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乘法心算速算法 （完整版）- 世界之大，无奇不有，数学运算，奥妙无穷。算法探秘，妙趣横生，激励人们去探索、去研究，在探索中不断的激发求知的欲望，不断获得新知，不断获得新知后的快乐。让我们在求知的欲望中去学习、去探究、去创新、去体会获得新知后的快乐。 一、有趣的乘法 数学运算有灵气，有人气，有妙不可言的规律，请看有趣的乘法1、3、6、9： 1、有趣的乘法1 一心一意的1，永远拥护最高领导，最高领导正中间，一次分开占两边，最高领导你是几，就看你有几个1，最高领导我公平，你有几个我是几，最高领导我唯一；若要出现不公平，最少的有几我是几，最高领导不唯一，最高领导有几个，你们相差几个我是几加1。 1111 =121 11111=1221 111111=12221 111111 = 12321 1111111=123321 11111111=1233321 11111111 =1234321 111111111=12344321 1111111111=123444321 1111111111=123454321 11111111111=1234554321 111111111111=12345554321 根据以上运算结果，通过分析、归纳、总结，得出：任意两个只含数字1的数（其中有一个数位数不超过9位）的积，其积中最大的数字是这两个因数中较小一个因数的位数，最大的数字的个数等于这两个因数的位数差（大减小）加1，最大的数字总是集中在中间，其两侧数字关于这些最大的数字对称。也就是积的最高位是1，向右逐位递增1至到最大数字，过最大的数字后右逐位递减1至到1。例如： 111111111111111111111111=1234567899999987654321 2、有趣的乘法3 3333=1089 33333=10989 333333=109989 333333=110889 3333333=1109889 33333333=11099889 33333333=11108889 333333333=111098889 3333333333=1110998889 根据以上运算结果，通过分析、归纳、总结，得出：任意两个只含数字3的数的积，如果两个因数的位数有一个是1，则它们的积中只含数字9，9的个数等于这两个因数中较大一个因数的位数。如果两个因数的位数都大于1，则它们的积中只含数字1、0、8、9，并且1与8的个数总保持相同，都等于较小一个因数的位数减1，“1”一个挨一个的集中在最左边，紧挨最右边一个1的是0，0只有一个，所有8也都紧挨着，8右边总是只有一个9。当两个因数的位数相同时，0右边是8，当两个因数的位数不相同时，0与8之间还有9，此处9的个数等于这两个因数的位数差。例如： 333333333333333=111109999988889 3、有趣的乘法6和9 6666=4356 66666=43956 666666=439956 666666=443556 6666666=4439556 66666666=44399556 66666666=44435556 666696666=444395556 6666666666=4443995556 9999=9801 99999=98901 999999=989901 999999=998001 9999999=9989001 99999999=99899001 99999999=99980001 999999999=999890001 9999999999=9998990001 666666666666666=444439999955556 999999999999999=999989999900001 6和9的规律请大家总结 二、任意一个两位数乘以99的心算速算技巧 任意一个两位数乘以99的积，其积等于这个两位数减去1，然后补两个0，再加上100减去这个两位数。 （如ab99得数为：ab-1做前积，ab补数做后积。）1899=1700+82 =1782 1699=1500+84=1584 2399=2200+77 =2277 2499=2300+76=2376 根据以上运算结果，通过分析、归纳、总结，得出：任意一个大于10的两位数乘以99其积必定是四位数，并且这个四位数的前两位数总是等于这个两位数减去1，后两位数与前两位数的对应位之和总是等于9。或后两位数总是等于100减去这个两位数。 3999=3861 3799=3663 4899=4752 4299=4158 5699=5544 5799=8643 6199=6039 6799=6633 7899=7722 7499=7326 8999=8811 8699=8514 9999=9801 9299=9108 同理：任意一个大于100的三位数乘以999其积必定是六位数，并且这个六位数的前三位数总是等于这个三位数减去1，后三位数与前三位数的对应位之和总是等于9。