2022-2023学年上海市复旦附中浦东分校数学高一上期末调研模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．定义运算，则函数的部分图象大致是（）
A. B.
C. D.
2．与终边相同的角是
A. B.
C. D.
3．已知是锐角三角形，，，则
A. B.
C. D.与的大小不能确定
4．设，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
5．设，则
A. B.0
C.1 D.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时,,则（　　）
A. B.
C. D.
7．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)
A. B.
C. D.
8．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（）

A. B.
C. D.
9．已知 是定义在上的奇函数，且当时，，那么
A. B.
C. D.
10．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________
12．已知奇函数满足，，若当时，，则______
13．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
14．若函数（且）.①若，则___________；②若有最小值，则实数的取值范围是___________.
15．已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________

16．已知函数对于任意，都有成立，则___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）写出下列两组诱导公式：
①关于与的诱导公式；
②关于与的诱导公式.
（2）从上述①②两组诱导公式中任选一组，用任意角的三角函数定义给出证明.
18．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）

图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AC和A1B1的中点，且AB＝BC

（1）求证：平面BMN⊥平面ACC1A1；
（2）求证：MN∥平面BCC1B1
20．已知，若在上的最大值为，最小值为，令.
（1）求的函数表达式；
（2）判断函数的单调性，并求出的最小值.
21．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合
（1）若集合，写出和集合；
（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质
①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；
②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据运算得到函数解析式作图判断.
【详解】，
其图象如图所示：

故选：B
2、D
【解析】与终边相同的角是.
当1时，
故选D
3、A
【解析】分析：利用作差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.
详解：将，
代入，，
可得，
，
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知．故选A
点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.
4、D
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
5、B
【解析】详解】
故选
6、B
【解析】 由题意得，因为，则，
所以函数表示以为周期的周期函数，
又因为为奇函数，所以，
所以，，
，
所以，故选B.
7、C
【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算
8、C
【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可
【详解】∵
∴
∵
∴＝
∴＝，
∴
故选：C
9、C
【解析】由题意得，，故，故选C
考点：分段函数的应用.
10、C
【解析】先由题意得到二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为函数在区间是减函数，
所以只需二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；
所以有：，解得；
故选C
【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数的问题，熟记对数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由复合函数同增异减得单调减区间为的单调减区间，且，解得
故函数的单调递减区间为
12、
【解析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.
【详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，， ，当时，
所以
故答案为：
13、
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得
14、 ①. ②.
【解析】先计算的值，再计算的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以；
当时，，
当时，取得最小值，
当时，且时，，
此时函数无最小值.
当时，且时，，
要使函数有最小值，则必须满足，解得.
故答案为：；.
15、
【解析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式.
【详解】由图象可知，，故，即.
又由图象过，故，解得，
而，故，所以.
故答案为：.
16、##
【解析】由可得时，函数取最小值，由此可求.
【详解】，其中，．因为，所以，，解得，，则
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）按要求写出对应公式即可.（2）利用任意角定义以及对称性即可证明对应公式.
【详解】（1）①，，.
②，，.
（2）①证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为.
由于角的终边与角的终边关于轴对称，
因此角的终边与单位圆的交点与点关于轴对称，
所以点的坐标是.
由任意角的三角函数定义得，
，，；
，，.
所以，，.

②证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为.
由于角的终边与角的终边关于轴对称，
因此角的终边与单位圆的交点与点关于轴对称，
所以点的坐标是.
由任意角的三角函数定义得，
，，；
，，.
所以，，.

【点睛】主要考查对诱导公式的掌握以及推导过程，熟练运用任意角三角函数的定义，属于基础题.
18、 (1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【解析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数
所以根据图象可得，，，，
所以，
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，
令，则，且，
则，
当时，，此时，
当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由面面垂直的性质定理证明平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直；
（2）取BC中点P，连接B1P和MP，可证MN∥PB1，从而可证线面平行
【详解】（1）因为M为棱AC的中点，且AB＝BC，所以BM⊥AC，
又因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC
因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM
又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A＝A，所以BM⊥平面ACC1A1
因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1
（2）取BC的中点P，连接B1P和MP，

因为M、P为棱AC、BC的中点，
所以 MP∥AB，且MPAB，
因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以A1B1∥AB，A1B1＝AB
因为N为棱A1B1的中点，
所以B1N∥BA，且B1NBA；
所以B1N∥PM，且B1N＝PM；
所以MNB1P是平行四边形，
所以MN∥PB1
又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1
所以MN∥平面BCC1B1
【点睛】本题考查证明面面垂直与线面平行，掌握它们的判定定理是解题关键．立体几何证明中，要由定理得出结论，必须满足定理的所有条件，缺一不可．有些不明显的结论需要证明，明显的结论也要列举出来，否则证明过程不完整
20、 (1)；(2)答案见解析.
【解析】解：(1) 函数的对称轴为直线, 而
∴在上最小值为，
①当时，即时，
②当2时，即时，
，
(2)

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
21、（1），；
（2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.
【解析】（1）根据题中定义可写出与；
（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；
（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.
【小问1详解】
解：由题中定义可得，.
【小问2详解】
解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：
因为，所以
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
综上可得，集合具有性质；
（ⅱ）设集合，不妨设
因为为正整数，所以，
因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且，
所以．所以
因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且，
所以，所以
若，则、、，而，
所以不存在，使得，所以
若，则、、，而，
所以不存在，使得，所以
同理可知，，
若，则，所以
当时，若，
则取，可知不存在，使得，
所以，解得
又因为，所以
经检验，当、、、、时，集合符合题意
所以最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.