三角函数周期的几种求法.doc

三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（T）（）都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1求函数y=3sin（）的周期解：y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）这就是说，当自变量由增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。函数y=3sin（）的周期是T=3。例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期解f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x）f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=例3：求f（x）=的周期解：f（x+）= f（x）求f（x）=的周期：T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、tg（）形成（其中A、为常数，且A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：、。例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx-sin cosx） =1-2sin（x-）这里=1周期T=2例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1解：y=2（sinx-cos3x）-1 =2sin（3x-）-1这里=3 周期为T=例6：求y=tg（1+）的周期解：这里=，周期为：T=/=（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。例7：求f（x）=sinxcosx的周期解：f（x）=sinxcosx=sin2x这里=3，f（x）=sinxcosx的周期为T=例8：求f（x）=sin2x的周期解：f（x）=sin2x=而cos2x的周期为，f（x）=sin2x的周期为T=注：以上二题可以运用定义求出周期。例9：求y=sin6x+ cos6x的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x =（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x =1- sin22x =+cos4x而cos4x的周期为T=,y= sin6x+ cos6x的周期为T=例10：函数y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x =3-2sinxcosx+2cos2x =3-sin2x+cos2x+1 =4+2(cos2x-sin2x =4+2cos(2x+) y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x的周期为T=3定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1事实上，由（既约分数），得T= P2T1=P1T2f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。解：y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2=由P1T2= P2T1，得=，取P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=。例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期解：sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=而=，即是T=2T1=3T2， y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2例13：求函数y=cos+sin的周期解：cos的周期为T1=6，sin的周期为T2=8而，即是T=4T1=3T2 y=cos+sin的周期为T=3T2=24。类似，y=sin-2sin的周期为T=30，y=tg3+2ctg2的周期为T=。由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。