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第三章第三章 优化设计数学模型优化设计数学模型3-1 设计变量设计变量3-2 约束条件约束条件3-3 目标函数目标函数3-4 优化设计数学模型优化设计数学模型3-5 数学模型几何描述数学模型几何描述3-6 优化设计迭代过程及终止准则优化设计迭代过程及终止准则第1页 优化设计数学模型是描述实际优化问题设计内容、变量关系、相关设计条件和意图数学表示式，它反应了物理现象各主要原因内在联络，是进行优化设计基础。第2页3-1设计变设计变量量一、设计变量一、设计变量设计变量：设计变量：在优化设计过程中是改变，需要优选改变，需要优选 量。设计参数：设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定保持不变或预先确定 数值。能够是几何参数几何参数：例，尺寸、形状、位置 运动学参数运动学参数：例，位移、速度、加速度 动力学参数动力学参数：例，力、力矩、应力 其它物理量物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度 非物理量非物理量：例，效率、寿命、成本设计向量：设计向量：用 X=x1,x2,x nT 表示，是定义在 n 维欧氏空间中一个向量。第3页二、设计点与设计空间二、设计点与设计空间设计点设计点:X(k)（x1(k),x2(k),x n(k)）：是设计向量X(k)端点，代表设计空间中一个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间设计空间 Rn：以x1,x2,xn 为坐标轴，组成 n 维欧氏实空间Rn。它包含了全部可能设计点，即全部设计方案即全部设计方案。欧氏空间欧氏空间:因为工程设计中设计变量都是实数，所以称这种因为工程设计中设计变量都是实数，所以称这种设计空间为欧式空间设计空间为欧式空间第4页三、连续量与离散量三、连续量与离散量 普通来说，设计变量大多是一些连续改变连续改变量量。但在机械设计中，有些变量也可能是跳跃式量。比如齿轮齿数必须为整数，模数必须符合国家标准所要求值，轴承尺寸必须符合产品样本中所要求值等。凡属这类跳跃式量称为离散量离散量。对于离散设计变量，在优化设计过程中经常把它们视作连续量，在求得连续量优化结果后再进行在求得连续量优化结果后再进行圆整或标准化圆整或标准化，以求得一个实用最优方案。第5页3-2 约约束条件束条件 设计空间是全部设计方案集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接收。如一个设计满足全部对它提出要求，就称为可行设计可行设计。一个可行设计必须满足一些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。作约束条件，简称约束。第6页一、设计约束类型一、设计约束类型(1)约束又可按其数学表示形式分成等式约束等式约束和不等不等式约束式约束两种类型。(2)依据约束性质能够把它们区分成：性能约束性能约束针对性能要求而提出限制条件称作性能约束性能约束。比如比如，选择一些结构必须满足受力强度、刚度或稳定性等要求；边界约束边界约束只是对设计变量取值范围加以限制约束称作边界约束边界约束。比如比如，允许机床主轴选择尺寸范围，对轴段长度限定范围就属于边界约束。第7页(3)显式约束显式约束 隐式约束隐式约束 约束函数有能够表示成显式形式，即反应设计变量之间显著函数关系显著函数关系，有只能表示成隐式形式,如例中复杂结构性能约束函数（变形、应力、频率等），需要经过有限元等方法计算求得需要经过有限元等方法计算求得。第8页可行域可行域：在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），代表一个可行方案,可行设计点集合D称为可行设计可行设计区域区域。非可行域非可行域：在可行域外点称为非可行设计点（外点），代表不可采取设计方案，这种设计点集合为非可行域非可行域。二、可行域和非可行域二、可行域和非可行域第9页3-3 目标函数目标函数 为了对设计进行定量评价，必须结构包含设计变量评价函数，它是优化目标，称为目标目标函数函数，以F(X)表示。在优化过程中，经过设计变量不停向F(X)值改进方向自动调整，最终求得F(X)值最好或最满意X值。在结构目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，全目标函数必须包含全部设计变量，全部设计变量必须包含在约束函数中部设计变量必须包含在约束函数中。第10页在机械设计中机械设计中，可作为参考目标函数有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。在最优化设计问题中，能够只有一个目标函数，称为单目标函数单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数多目标函数最优化问题最优化问题。