
例4、⑴ 连结 ⑵
⑶ 证明：连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴ 即
∴四边形为平行四边形 ∴
例5、解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,
∵在中, ,,
∴，即 解得 故选A
例6、证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴

则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵
∴ ∴
∴
例7、证明：延长交的延长线于点
∵四边形为正方形
∴∥且,,
∴ 又∵, ∴≌
∴ ∵ ∴
∵ ∴≌ ∴
∵ ∴ ∴,则
∴

二、 课堂练习
1、 C 2、平行 3、10 4、
5、 分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，根据
平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分。

6、 分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四
边形具有对边平行的性质可得GF∥EH．

7、 分析：延长CE至F，使EF＝CE，连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形
的性质证明△DBC≌△FBC即可。

8、 分析：过点E作MN∥AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形，
△ABE与四边形ABNM等底等高，所以S△ABE＝S平行四边形ABNM，接下来说明
S梯形ABCD＝S平行四边形ABNM即可。

9、

10、 证明：过D点作DG⊥CH于G
又DE⊥AB于E，CH⊥AB于H
∴四边形DGHE为矩形 ∴DE＝GH EH∥DG
∴∠B＝∠GDC
又AB＝AC ∴∠B＝∠ACB
∴∠GDC＝∠ACB
又∠DGC＝∠DFC＝90° CD＝DC（公共边）
∴△CDG≌△DCF（AAS）
∴DF＝CG
又CH＝CG＋GH
∴CH＝DF＋DG（等量代换）

11、

平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结 ⑵
⑶证明：连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴ 即
∴四边形为平行四边形 ∴

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，
，，那么的取值范围是（ ）
A B C D
解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中, ,,
∴，即 解得 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形
求证：
证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴

则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵
∴ ∴
∴

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：
证明：延长交的延长线于点
∵四边形为正方形
∴∥且,,
∴ 又∵, ∴≌
∴ ∵ ∴
∵ ∴≌ ∴
∵ ∴ ∴,则
∴
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长与的延长线相交于，则有∽,∽,∽

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,,
交于，求
解：连结交于点,连结
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴∥且 ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

13