2014年数学二真题及答案解析.doc

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上 （ ）
(A) 当时， (B) 当时，
(C) 当时， (D) 当时，
(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5) 设函数，若，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）

(A)的最大值和最小值都在的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得
(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得
(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得
(7) 行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组
线性无关的 （ ）
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9) __________.
(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 __________.
(11) 设是由方程确定的函数，则__________.
(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.
(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.

(14) 设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
(16)(本题满分10分)
已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小
值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域计算.
(18)(本题满分10分)
设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：
(I),
(II).
(20)(本题满分11分)
设函数，定义函数列
，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.

(21)(本题满分11分)
已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分11分)
设矩阵，为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
证明阶矩阵与相似.

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )

(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由定义
所以，故.
当时，是比的高阶无穷小，所以，即.
故选B
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】关于C选项：.
，所以存在斜渐近线.
故选C
(3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上 （ ）
(A) 当时， (B) 当时，
(C) 当时， (D) 当时，
【答案】D
【解析】令，则
,
,.
若，则，在上为凸的.
又，所以当时，，从而.
故选D.

(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】

故选C
(5) 设函数，若，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】因为，所以

故选D.
(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）

(A)的最大值和最小值都在的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得
(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得
(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得
【答案】A
【解析】记
则,所以在内无极值，则极值在边界处取得.
故选A
(7) 行列式 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列

.
(8) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【答案】A

【解析】.
记，，. 若线性无关，则，故线性无关.
举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关.
综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
【答案】
【解析】

(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 __________.
【答案】1
【解析】且为偶函数
则
又且为奇函数，故

又的周期为4，
(11) 设是由方程确定的函数，则__________.
【答案】
【解析】对方程两边同时对求偏导

当时,
故
故
(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.
【答案】
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，
于是对应于
切线斜率
所以切线方程为

即
(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.
【答案】
【解析】质心横坐标

(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_________.
【答案】
【解析】配方法：
由于二次型负惯性指数为1，所以，故.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
【解析】

.
(16)(本题满分10分)
已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小
值.
【解析】 由，得
………………………………………………………①
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为

由得
又由①可得
当时，，且有：

所以在处取得极小值，在处取得极大值

即：的极大值为1，极小值为0.
(17)(本题满分10分)
设平面区域计算.
【解析】D关于对称，满足轮换对称性，则：

(18)(本题满分10分)
设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.
【解析】由
，

由 ，代入得，

即

，
令得
特征方程 得齐次方程通解
设特解，代入方程得，特解
则原方程通解为
由，得, 则
.
(19)(本题满分10分)
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（I）,
（II）.
【解析】（I）由积分中值定理
，

（II）直接由，得到

（II）令

由（I）知

又由于单增，所以
单调不减，
取，得，即（II）成立.
(20)(本题满分11分)
设函数，定义函数列
，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.
【解析】

(21)(本题满分11分)
已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为,所以其中为待定函数.
又因为则，从而
.
令可得，当时，或，从而所求的体积为

(22)(本题满分11分)
设矩阵，为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵.
【解析】

,
(I)的基础解系为
(II)
的通解为
的通解为
的通解为
（为任意常数）
(23)(本题满分11分)

证明阶矩阵与相似.
【解析】已知，，
则的特征值为，(重).
属于的特征向量为；，故基础解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.
的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.
由相似关系的传递性，相似于.

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）