在普通机械最优化设计中，多目标函数情况较多。第11页3-4 优化设计数学模型优化设计数学模型总而言之，最优化问题数学模型普通表示以下：对于无约束最优化问题无约束最优化问题：式中，表示n维实欧氏空间维实欧氏空间。第12页对于约束最优化问题约束最优化问题：式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条件所要求可行域要求可行域。第13页经过最优化方法求得一组最优设计变量：最优设计变量：表示了一个最优化设计方案，称为最优设计点最优设计点。对应于该设计方案目标函数为目标函数为：称为最优化值称为最优化值。最优点和最优值二者组成了一个优化问题最优解最优解。第14页在数学模型中，若目标函数F（X）和约束函数 和 都是设计变量 线性函数线性函数，这么优化问题常称为线性规划线性规划问题，不然称为非线性规非线性规划划问题。第15页3-5数学模型几何描述数学模型几何描述 为了深入说明最优化问题一些基本概念，下面再对它作必要几何描述，方便比较直观地、形象化地了解它。先以一个二维二维优化问题为例。设有一个约束最优化问题，数学模型以下：第16页 对于这么一个优化问题，可用下列图几何图形来说明几个基本概念。第17页3-6 优化设计迭代过程优化设计迭代过程 及终止准则及终止准则第18页一一、迭代、迭代过过程与迭代格式程与迭代格式 为了适应电子计算机工作特点电子计算机工作特点，要求最优化方法含有以下性质性质：1.1.数值计算数值计算，而不是解析方法；2.含有简单简单逻辑逻辑结构，并能进行重复重复运算运算过程：3.不要求取得准确解，而只要求有足够精度足够精度近似解。满足上述要求计算过程或计算方法就是所谓数值迭代过程数值迭代过程 或或 数值迭代方法数值迭代方法。第19页 数值迭代基本思想基本思想是：从某一个选定初始点 出发，按照某种最优化方法所要求标准，确定适当方向和步长，取得第一个新修改设计点 ，计算此点目标函数值 使满足：最终到达与理论最优点理论最优点X*非常迫近近似最优点近似最优点X*。第20页 式中 就是以 为新起始点，沿着一定方向 以一定步长 确定下一个设计点 改进迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可写作：第n步迭代计算步长。第21页二、二、优优化方法分化方法分类类 当前已经有最优化方法很多，各种方法区分就在于确定方向S和步长a方法不一样。这些方法可大致归纳为两大类：1直接搜索法直接搜索法 这种方法只需要进行函数计算与比较计算与比较来确定优化方向和步长。2间接法间接法 这种方法需要利用函数一阶或二阶偏导数函数一阶或二阶偏导数矩阵来确定优化方向和优化步长。第22页 因为大多数工程设计问题设计变量比较多，函数形式也比较复杂，不易求得一阶和二阶偏导数不易求得一阶和二阶偏导数，所以所以在实际应用中，直接搜索法更受工程界欢迎直接搜索法更受工程界欢迎。但不论何种详细优化算法，它们在确定方向和步长时都应含有以下共同之点：共同之点：（1）所选择优化方向方向S是比较轻易计算轻易计算；（2）所选择优化方向优化方向应尽可能指向指向目标函数F（X）极小点极小点，最少在每一个迭代点 附近是指向F（X）极小点；（3）所选步长步长a应在已定方向上使目标函数到达极小使目标函数到达极小，或者至 少使目标函数值有所下降。第23页三、迭代点列收敛条件和终止准则三、迭代点列收敛条件和终止准则1点列收敛柯西准则柯西准则若某种迭代过程所选择设计点序列为：若点列是收敛，即存在极限：点列 收敛必要与充分条件收敛必要与充分条件是，对于任意指定足够小正数，存在着自然数N，使得当两个自然数m和p大于N时满足：满足上述条件点列称为基本序列基本序列，这个条件叫做点列收敛柯西准则收敛柯西准则。收敛条件式也可写作：第24页2、优优化化计计算算终终止准止准则则通常采取计算终止准则有以下几个形式：（1）当两相邻迭代点）当两相邻迭代点 之间距离足够小时之间距离足够小时用矢量长度来表示，即为：也能够用矢量长度在各坐标轴上分量来表示，即：第25页（2）当目标函数下降量已到达充分小时）当目标函数下降量已到达充分小时，即：也能够用目标函数值相对下降量到达充分小时来表示，即：（3）当迭代点目标函数梯度到达充分小时）当迭代点目标函数梯度到达充分小时，即：不过这种判别准则很可能把驻点作为最优值点输出，这是它缺点缺点。第26页 在优化设计中，只要满足以上诸式中之一，就可算作目标函数值 已收敛于函数F（X）极小值，近似最优化解已求得：迭代即能够结束。第27页 上述三个收敛准则都在一定程度上反应了到达极值点特点，但都不能确保所取得设计点 是全局最优点，它很可能是一个局部最优点，所以有必要深入考查它是否为全局最优点。判断全局最优点常采取方法是判断全局最优点常采取方法是：同时取若干个相距甚远两点作为初始点，考查它们最终迭代最优解是否趋于同一解。第28页
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