中南大学概率论与数理统计第四册练习册详细答案汇总.doc

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1、第一章随机事件及其概率练习1.1 随机事件与样本空间一、解：1. 由于每颗骰子出现16点数是等可能性的，同时掷三颗骰子，三个点数之和最小的为3，最大的为18，故样本空间为：S=3, 4, 5, , 18. 2. 在此试验中，可能的结果有66=36个，故试验的样本空间为： S=(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 6), (6,6). 3. 以“0”表示次品，“1”表示正品，则试验的样本空间为： S=00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111. 4. 设三段长分别为,

2、, ，则试验的样本空间为： S=(, , )| +=1, 0, 0, 0. 二、解：1. 2. A+B+C 3. 4. AB+BC+AC 5. 三、解：1. 2. 3. 4. 5. A+B+C 6. 四、解：1. 依题意：，故 2. . 3. . 4. 因为AB=，故. 五、解：1. 表示1990年以前出版的中文数学书； 2. 在“馆中的数学书都是90年后出版的中文版”的条件下，有 =A； 3. 表示1990年以前出版的都是中文版。练习1.2 随机事件的概率一、解：1. P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.3 =10.3=0.7

3、=0.2 =0.92. P(A+B)=1P二、解：1. 以50人中选3人的组合为基本事件，则基本事件总数为，以A表示事件“某甲当选”，故事件A含有个基本事件，因而。 2. 以50人中选出3人的任一种任职方式（排列）作为基本事件，则基本事件总数为，以B表示事件“某甲当选为班长”，故事件B含有个基本事件，因而。三、解：随机试验为任意取9桶交订货人，设A=“如数得到定货”（4桶白、3桶黑、2桶红），基本事件总数为，有利于A的基本事件数为，所以，=0.1037。四、解：1. 10张卡片中任取三张有种取法，若取出的3张卡片中最大标数为5，则其余2张上的数只能是0, 1, 2, 3, 4，这5个数中的2个

4、，有种可能取法，因而得。 2. 若取出的3数中中间的一数为5，则最小数取自0, 1, 2, 3, 4，最大数取自6, 7, 8, 9，各有、种取法，共有种取法，故。五、解：1. 设X、Y分别表示甲、乙两轮到达码头的时刻，则X、Y可以取区间0, 12内的任意一个值，即，而两轮都不需要空出码头（用A表示）的充要条件是：YX或XY2，在平面上建立直角坐标系（如图），两轮都不需要空出码头的时间如图中阴影部分所示，这是一个几何概率问题，所以。 2. A不是不可能事件，故P(A)=0。练习1.3 条件概率与乘法公式一、解：1. P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)，P(AB)=P(A)+P(B)P

5、(A+B)= 0.5+0.40.6=0.3；P(A|B)=0.75，故应选(D)。 2. 由题知A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，又P(A)0，P(B)0，P(AB)0，因而A，B不可能互不相容，故应选(A)。二、解：1. A(AB)=A P(A(AB)=P(A)=0.4，又A、B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)=0.40.2=0.08， P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.52 P(A|AB)=。2. 设B表示选出的“网球是正品”，显然， P(A)=P(AB)=P(A|B)P(B)= 0.550.96=0.528.三、解：依题意知：，从而0.214 P(B|A

6、)=0.375 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.633四、解：设Ai (i=1, 2, 3, 4)表示事件“第i次取到红球”，则分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为五、解：设Ai表示取出的第i件为合格品，则这批产品予以出厂的事件为A1A2A3A4A5，所求事件为 =1P(A1A2A3A4A5) =1P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)P(A5|A1A2A3A4) =0.271练习1.4 全概率公式和贝叶斯公式一、解：设B1、B2分别表示“从甲袋中取出的球为白球，黑球放入乙袋”的事件，A表示“从乙袋中取出的球为白球”的事件，由题意： B1

8、一只是次品”，B3表示“摸出的两只都是次品” 则 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.55五、解：设A表示“此人被诊断为肝癌患者”，B表示“此人真的患有肝癌” 则 P(B|A)= =0.0366 比检查前增加了=90.5倍练习1.5 事件的独立性一、证明 P(AB)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)又A与C独立，B与C独立 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(ABC)若AB与C独立时，则P(ABC)=P(AB)P(C)此时 P(AB)C)=P(A)P(C)+