或后三位数总是等于1000减去这个两位数。（如abc999得数为：abc-1做前积，abc补数做后积。） 118999=117882 229999=228771 337999=336663 489999=488511 587999=586413 667999=666333 同理： 11129999=11118888 33349999=33336666 444599999=44445555 888889999999=888888111111 77777789999999=77777772222222 6666666799999999=6666666633333333 三、30以内的两个两位数乘积的心算速算 1、十几乘十几任意两个20以内的两个两位数的积一定是三位数，都可以用个位相乘做个位，个位相加做十位，十位相乘做百位，进位要加上。例如： 练习： 1111计算步骤：11=1写个位，1+1=2写十位，11=1写百位，得数为：121 1213计算步骤：23=6写个位，2+3=5写十位，11=1写百位，得数为：156 1618计算步骤：68=48，个位写8进4，6+8=14十位写4加进位的4=8，11=1百位写，1加进位的1为2.得数为：288 2、两个因数分别在10至20和20至30之间 对于任意这样两个因数的积一定是三位数，都可以将较小的一个因数的“尾数”的2倍移加到另一个因数上做前积，两个个位相乘做后积。 例如： 2214计算步骤：22加42=30做前积，24=8做后积，得数为308.2313计算步骤：23加32=29做前积，33=9做后积，得数为299.2617计算步骤：26加72=40做前积，62=42做后积，满十向前进，得数为4423、两个因数都在20至30之间 对于任意这样两个因数的积一定是三位数，都可以将其中一个因数的“尾数”移加到另一个因数上，再用和乘2做前积，两个个位相乘做后积。例如： 2221计算步骤：22加1=232=46做前积，21=2做后积，得数为462 2923计算步骤：29加3=322=64做前积，93=27做后积，满十向前进，得数为667掌握此法后，30以内两个因数的积，都可以用心算快速求出结果。 四、大于70的两个两位数乘积的心算速算 对于任意这样两个因数的积一定是四位数，都可以用其中的一个因数减另一个因数的补数做前积，两个补数相乘做后积。 例如： 9999计算步骤：99-1=98做前积，11=1做后积，得数为98019798计算步骤：97-2=95做前积，32=6做后积，得数为95068893计算步骤：88-7=81做前积，127=84做后积，得数为8184掌握上述方法后，30以内两个因数的积和大于70的两个两位数的积，都可以用心算快速求出结果。 五、大于50小于70的两个两位数乘积的心算速算 对于任意这样两个因数的积一定是四位数，都可以将较小一个因数大于50的部分移加到另一个因数所得的和除以2做前积，用两个因数与50的差相乘做后积。例如： 练习 5151计算步骤：51+1=522=26做前积，11=2做后积，得数为26025359计算步骤：59+3=622=31做前积，39=27做后积，得数为31275666计算步骤：66+6=722=36做前积，616=96做后积，得数为36966273计算步骤：73+12=852=42.5，前积记作4255，1223=276做后积，满十向前进，得数为4526六、乘法口算速算法 乘法口算速算法是一种简便的，极易被掌握的乘法心算速算法，是将传统算法改为补整法，例如：4947可改为5046+13=2303， 9894可改为 10092+26=9212；移尾法，例如：5153可改为5054+13=2703， 3132可改为3033+12=992；补商法，例如：8424可改为10020+44=2016等等，下面逐个介绍，并注意一个因数乘以50等于将这个因数平分后乘以100。 1、补整法 任意两个因数的积，都可以用其中的一个因数将另一个因数补成“整数”求积，然后再加上这个“整数”分别与这两个因数差的积。 例如： 练习 1919=1820+11=361 1918= 2728=2530+32=756 2629= 3848=3650+122=1824 3949= 4648=4450+42=2208 4848= 9499=93100+61=9306 9398= 8798=85100+132=8526 7699= 补整法比较适用于首接近尾之和不小于10的乘法，特别适用于两个因数都略小于20、30、50、100的乘法。 2、移尾法 任意两个因数的积，都可以将其中一个因数的“尾数”移加到另一个因数上求积，然后再加上这两个因数分别与这个“整数”差的积。 