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与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结 ⑵
⑶证明：连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴ 即
∴四边形为平行四边形 ∴

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，
，，那么的取值范围是（ ）
A B C D
解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中, ,,
∴，即 解得 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形
求证：
证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴

则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵
∴ ∴
∴

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：
证明：延长交的延长线于点
∵四边形为正方形
∴∥且,,
∴ 又∵, ∴≌
∴ ∵ ∴
∵ ∴≌ ∴
∵ ∴ ∴,则
∴
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长与的延长线相交于，则有
∽,∽,∽

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,,
交于，求
解：连结交于点,连结
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴∥且 ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
梯形的辅助线
口诀：
梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：
作法
图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形。

平移对角线。转化为三角形、平行四边形。

延长两腰，转化为三角形。

作高，转化为直角三角形和矩形。

中位线与腰中点连线。

（一）、平移
1、平移一腰：
例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.
解：过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在Rt△DAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
解：过点B作BM//AD交CD于点M，
在△BCM中，BM=AD=4，
CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范围是：
5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以

3、平移对角线：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．
A
B
D
C
E
H
∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°．
作DH⊥BC于H，则
．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在△ACE中，，
从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

解：连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

证：过点D作DG⊥AB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cm
∵AB=DC

∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm
∴AB=2BE=2cm，
∴
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中，
因为AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①
在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以 ②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。
证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG
则AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线
从而EF//BG，且
因为AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分别延长AE与BC ，并交于F点
∵∠BAD=900且AD∥BC
∴∠FBA=1800－∠BAD=900
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)
∠AED=∠FEC （对顶角相等）
DE=EC （E点是CD的中点）
∴△ADE≌△FCE （AAS）
∴ AE=FE
在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE
∴ BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
解：AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F．
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC， ∴BE=AE．
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．
解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．
A
B
C
D
E
F
M
N
∵DE=EC，AD∥BC
∴△DEM≌△CNE
四边形ABNM是平行四边形
∵EF⊥AB，
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2．

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（ ）
A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

**8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？