9、P(B)P(C)P(AB)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C)故 AB与C独立，若AB与C独立则 P(AB)C)=P(AB)P(C)，由前面的式子得P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C)故AB与C独立二、解：设两个信号发生器能起作用的事件分别记作A、B，那么失事时该装置能发出报警信号的事件为AB，于是P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.98+0.950.980.95=0.999三、解：设A表示事件“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，则两人都中靶可以表示为AB

10、，甲中乙不中可表示为，甲不中乙中可表示为，从而1. P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.562. P=0.80.3=0.243. P()=P()P(B)=0.20.7=0.14四、解：设事件A、B、C分别表示为第一、二、三道工序不出废品依题意，A、B、C相互独立，并且P(A)=0.9，P(B)=0.95，P(C)=0.8P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.684五、解：1. 设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照管的事件为，因而=0.5682. 以B表示“机床因无人照看而停工” =0.20.10.6+0.20.90.4+0.80.10

11、.4+0.20.10.4 =0.124 自测题（第一章）一、解：1. 由交集的定义可知，应选（B）2. 由事件间的关系及运算知，可选（A）3. 基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P(A)=，故应选（D）。4. 由题可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)0，所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故选（A）二、解：1. AB+BC+AC2. A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.63. A、B互不相容，则P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(

12、AB)=0.84. 设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有 P() =P(A)=0.365. 甲产品滞销或乙产品畅销。三、解：1. 正确2. 不正确3. 正确4. 不正确5. 不正确四、解：设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有种，则=0.000054。五、解：设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1, 2, 3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则 P (A)=1P( 六、解：设A表示通

13、过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品依题意有七、解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) =0.467P()=0.220八、解：1. P(B)=P(B)P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)= P(B)=P(B)=2. P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)= P(B)=P(B)P(AB)=3. P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)=九、解：设表示报名表是第i个地区考生的

14、(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1, 2)，则P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(A|)=； P(A|H)=； P(A1|H3)=(1) =P()=(2) 由全概率公式得 P(A2|H1)=，P(A2|H2)=，P(A2|H3)= P(A2|H1)=，P(A|H2)=，P(A2|H3)= P(A2)= P(A2)=因此，十、证明： 0P(A)1， 0P(B)0）由已知得：，求得=2 PX=3=三、解：设为一台仪器能出厂的概率，则=0.7+0.80.3=0.94，将检查一台仪器是否能出厂看成一次试验，可以认为n=10，=0.94，设X为10台仪器中能出厂的个

15、数，则1. PX=10=2. PX=8=3. PX2=1PX2=四、解：设X表示电子管损坏的数目，依题意X =n=20000.0005=1 故所求概率为PX1=1P(X=0) =1练习2.3 随机变量的分布函数一、选择题1. 解：由已知，得当x3时，F(x)=0当3x4时，F(x)=P(X=3)=0.1当4x0，有，可见F(x)单调递增，由F()=0，F(+)=1，可见0F(x)1。因此F(x)可以是随机变量的分布函数。五、解：1. 由性质，即，故 C=2. 由1知：PX=k= PX3=PX=1+PX=2=练习2.4 连续性随机变量的概率密度一、选择题1. 解：因为在上，函数P(x)=0，

16、并且，所以随机变量X可以有如下密度P(x)=，故应选（C）。2. 由连续型随机变量概率密度的性质，故应选（C）。3. 解： XN(, 4) PX2+=P，而值不随的变化而变化， PX2+值随增大而不变，故应选（C）。二、填空题1. 解：由性质即解得：a=22. 解： XN(a, ) Pak0时，f(x)= 当 x0时， f(x)=0 f(x)=三、解：设X表示电阻R的阻值。则XU(900, 1100)因而 f(x)=分布函数F(x)=四、解：(1) 由性质即： A=(2) 由(1)知f(x)= F(x)= (x+)(3) P(1X1500=以Y记所取5只中寿命大于1500小时的电子管的数

