数学分析十讲习题册、课后习题答案.doc

习 题 1-1
1．计算下列极限
（1）,
解：原式=
==
（2）；
解：原式
（3）
解：原式
（4），
解：原式
（5）
解：原式
=
（6） ，为正整数；
解：原式
2．设在处二阶可导，计算.
解：原式

3．设，，存在，计算.
解：

习 题 1-2
1.求下列极限
（1）;
解：原式 ，其中在与之间
（2）;
解：原式===，其中在与之间
（3）
解：原式 ，其中在与之间
（4）
解：原式，其中其中在与之间
2．设在处可导，，计算.
解：原式

习 题 1-3
1．求下列极限
（1）,
解：原式
（2）;
解：

（3）;
解：原式
（4）;
解：原式

2. 求下列极限
（1）;
解：原式
（2）;
解：原式

习 题 1-4
1．求下列极限
（1）；
解：原式
（2）求；
解：原式
（3）；
解：原式
（4）；
解：原式
此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值.
解：因为 ，
所以
从而 解得：
3．设在处二阶可导，用泰勒公式求
解：原式

4. 设在处可导，且求和.
解 因为

所以 ,即
所以

习 题 1-5
1. 计算下列极限
(1) ; ;
解：原式
(2)
解：原式
2． 设，求 (1) ；
解：原式
(2) ，
解：由于，
所以
3．设，求和.
解：因为，所以
且
从而有stolz定理，
且
所以，
4．设，其中，并且，
证明：.
证明：因，所以
，所以
，用数学归纳法易证，。
又，从而单调递减，
由单调有界原理，存在，记
在两边令，可得
所以

习 题 1-6
1. 设在内可导，且 存在.
证明:
证明：
2. 设在上可微， 和存在.
证明:.
证明：记（有限），（有限），则

从而 所以
3. 设在上可导，对任意的,
，证明:.
证明：因为，所以，由广义罗必达法则得

4．设在上存在有界的导函数，证明:.
证明：，有界，，
所以
习 题 2-1
（此题已换） 1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数.
1.证明是无理数
证明：反证法. 假若且互质，
于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾
2. 求下列数集的上、下确界.
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）.
解：
3．设，验证.
证明：由得是的一个下界.
另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，
在区间中必有有理数，则且
不是的下界.按下确界定义， .
4．用定义证明上（下）确界的唯一性.
证明：设为数集的上确界，即.按定义，
有.若也是的上确界且
.不妨设，则对
有即 矛盾.
下确界的唯一性类似可证
习 题 2-2
1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.
证明：设是的一个下界，不是的下界，则.
令，若是的下界，则取；
若不是的下界，则取.
令，若是的下界，则取；
若不是的下界，则取；……，
按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：
是的下界，不是的下界.
由区间套定理 ，且.
下证：
都有，而，
即是的下界.
由于，从而当充分大以后，
有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界
2. 设在上无界.证明：存在,
使得在的任意邻域内无界.
证明：由条件知，在上或上无界，
记使在其上无界的区间为；再二等分，
记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，
得一区间套，满足在上无界.
根据区间套定理，，且.
因为对任意的，存在，当时，有，从而可知
在上无界
3.设,在上满足,,若
在上连续, 在上单调递增.
证明：存在,使.
证明：记且二等分.若，
则记若则记.
类似地,对已取得的二等分,若，
则记；若，
则记按此方式继续下去，
得一区间套，其中
根据区间套定理可知，
且有 .
因为在上连续，所以
注意到 可得
，
再由 可知
， .
习 题 2-3
1. 证明下列数列发散.
(1),
证 因为，
所以发散.
(2),
证明：因为
所以发散.
2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.
证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然
不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，
由极限定义
对任意给定的，总存在正整数，当时，，
从而有；
由于，对任意，存在正整数，
当时，，取，
则任意时，
所以，即
3. 设极限存在,证明：.
证明：记由海茵定理，
取，得
取，得
取，得，解得
（此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于
（此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛
于不同的极限.
证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设.
又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，
记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，
设 ，显然 .
习 题 2-5

1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性
(1)
解：

所以，对，即为柯西列
(2) .
解：
所以，对，即为柯西列
2. 满足下列条件的数列是不是柯西列?
(1) 对任意自然数,都有
解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。
(2),
解：

