数学模型层次分析法的基本步骤省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

层次分析法建模层次分析法建模 人们在日常生活中经常碰到许多决议问题：买一件衬衫，你要在棉、丝、涤纶及花、白、方格之中作出选择；请朋友吃饭，要策划是办家宴或去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽苏杭，还是去迷人北戴河海滨，或者去山水甲天下桂林。假如认为这些日常小事无须作决议问题认真对待话，那么当你面对报考学校，挑选专业，或者选择工作岗位时候，就要慎重考虑、重复比较，尽可能地作出满意得决议了。1第1页 从事各种职业人也经常面对抉择：一个厂长要决定购置哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地域各部门官员则要对人口、交通、经济、环境等领域发展规划作出决议。人们在处理上面这些决议问题时候，要考虑原因有多有少，有大有小，不过一个共同特点是他们通常包括到经济、社会、人文等方面原因。再做比较、判断、评价、决议时，这些原因主要性、影响力或者优先程度往往难以量化，2第2页人主观选择（当然要依据客观实际）会起着相当主要作用，这就给普通数学方法处理问题带来本质上困难。T.L.Saaty等人在七十年代提出了一个能有效地处理这么一类问题实用方法，称层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简记AHP).这是一个定性和定量相结合、系统化、层次化分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析和统计分析两种方法，起着用经典数学工具分析现象因果关系，后者以随机数学为工具，共过大量观察数据寻求统计规律，近年来发展系统分析又是一个方法，而层次分析法就是系统分析数学工具之一。3第3页 下面先介绍层次分析法基本步骤和应用实例，再讨论该方法在理论、计算以及建模等方面若干问题。4第4页层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤 层次分析法基本思绪与人对一个复杂决议问题思维、判断过程大致上是一样。不妨用前面提到假期旅游为例，假如有P1、P2、P33个旅游胜地供你选择，你会依据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去重复比较那3个候选地点。首先，你会确定这些准则在你心目中各占多大比重，假如你经济宽裕、醉心旅游，自然尤其看重景色条件，而平素朴素或手头拮据人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。5第5页 其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3次之；P3居住等条件比很好等等。最终，你要将这两个比较判断进行综合，在P1、P2、P3中确定哪个作为最正确地点。上面思维过程能够加工整理成为下几个步骤：1、讲决议问题分解为3个层次、最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有P1、P2、P33个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间联络涌现联直线表示（图9-1）。6第6页目标层准则层方案层图图9-1 选择旅游地层次结构7第7页 2、经过相互比较确定各准则对于目标权重，及各方案对于每一准则权重。这些权重在人思维过程中通常是定性，而在层次分析法中则要给出得到权重定量方法。3、将方案层对准则层权重及准则对目标层权重进行综合，最终确定方案层对目标层权重。在层次分析法中要给出进行综合计算方法。层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决议结果。下面我们来说明怎样比较同一层各原因对上层原因影响，从而确定它们在上层原因中占权重。8第8页 成对比较距阵和权向量成对比较距阵和权向量 包括到社会、经济、人文等原因决议问题主要困难在于，这些原因通常不易定量地测量。人们凭自己经验和知识进行判断，当原因较多时给出结果往往是不全方面和不准确，假如只是定性结果，则经常不轻易被他人接收。Saaty等人做法，一是不把全部原因放在一起比较，而是两两相互对比，而是对比时采取相对尺度，以尽可能地降低性质不一样诸原因相互比较困难，提升准确度。9第9页 假设要比较某一层n个原因C1,C2,，Cn对上层一个原因O影响，如旅游决议问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中主要性。每次取两个原因Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵 A=(aij)nn,aij 0 ,(1)表示。由（1）给出aij特点,A称为正互反矩正互反矩阵阵。显然比由aii=1。如用C1，,C5依次表示景色、费用、饮食、旅游5个准则，设某人用成对比较距阵（正互反阵）为10第10页（2）（2）中a12=，表示景色C1和给用C2对选择旅游地这个目标O主要性之比为1:2;a13=4表示景色C1和居住条件C3之比为4：1；a23=7表示费用C2与居住条件C3之比为7:1。能够看出在此人选择旅游地时，费用原因最主要，景色次之。怎样由成对比较阵确定诸原因C1,Cn对上层原因O权重。