例如： 练习： 1412=1610+42=168 1411= 2223=2520+23=506 2422= 5551=5650+51=2805 5458= 6254=6650+124=3348 6351= 4337=5030+137=1591 4831= 112103=115100+123=11536 125102= 移尾法比较适用于首接近尾之和不大于10的乘法，特别适用于两个因数都略大于10、20、30、50、100的乘法。 3、补商法 令A、B、C、D为待定数字，则任意两个因数的积都可以表示成： ABCD=(AB+AD/C)C0+BD = ABC0 +ADC0/C+BD = ABC0 +AD10+BD = ABC0 +A0D+BD = ABC0 +（A0+B）D = ABC0 +ABD = AB（C0 +D） = ABCD 补商法比较适用于C能整除AD的乘法，特别适用于两个因数的“首数”是整数倍，或者两个因数中有一个因数的“尾数”是“首数”的整数倍。 （1）两个因数的积，只要两个因数的首数是整数倍关系，都可以运用补商法进行运算，即A =nC时，ABCD=(AB+n D)C0+BD 例如： 练习： 2313=2910+33=299 2312= 3312=3910+32=396 4616= 4611=5010+61=506 6623= 4622=5020+62=1012 8227= 4724=5520+74=1128 9339= 6123=7020+13=1403 6226= 6329=9020+39=1827 8626= 8424=10020+44=2016 9731= 8629=12020+69=2454 9834= 6232=6630+22=1984 8443=9040+43=3612 8642=9040+62=3612 （2）两个因数的积，只要有一个因数的“尾数”是“首数”的整数倍，都可以运用补商法进行运算，即D =nC时，ABCD=(AB+ nA)C0+BD 例如： 练习： 7624=9020+64=1824 9322= 8126=10520+16=2106 8436= 7228=10020+28=2016 6939= 4236=5030+26=1516 7648= 7939=10030+66=3036 4677= 8448=10040+48=4032 2877=3070+87=2156 8255=9050+25=4510 （3）当C能整除AD时，可以直接运用补商法进行运算，当C不能整除AD时，AB可加上AD/C的整数部分运算，余几就在原结果上再加几十。例如： 8465=9060+40+45=5460 7332=7730+20+32=2336 （4）当A =nC+1时：ABCD=(AB+n D)C0+D0+BD 例如： 练习： 7234=8030+40+24=2448 7836= 7831=8030+10+81=2418 7637= 9841=10040+10+81=4018 9443= 9249=11040+90+29=4508 9647= 想一想，下面是怎样运算的 ： 例如： 练习： 9149=11040+50+19=4459 9547= 7134=8030+10+14=2414 7736= 9742=10040+60+72=4074 9543= 7732=8030+50+72=2464 7334= 掌握此法后，130以内两个因数的积，基本上都可以用心算快速求出结果。 七、接近100的两个数乘积的心算速算技巧 对于计算任意两个大于90的两位数的乘积及任意两个小于110的三位数的乘积，运用巧妙的算速方法，人人都可以做到准确、快速、达到心算一口清。 1、两个都小于11 0的三位数的乘积 对于任意两个小于11 0的三位数的乘积，其积必定是五位数，且左边三位数总是等于其中一个因数加上另一个因数的“尾数”，右边两位数总是等于两“尾数”的积。例如： 108109=11772。左边三位数等于108+9=117，右边两位数等于89=72， 同理： 练习： 105107=11342 106107= 104109=11336 103108= 102103=10506，右边两位数等于23=6，因为是两位，所以应写成06， 同理： 练习： 101109=11009 102104= 103103=10609 101107= 八、40以内的两个两位数乘积的心算速算 1、两个因数分别在10至20和30至40之间 对于任意这样两个因数的积，可以将较小的一个因数的“尾数”的3倍移加到另一个因数上，然后补一个0，再加上两“尾数”的积。 例如： 练习： 3214=440+24=448 3213= 3313=420+33=429 3314= 3617=570+67=612 3917= 3814=500+84=532 3812= 3913=480+93=507 3914= 2、两个因数分别在20至30之间 对于任意这样两个因数的积一定是三位数，当较小的一个因数是偶数时，可以将较小的一个因数的“尾数”移加到另一个因数乘以2做前积，再用两个因数与20的差的积做后积。 