所以，对，即为柯西列
(3).
证明：记，则单调递增有上界，从而必有极限，记
对
从而

故 是柯西列

习 题 3-1
1.设定义在上的函数在内连续,且和存在(有限). 问在上是否有界? 是否能取得最值?
解：在闭区间上构造辅助函数

则在上连续，从而在上有界. 由于，故
在上也有界，即存在，使得 .
令 ，则有 .
条件同上，但在上却不一定能取得极值. 例如：
2.设在内连续,且.证明在内可取得最小值.
证明：因为，所以，当时，有
因为，所以，当时，有
从而当时，有
又在连续，从而一定可以取到最小值，即，使当时，
且；
故时，有
所以在处取到最小值

习 题 3-2
（此题已换）1. 设,,,. 证明:方程在和内恰好各有一个实根.
1. 证明开普勒(Kepler)方程有唯一实根
证明：令，则在连续且
，，
由零点原理，使，即方程至少有一实根
又，所以在单调递增，所以方程有唯一实根
（此题已换）2. 设函数在（）内连续且有极值点. 证明: 存在使得
2.设，讨论方程实根的个数
解：step1.令，则，由零点原理，在至少有一实根，又，所以在
单调递增，从而方程在内有且仅有一实根。
step2.令，则，且，所以
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数在点取得极小值。所以，当时，方程在无解；当时，在有一解；当时，在有两解
综上：当时，方程有一解；当时，有两解；当时，有三解
3.设在上连续, ,.证明存在使.
证法1 因为在上连续，所以存在最大值和最小值，且使，从而有.由介值定理知，使.
证法2 因为有界，所以存在收敛子列.而在上连续，故有
习 题10-2
1. 设在上连续， 为自然数. 证明：
（1）若，则存在使得
证明：令，则，且
，，
从而
若，使，取即可
否则，使，由零点原理，或，使
综上，，使，即
（2）若则存在使得
解：取，方法同上
2.设在上连续，且 证明：存在使
证：由已知经计算得
1）若或，由积分中值定理，，使，从而
2）否则，，
a）若，同1），由积分中值定理
，使
b）与异号，由中值定理，
使，且
所以，有零点原理，使
3. 设,求证
(1) 对任意自然数, 方程在内有唯一实根;
证明：时，在上有唯一实根
时，有，且，由零点存在原理，
，使，即在上有一实根
又，故严格单调递减，所以方程在内有唯一实根
(2) 设是的根,则.
证：对，，从而，有因为严格单调递减，故，即严格单调递增。又有界，所以收敛。
设，由于，所以，在

，令，有，所以，即
4. 设在上连续，不恒为常数,且.证明存在，使 ．
证：令，因为在上连续，不恒为常数,且，所以，使，于是
，
，由零点原理：
证明存在，使，即．

习 题4-1
1．证明函数没有原函数.
证：设存在原函数，即，则且，由于，由达布定理，，使，矛盾，所以无原函数
2．设在上可导， 证明：
（1）若 则存在使
证明：若，则取或均可；否则，又达布定理，存在介于与之间，使综上存在使
（2）若 则存在使
证明：若，则取或均可；否则
，由达布定理，存在介于与之间，使；
综上存在使
习 题4-2
1．求下列函数的导函数，并讨论导函数的连续性.
（1）；
解：，则在连续，且
时，，，从而
时，，，从而 所以
从而在连续。
所以在连续
（2）；
解：显然在连续，且
时，，，从而；
时，，，从而 所以
从而在连续。
所以在连续
2. 设. 当分别满足什么条件时，
（1）在处连续；
解：，即，所以
（2） 在处可导；
解：存在，即存在，所以
（3）在处连续？
解：，由，即
，所以
3．分别用两种方法证明符号函数不存在原函数.
证明：法一
设存在原函数，即，则且，由于，由达布定理，，使，矛盾，所以无原函数
法二
由单侧导数极限定理，导函数不存在第一类间断点，而有第一类间断点，从而
无原函数
习 题5-1 .
1. 设函数在上可导.
（1）若，.证明存在使；
证明：令，则，且，，由广义洛尔定理，使，即，所以
(2) 若，证明存在使得；
证明：令，则，且，，由广义洛尔定理，使，即
，所以
习 题5-2
1． 设在上可导，且，其中为常数.证明：存在，使.
证明：由积分中值定理，，使
令，则，且，由洛尔定理，，
使，即，从而
2． 设在上可导，且证明：存在，使
证明：由积分中值定理，，使
令，则，且，由洛尔定理，
，使，即，从而