17、目。则YB，故所求概率为 PY2=PY=0PY=1=1练习2.5 多维随机变量及其分布一、填空题1. 解：即： C= PX=0，Y1=PX=0, Y=0+PX=0, Y=1= PX=0= PY=1= 又 F(x, y)=P(Xx，Yy) F(1, 2)=P(X1，Y2)=12、解： X，Y相互独立 P(X=1，Y=1)=P(X=1) P(Y=1) 即： a= 又 b=3. 解：F(x, y)= = = = =4、解： X, Y相互独立 f(x, y)=f(x) f(y) = =二、解：1. 依题意知：(X1, X2)的可能取值为(0, 0)，(0, 1)，(0, 2)，(1, 0)，(1,

18、1)，(2, 0) P(X1=0, X2=0)=PX1=0 pX2=0|X1=0= P(X1=0, X2=1)= P(X1=0, X2=2)= P(X1=1, X2=0)= P(X1=1, X2=1)= P(X1=2, X2=0)= P(X1=1, X2=2)=P(X1=2, X2=1)=P(X1=2, X2=2)=0 (X1, X2)的联合分布律：X2X10120102002. 关于X1的分布律为：X1012P关于X2的分布律为：X2012P三、解：1. 依题意得知(X, Y)的联合分布密度为： f(x, y)=2. 由二维随机变量边缘分布密度的定义，得： (x)= (y)=四、解：1. 由

19、性质即： C=2. 依题意，所求概率为： =五、解：1. fX|Y(x|y)=fY|X(y|x)= 而 fX(x)= fY(y)= 2. 由1知= f (x, y) X，Y相互独立3. 六、解：1. 区域0x1，y2x的面积A由图如示：则：依题意有： 2. 又 X, Y不相互独立.3. 练习2.6 随机变量函数的分布一、选择题1. 解： X在0, 1上服从均匀分布，而1Y=2X+13 Y在1, 3上服从均匀分布 f(y)= 故应选(B)2. 解：=0.10.20.10.30.10.1=0.7 故应选(C)二、填空题1. 解：由已知得Y=1X的分布律：Y210123P2. 解： PYy=P(

20、X3y)=P(X)=Fx() Y=X3的分布密度为(y)= ，y03. 解：当0x1时， e1y=ex1 P(Yy)=P(eXy)=P(Xlny)=1P(Xlny)=1F(lny)当e1y0 z2x0 z2x如图所示：当0z2时，当z2时，当z0 故选(D)3解 XN f(x)=由4个结论验得(B)为正确答案4解 = 故选(D)5解因为F(x)必须满足条件0F(x) 1，而只有取时，才会使0F(x) 1满足,故选(A)二、填空题1解 =1 =1 即有=0.5当X，Y相互独立 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) =(+0.2)(+) =0.22解 (x)=3解 =1k=34解

21、XN(10, 0.022) P9.95X10.05=P=25解 X, Y相到独立 f(x, y)=fX(x)fY(y)三、解 (1) =1, 即=1 (2) 当x-时, F(x)=0当|x|时，当x时，=1 (3) 四、解：(1)X可能的取值为0, 1, 2, 3设Ai=第i个元件出故障) i=1, 2, 3=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28=0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47同理P(X=2)=P(=0.22=0.03 X的分布律：X0123P0.280.470.220.03(2) 由(1)及分布函数的定义知当x0时，F(x)=0当0x1时

22、，F(x)=P(X=0)=0.28当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75当2x0时,有FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(-X)=将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为六、解：(1)由题意得：又 X,Y相互独立 f(x, y)=fX(x)fY(y)=(2) =七、解：(1)由P(XY=0)=1，可见PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0易见 =0于是，得X和Y的联合分布：XY-10100100(2) P(X=0, Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)= P(X=0) P(Y=0)P(X=0, Y0) X, Y不独立八、设Z的密度函数为fZ(z)，则由

23、卷积公式得a) 当z0时，f(t)=0，f(z)=0b) 当0z1时，z-10，z0c) 当z1时，z-10综述：第三章随机变量的数字特征与极限定理练习3.1 数学期望一、填空题1. E(X)=(1)0.2+00.1+10.3+20.4=0.9； E(|X|)=10.2+00.1+10.3+20.4=1.3； E(X2)=(1)20.2+10.3+220.4=2.1； E(2X)=210.2+200.1+210.3+220.4=2.4。2. 由F(1)=0，F(1)=1，得，于是；这时：F(x)=，f(x)=故E(X)=0； E(X2)= =。3. =k=1；这时，有，则，， E(X)=；