例如： 练习： 3122计算步骤：31+2=332=66做前积，112=22做后积,满十向前进，得数为6823224计算步骤：32+4=362=72做前积，124=48做后积,满十向前进，得数为7683、两个因数分别在30至40之间对于任意这样两个因数的积，都可以将其中一个因数的“尾数”移加到另一个因数做前积，然后再用两“尾数”的积做后积。 3131计算步骤：31+1=323=96做前积， 11=2做后积,得数为9623936计算步骤：39+6=453=135做前积，96=54做后积,满十向前进，得数为1404其他范围前面已经有心算速算法 移尾法总结： 对于两个因数的积，其中较大的因数的首位是较小因数的n倍，就将较小因数的个位乘n加较大的因数的和，再用和乘较小因数的首位数字的积做前积；两个因数个位相乘的积做后积。满十要向前进。补整法总结： 这样两个因数的积，可以用其中的一个因数减另一个因数的补数做前积，然后再这两个因数的补数的积做后积。满十要向前进。 熟练掌握两位数乘法的心算速算后，可以灵活运用乘法心算速算法进行三位数乘法运算。三位数乘法可以把百位上的数字看成“首数”、十位和个位上的数字看成“尾数”。 令：A、B、X、C、D、Y为待定数字 ABXCDY=(ABX+ADYC)C00+BXDY 当A=nC时： ABXCDY=(ABX+nDY)C00+BXDY 例如： 112113=12500+1213=12500+156=12656 114114=12800+196=12996 122112=13400+264=13664 135125=16000+875=13875 158154=21200+3132=24332 134199=23300+3366=26666 222124=27000+528=27528 246127=30000+642=30642 225225=250200+625=50625 256264=320200+3524=67524 312112=34800+144=34944 422224=470200+528=94528 612314=640300+168=192168 921323=990300+483=297483 824299=1220200+2376=246376 特殊数的速算技巧：1、两首数之和为10，尾相同的乘法运算技巧 对于两个因数首之和为10，尾相同的积，都可以用两个首的积加上尾做前积，两个尾数的积做后积。 8222计算步骤：82+2=18做前积，22=4做后积，因为积是四位数，要补0，得数为18047434计算步骤：73+4=25做前积，44=16做后积，因为积是四位数，得数为25162、其他首之和为10的心算速算法 对于两个因数，首之和为10，尾相差n的积，都可以用两个首的积加上小的尾之后补两个0，小尾的因数的首是几就加上n个几十，再加上两个尾的积。 令A、B、C、D为待定数字，A+C=10，B=D+n ,则两个两位数的积的代数式可表示成： (10A+B)(10C+D)=100AC+10AD+10CB+BD =100AC+10AD+10C(D+n)+BD =100AC+10AD+10CD+ 10Cn+BD =100AC+10D(A+C)+n10C+BD =100AC+10D10+n10C+BD =100(AC+D)+n10C+BD 例如：7836=2700+60+48=2808 7532=2300+90+10=2400 6442=2600+80+8=2688 6845=2900+120+40=3060 3、首和为11，尾相同的两个两位数的乘法心算速算法 对于首之和为11，尾相同的两个两位数的积，都可以用两个首的积加上尾之后补两个0，尾是几加上几十，再加上两个尾的积。 例如： 7343=3100+30+9=3139 7646=3400+60+36=3496 8232=2600+20+4=2624 8636=3000+60+36=3096 8737=3100+70+49=3219 4、两数头相同，尾合十的乘法运算技巧 对于两个因数尾之和为10，头相同的积，都可以用头乘头加1的积前积，两个尾数的积做后积。例如：3733计算步骤：3（3+1）=12做前积，73=21做后积，得数为12216664计算步骤：6（6+1）=42做前积，64=24做后积，得数为42245、个位是1的两个两位数速算技巧：对于个位是1两个两位数的积，都可以用个位相乘做个位，十位相加做十位，十位相乘做百位，满是要想前进。3141计算步骤：11=1写个位，3+4=7写十位，34=12写百位、千位，得数为：1271 5181计算步骤：11=1写个位，5+8=13十位写3进1，58=40写百位、千位，再加上进位，得数为：4131 请同学们要多多练习，熟能生巧。学习数学的是很有乐趣的，聪明的你能继续研究吗？期待你的成果！