11第11页 仔细分析一下（2）式给出成对比较阵A能够发觉，既然C1与C2之比为1：2；C1与C3之比为4：1。那么C2与C3之比因为8：1而不是7:1才能说明成对比较是一致。不过，n个原因要做 次，全部一致要求是太苛刻了。Saaty等人给出了在成对比较不一致情况下计算各原因C1,，Cn对原因O权重方法，而且确定了这种不一致允许范围。为了说明这点我们先看成对比较完全一致。构想把一块大石头O砸成n块小石头C1,，Cn,假如准确地称出它们重量为w1,，wn,在作成对比较时令aij=wi/wj,12第12页那么得到（3）这些比较显然是一致，n块小石头对大石头权重（即在大石头中占比重）可用向量 w=(w1,w2,，wn)T13第13页表示，假如大石头为单位重量，则有显然，A各个列向量与w仅相差一个百分比因子。普通地，假如一个正互反阵A满足 aijajk=aik,i,j,k=1,2,，n (4)则A称为一致性距阵，简称一致一致阵阵。（3）式给出A显然是一致阵。轻易证实n阶一致阵A有以下性质。1、A秩为1，A唯一非零特征根为n;2、A任一列(行)向量都是对应于特征根n特征值。14第14页 假如得到成对比较阵是一致阵，像（3）式A，自然应取对应于特征根n。归一化特征向量(即分量之和为1)表示诸原因C1，Cn对上层原因O权重，这个向量称为权向量权向量。假如成对比较阵A不是一致阵，但在不一致允许范围内（下面将说明怎样确定这个范围），Saaty等人提议用对应于A最大特征根（即作）特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足 Aw=w (5)直观地看，因为矩阵A特征根和特征向量连续地依赖于矩阵元素aij,所以当aij离一致性要求不远时，A特征根和特征向量也与一致阵相差不大。15第15页 （5）式表示方法称为由成对比较阵求权向量特征根法特征根法。求和w简便算法和特征根法更深入意义，以及其它求权向量方法见9.3阶。比比较较尺度尺度 当比较两个可能含有不一样性质原因Ci和Cj对于一个上层原因O影响时，采取什么样尺度aij很好呢?Saaty等人提出用1-9尺度，即aij取值范围是1，2，9及其互反数1，。理由以下。16第16页 1、再进行定性成对比较时，人们头脑中通常有5中显著等级，用1-9尺度能够方便地表示以下。表表9-1 1-9尺度尺度aij含义含义 尺度aij含 义1Ci与Cj得影响相同相同3Ci与Cj得影响稍强稍强5Ci与Cj得影响强强7Ci与Cj得影响显著地强9Ci与Cj得影响绝对地强绝对地强2，4，6，8Ci与Cj得影响之比在上述两个相邻等级之间1，,，Ci与Cj得影响之比为上面aij互反数17第17页2、心理学家认为，进行成对比较原因太多，将超出人判断能力，最多达之72范围。如以9个为限，用1-9尺度表示它们之间差异正适当。3、Saaty曾用1-3，1-5，1-17，（d+0.1）-（d+0.9)(d=1,2,3,4),1p-9p(p=2,3,4,5)等共27中比较尺度，对在不一样距离出判断某光源亮度等实例结构成对比较阵，并算出权向量。把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到实际权向量进行对比发觉，1-9尺度不但在简单尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂尺度。18第18页 依据上述定理和连续地依赖于aij事实可知比n大得多，A不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引发判断误差越大。因而能够用-n数值大小来衡量A不一致程度,Saaty将 定义为一致指标一致指标.CI=0时A为一致阵；CI越大A不一致程度越严重，注意到An个特征根之和等于A对角元素之和（为何?)，而A对角元素均为1,所以特征根之和 .（不妨记1=）。由此可知，一致性指标CI相当于处外其余n-1个特征根平均值（取绝对值）。19第19页 为了确定A不一致程度允许范围，需要找出衡量A一致性指标CI标准。Saaty又引入了所谓随随机一致性指标机一致性指标RI，计算RI过程是：对于固定n，随机地结构正互反阵A/(它元素aij/（ij)从1-9,1-1/9中取随机值，aji/为aij/互反数，aii/=1),然后计算A/一致性指标CI。能够想象到，A/是非常不一致，它CI相当大。如此结构相当多A/,用他们CI平均值作为随机一致性指标。Saaty对于不一样n（=111),用100-500个样本A/算出随机一致性指标RI数值以下。20第20页 表表9-2 随机一致性指标随机一致性指标RI数值数值 n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51表中n-1,2时RI=0,是因为1，2阶正互反阵总是一致阵。对于n3成对比较阵A，将它一致性指标CI与同阶（指n相同）随机一致性指标RI之比成为一致性比率一致性比率CR 当（7）21第21页时认为A不一致程度在允许范围之内，可用其特征向量作为权向量。不然要重新进行成对比较，对A加以调整。顺便指出，（7）式中0.1选取是带有一定主观信度。对于A利用（6），（7）式和表9-2进行检验成为一致性检验一致性检验。对于（2）式给出A能够算出，=5.073，归一化特征向量 w=(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T.由（6）式22第22页在表9-2中查出RI=1.12.按（7）式计算，于是经过了一致性检验，故上述w可作为权向量。