3． 设在上可导，且.证明：存在使
证明：由积分中值定理，，使
令，则，且，由洛尔定理，
，使，即，从而

习 题6-1
1.若在区间上是凸函数，证明对任意四点，有. 其逆是否成立？
证明：因为在区间上是凸函数，由三弦不等式，且
，所以成立。其逆成立

2. 设均为区间上的凸函数，证明：也是上凸函数..
证明：设，则对，有
，且
，从而

，由凸函数的定义，也是上凸函数
习 题6-2
1. 验证下列函数是（严格）凸函数.
（1）
解：，（），所以是上的严格凸函数
（2）
解：，（），所以是上的严格凹函数
习 题6-3
1．证明不等式
（1）
证：设，则（），所以是上的严格凸函数；从而，有，即
（2）
证：设，则（），所以是上的严格凸函数；从而，有，可得
，即，
又因为，所以
习 题 9-1
1. 求下列函数项级数的收敛域
(1) ；
解：，从而当时，，级数绝对收敛；当时，，级数绝对收敛；当时，发散；当时，发散，所以，级数的收敛域为
(2) .
解：，所以
当时，，级数发散；当时，，级数发散；当时，，级数绝对收敛；当时，
，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，级数发散；当时，级数收敛；
所以原级数的收敛域为
习 题 9-2
1. 证明函数项级数在上一致收敛.
证明：，从而

所以对任意的，
由，得对，取，当时，
对任意的成立，因此，在
上一致收敛到
2. 设在区间上一致收敛于,且对任意有.试问是否存在,使当时,对任意有?
解：答案不正确；例 在内一致收敛到，且
，有；但，和
，使
习 题 9-3
1. 利用定理9.3.1'证明下列函数项级数不一致收敛.
(1) ,,
证：，级数的部分和，从而
，在不连续，故级数不一致收敛。
(2) ,.
证：，级数的部分和，
从而，在不连续，故级数不一致收敛。
2. 设试问在上是否一致收敛?是否有
解：对，，但对，，
都，使，所以在上不一致收敛
另外，
，所以
3. 设试问在上是否一致收敛?是否有? 其中
解：对，有，从而
但对，，都，使
所以在上不一致收敛
又，，
所以
4. 求的收敛域，并讨论和函数的连续性.
解：设，则，有根值判别法，当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，级数发散；所以级数的收敛域为。
对，总，使，从而在
上连续，且在一致收敛，从而在
上连续，故在上连续，由得
在上连续
习 题 9-4
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性.
（1） ， ；
解：对，
又在处取得最大值，从而对，取，则对
，有，所以在一致收敛
（2）；
（i），
解：对，
对，取，则对，有，所以在一致收敛
（ii）；
解：对，
对，，，，使
，所以在不一致收敛
2. 讨论下列函数项级数的一致收敛性.
（1） ，；
解：对任意的，，而收敛，由M判别法，原级数一致收敛。
（2） ，.
解：对任意的，，而收敛，由M判别法，原级数一致收敛。
3. 设，. 证明函数项级数在上一致收敛，并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.
解：由对任意的成立，从而

而收敛，由M判别法知在上一致收敛
（1），在上一致收敛，所以和函数在连续（定理1）
（2），在上一致收敛，所以和函数在可积（定理2）
（3）由，收敛，由M判别法知在上一致收敛，从而和函数在可微。（定理3）
习 题10-1
1．一块金属板平底锅在平面上占据的区域是, 已知板上点处的温度为.锅底上点处的蚂蚁为了逃向温度更低的地方, 它的逃逸方向为( D ).
； ； ； .
解：，而梯度方向是温度降低最快的方向
2．一个高为的柱体储油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆，现将储油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量为kg，油的密度为常数）.
解：储油罐平放一般指长轴平行与地面，当油罐中油面高度为时，垂直地面的截面面积为（平方米）
所以
4． 在一个形状为旋转抛物面的容器内，已经盛有的水，现又倒入的水，问水面比原来升高多少.
解：旋转抛物面容器的体积是深度的函数，
，从而，所以题中水面升高的高度为
习 题10-3
1. 设，证明：
（1）当时，；
证明：取，则，，
所以为上的严格凸函数，从而对，由定理6.2.3，恒有，即
所以
（2）当或时， ．
证明：取，则，，
所以为上的严格凸函数，从而对，由定理6.2.3，恒有，即
2. 设 证明:
证明：令，利用单调性可证（略）