24、 E(Y)=； E(XY)=；4. XN(a, ，f(x)=故 E(|Xa|)= =。二、解：由题意：PX=k=(0.1)(0.9)k1 (k=1, 2, ) E(X)=，又故 E(X)=(0.1)=0.1。三、解：E(X)=，(被积函数为奇函数)四、解： f(x)=， XN。故 E(X)=1。五、解：由题意知，X服从参数为2的泊松分布，则E(X)=2， E(Y)=E(3X2)=3E(X)2=322=4。六、解： X服从参数为1的指数分布， E(X)=1而 E(e2X)= ， E(X+e2X)=E(X)+E(e2X)=1+。七、解：设圆盘直径为X，则圆盘面积为Y=， X的概率密度函数为，

25、故 E(Y)=E。八、证明：随机变量X与Y独立同分布，则E(X)=E(Y)，从而有，，故。练习3.23.4 方差；协方差与相关系数一、填空题：1. D(X)=E(X2)E(X)2=212=1；2. D(aX+b)=a2D(X)=；3. X与Y相互独立， E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=(1)+21=1， D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+43=14，故X+2YN(1, 14)；4. ，而D(XY)=D(X)+D(Y)2EXE(X)YE(Y) 即 (X, Y)=EXE(X)YE(Y)=D(X)+D(Y)D(XY) 故 =0.25。二、解：E(X)=；。三、解：E(X)=

26、；D(X)=E(X2)E(X)2，而E(X2)= 于是，D(X)=。四、解：E(X)=， E(Y)=，五、解： D(X)=25，D(Y)=36， D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X, Y)=85； D(XY)=DX+(Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X, Y) =D(X)+(1)2D(Y)2cov(X, Y) =25+36212=37。六、解：E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+11=1； D(X+Y+Z)=D(X+Y)+Z=D(X+Y)+D(Z)+2cov(X+Y, Z)=D(X)+D(Y)+2cov(X, Y)+D(Z)+2cov(X, Z)+2cov(Y

27、, Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)+2 +=。七、解：设每毫升血液中含白细胞数为X，E(X)=7300，D(X)=7002，于是，由切比雪夫不等式，取=2100，有P5200X9400=P2100X73002100 =P|X7300|1920=P =1P 1(0.8)=10.7881=0.2119。三、解：设第i根木柱的长度为Xi (i=1, 2, , 100)，则PXi3=1PXi3=1 (i=1, 2, , 100)记取出的100根木柱中短于3m的木柱数为X，则XB（100, 0.2），由德莫佛拉普拉斯定理知，近似地有，即N(0, 1) PX30=1PX30=1P 1(2.5)=10.

28、9938=0.0062。四、解：设n个部件中正常工作的部件数为X，则XB(n, 0.90) 必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作 PX0.80n= 1=0.95查表，得1.645，即n24.35，故n25。自测题（第三章）一、选择题1. 选（D）；由题意知：XB(3, p)，而D(X)=3 p (1p)=0.72 p=0.4。2. 选（B）；E(X)=，而被积函数为对称区间上的奇函数， E(X)=0。二、判断题1. ； E(X)= 不一定等于零。2. ； E(X+a)=E(X)+a=a，D(X)=D(X+a)=D(X)= X+aN(0,)3. ； D(X)=E(X2)E(X)2，D(Y

29、)=E(Y2)E(Y)2，而 E(X)=，D(X)=，E(Y)=，D(Y)=(其中)。 E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=D(X)+E(X)2+D(Y)+E(Y)2 =。4. ；参见教材例3.14。三、填空题：1. E(X)=1=； D(X)=E(X2)E(X)2=； E(Y)=； D(Y)=E(Y2)E(Y)2=； cov(X, Y)=E(XY)E(X)E(Y)=；；2. E(X)= a=2。3. |x|f(x)为奇函数，收敛， E(X)=0。4. 设Y=表示圆面积， XUa, a，E(X)=0，D(X)=， E(Y)=E=。5. X与Y相互独立， D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+42=9。6. D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)=12。四、解：E(X)= ；

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