23第23页 组合权向量组合权向量 在旅游决议问题中我们已经得到了第2层（准则层）对第1层（目标层，只有一个原因）权向量，记作w(2)=(w1(2),，w5(2)T（即由（2）式A算出w）。用一样方法结构第3层（方案层，见图9-1）对第2层每一个准则成对比较阵，不妨设他们为24第24页 这里距阵Bk(k=1,，5）中元素bij(k)是方案（旅游地）Pi与Pj对于准则Ck(景色、费用等）优越性比较尺度。由第3 层成对比较阵Bk计算出权向量wk(3)，最大特征根k和一致性指标CIk，结果列入下表 表表9-3 旅游决旅游决议问题议问题第第3层计层计算算结结果果k123450.5950.0820.4290.6330.166wk(3)0.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6683.0053.00233.0093CIk0.0030.00100.005025第25页不难看出，因为n=3时随机一致性指标RI=0.58(表9-2），所以上面CIk均可经过一致性检验。下面问题是由各准则对目标权向量w(2)和各方案对一准则权向量wk(3)(k=1,，5），计算各方案对目标权向量，称为组合权向量组合权向量，记作w(3)。对于方案P1，它在景色等5个准则中权重用wk(3)第1个分量表示（图9-3中wk(3)第一行），而5各准则对于目标权重又用权向量w(2)表示，所以方案P1在目标中组合权重应为它们对应两两乘积之和，即 0.595*0.263+0.82*0.475+0.429*1.055 +0.633*0.099+0.166*0.110=0.300 26第26页一样能够计算P2,P3 在目标中组合权重为0.246和0.456，于是组合向量w(3)=(0.300,0.246,0.456)T.结果表明方案P3在旅游地选择中占权重近于1/2，远大于P1,P2，应作为第1选择地点。27第27页 由上述计算可知，对于3个层次决议问题。若第1层只有1个原因，第2、3层分别有n、m个原因，记第2、3层对第1、2层权向量分别为：w(2)=(w1(2),，wn(2)T wk(3)=(wk1(3),，wkn(3)T,k=1,2，n以wk(3)为列向量组成矩阵 W(3)=w1(3),，wn(3)则第3层对第1层组合权向量为 w(3)=W(3)w(2)（8）28第28页 更普通地，若共有s层，则第k层对第1层（设只有1个原因）组合权向量为 w(k)=W(k)w(k),k =3,4,，s （9）其中W(k)是以第k层对第k-1层权向量为列向量组成矩阵。于是最下层（第s层）对最上面一层组合权向量为 w(s)=W(s)W(s-1)W(3)w(2)(10)29第29页 组合一致性检验组合一致性检验 在层次分析整个计算过程中，除了对每个成对比较阵进行一致性检验，以判断每个权向量是否能够应用外，还要进行所谓组合一致性检验，一边确定组合权向量是否能够作为最终决议依据。组合一致性检验能够逐层进行。若第p层一致性指标为CI1(p),，CIn(p)(n是第p-1层原因数目），随机一致性指标为RI1(p),，RIn(p),定义 CI(p)=CI1(p)，CIn(p)w(p-1)(11)RI(p)=RI1(p)，RIn(p)w(p-1)(12)30第30页则第p层对第1层组合一致性比率组合一致性比率为 CR(p)=CR(p-1)+CI(p)/RI(p),p=3,4,，s (13)其中CR(2)为由（7）式计算一致性比率。最终，当最下层对最上层组合一致性比率 CR(s)0.1 (14)认为整个层次比较判断经过一致性检验。在旅游决议问题中能够算出CI(3)=0.00176，RI(3)=0.58,前面已经有了CR(2)=0.016,于是由（13）得到31第31页 CR(3)=0.016+0.00176/0.58=0.0190.1经过了组合一致性检验，前面得到组合权向量w(3)能够作为最终决议依据.在本节最终，将层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤归纳以下。1、建立层次结构模型建立层次结构模型 在深入分析实际问题基础上，将相关各个原因按照不一样属性自上而下地分解成若干层次。同一层诸原因隶属于上一层原因或对上层原因有影响，同时又支配下一层原因或受到下层原因作用。最上层为目标层目标层，通常只有1个原因，最下层通常为方案层或对象层方案层或对象层，中间能够由1个或几个层次，通常为准则或指标层准则或指标层。32第32页当准则层过多时（譬如多于9个）应深入分解出子准则层。2、结构成对比较阵结构成对比较阵 从层次结构模型第2层开始，对于隶属于（或影响及）上一层每个原因同一层诸原因，用成对比较法和1-9比较尺度结构成对比较阵，直到最下层。3、计算权向量并做出一致性检验计算权向量并做出一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量（计算方法见9.3节），利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验经过，特征向量（归一化后）及做权向量；若不经过，需重新结构成对比较阵。33第33页 4、计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 利用（10）式计算最下层对目标层组合权向量，并依据（11）(14)式做组合一致性检验。若检验经过，则可按照组合权向量表示结果进行决议，不然需要重新考虑模型或重新结构那些一致性比率CR较大成对比较阵。34第34页